1.4.2 充要条件 基础巩固 1.在圆0中，“圆周角相等”是“圆周角所对的弧相等”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案C 2.“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集为o”是“b2-4ac<0的() A.充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 3设x∈R则x是2r2+1>0的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析不等式2r+x1>0,即(+12x1)>0,解得x载<1，所以由x可以得到不等式22+x 2 10成立，但由2+x10不一定得到x所以是2+x1>0的充分不必要条件 4.“x-1川<2成立”是“x(x-3)<0成立”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B 解析：因为x-1川<2→-1<x<3,xx-3)<0→0<x<3,{x0<x<3}{x-1<x<3}, 所以“x-1川<2成立”是x(x-3)<0成立”的必要不充分条件」 5.如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤2，则m的最小值为 答案2 解析：由题意可知1s2→x≤m,反之不成立，所以m22,即m的最小值为2. 6.“⊙0内的两条弦相等”是“⊙0内两条弦所对的弧相等”的 条件（填“充分不 必要必要不充分充要”或“既不充分也不必要) 答案：必要不充分 7.当n∈N时，求关于x的一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件 解：若关于x的一元二次方程x2.4x+n=0有实数根，则△=(-4)2.420，解得4.又n∈N,则当 n=4时，关于x的一元二次方程x2.4x+4=0有整数根2，当n=3时，关于x的一元二次方程x2 4x+3=0有整数根1,3，当n=2时，关于x的一元二次方程x2.4x+2=0无整数根，当n=1时，关于 x的一元二次方程x2.4x+1=0无整数根.所以n∈N,关于x的一元二次方程x2.4x+n=0有整 数根的充要条件是n=3或n=4. 拓展提高
1.4.2 充要条件 基础巩固 1.在圆 O 中,“圆周角相等”是“圆周角所对的弧相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.“关于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的解集为⌀”是“b 2 -4ac<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 3.设 x∈R,则“x> 1 2 ”是“2x 2+x-1>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:不等式 2x 2+x-1>0,即(x+1)(2x-1)>0,解得 x>1 2或 x<-1,所以由 x>1 2可以得到不等式 2x 2+x- 1>0 成立,但由 2x 2+x-1>0 不一定得到 x>1 2 ,所以“x>1 2 ”是“2x 2+x-1>0”的充分不必要条件. 4.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:因为|x-1|<2⇒-1<x<3,x(x-3)<0⇒0<x<3,{x|0<x<3}⫋{x|-1<x<3}, 所以“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的必要不充分条件. 5.如果不等式 x≤m 成立的充分不必要条件是 1≤x≤2,则 m 的最小值为 . 答案:2 解析:由题意可知 1≤x≤2⇒x≤m,反之不成立,所以 m≥2,即 m 的最小值为 2. 6.“☉O 内的两条弦相等”是“☉O 内两条弦所对的弧相等”的 条件(填“充分不 必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”). 答案:必要不充分 7.当 n∈N *时,求关于 x 的一元二次方程 x 2 -4x+n=0 有整数根的充要条件. 解:若关于 x 的一元二次方程 x 2 -4x+n=0 有实数根,则 Δ=(-4)2 -4n≥0,解得 n≤4.又 n∈N * ,则当 n=4 时,关于 x 的一元二次方程 x 2 -4x+4=0 有整数根 2;当 n=3 时,关于 x 的一元二次方程 x 2 - 4x+3=0 有整数根 1,3;当 n=2 时,关于 x 的一元二次方程 x 2 -4x+2=0 无整数根;当 n=1 时,关于 x 的一元二次方程 x 2 -4x+1=0 无整数根.所以 n∈N * ,关于 x 的一元二次方程 x 2 -4x+n=0 有整 数根的充要条件是 n=3 或 n=4. 拓展提高
1.“A∩B为空集”是“A,B中至少有一个为空集”的( A充分不必要条件B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 解析：当A={1,3},B={2,4}时AnB=②，但A,B都不是空集，所以“A∩B为空集”不是“A,B中至少 有一个为空集”的充分条件.当A,B中至少有一个为空集时，A∩B显然为空集，所以“A∩B为空 集”是“A,B中至少有一个为空集”的必要不充分条件 2.已知a,b∈R,则a+b-0的一个必要不充分条件是( A.ab>0 B.a>0且b>0 C.a+b>3 D.a≠0或b≠0 答案D 解析：当a+b≠0时，可取a=-3,b=l,此时ab>0,a>0且b>0,a+b>3均不成立.用反证法易证选项 D为所求的一个必要不充分条件.故选D 3若0<1是化十2三0的充分不必要条件，则实数口的取值范围是 ) A.-1<a<0 B.-1<a<0 C.as0或a21 D.a<-1或a>0 答案：A 解析由02》≤0可得，Sa+2.则由已知得l0<x<1xoa+2 所以≤0，解得-1≤0.故选A a+2≥1， 4.设a,b,c分别是△ABC的三边，则“△ABC为等边三角形”是“a2+b2+c2=ab+bc+ac”的( A充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案C 解析：因为2+b2+c2=ab+bc+ac, 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0,所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.所以a=b=C.此过程逆推也成立 故选C 5.设a,b∈R,则(a-b)a2<0”是“a<b”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若0=a<b,则(a-b)a2-0,所以由a<b不能推出(a-b)2<0,故必要性不成立.由(a-b)a2<0,知 a>0,可得a<b,故充分性成立.综上可得“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件.故选A 挑战创新 已知ab时0，求证：a+b=1的充要条件是d+b3+ab-a2-b2=0. 证明(1)必要性： atb=1,∴.a+b-1=0. ∴.ad+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=a+b-1)(a2-ab+b2)=0. (2)充分性： .'a3+b3+ab-a2-b=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0，∴.a0,且b≠0. db+-(a-+歌>0 .a+b-1=0.即a+b=1
1.“A∩B 为空集”是“A,B 中至少有一个为空集”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:当 A={1,3},B={2,4}时,A∩B=⌀,但 A,B 都不是空集,所以“A∩B 为空集”不是“A,B 中至少 有一个为空集”的充分条件.当 A,B 中至少有一个为空集时,A∩B 显然为空集,所以“A∩B 为空 集”是“A,B 中至少有一个为空集”的必要不充分条件. 2.已知 a,b∈R,则 a+b≠0 的一个必要不充分条件是( ) A.ab>0 B.a>0 且 b>0 C.a+b>3 D.a≠0 或 b≠0 答案:D 解析:当 a+b≠0 时,可取 a=-3,b=1,此时 ab>0,a>0 且 b>0,a+b>3 均不成立.用反证法易证选项 D 为所求的一个必要不充分条件.故选 D. 3.若“0<x<1”是“{ 𝑥-𝑎 ≥ 0, 𝑥-(𝑎 + 2) ≤ 0 ”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A.-1≤a≤0 B.-1<a<0 C.a≤0 或 a≥1 D.a<-1 或 a>0 答案:A 解析:由{ 𝑥-𝑎 ≥ 0, 𝑥-(𝑎 + 2) ≤ 0可得,a≤x≤a+2.则由已知得{x|0<x<1}⫋{x|a≤x≤a+2}, 所以{ 𝑎 ≤ 0, 𝑎 + 2 ≥ 1, 解得-1≤a≤0.故选 A. 4.设 a,b,c 分别是△ABC 的三边,则“△ABC 为等边三角形”是“a 2+b2+c2=ab+bc+ac”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 解析:因为 a 2+b2+c2=ab+bc+ac, 所以 2a 2+2b 2+2c 2 -2ab-2bc-2ac=0,所以(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0.所以 a=b=c.此过程逆推也成立. 故选 C. 5.设 a,b∈R,则“(a-b)a 2<0”是“a<b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 解析:若 0=a<b,则(a-b)a 2=0,所以由 a<b 不能推出(a-b)a 2<0,故必要性不成立.由(a-b)a 2<0,知 a 2>0,可得 a<b,故充分性成立.综上可得“(a-b)a 2<0”是“a<b”的充分不必要条件.故选 A. 挑战创新 已知 ab≠0,求证:a+b=1 的充要条件是 a 3+b3+ab-a 2 -b 2=0. 证明:(1)必要性: ∵a+b=1,∴a+b-1=0. ∴a 3+b3+ab-a 2 -b 2=(a+b)(a 2 -ab+b2 )-(a 2 -ab+b2 )=(a+b-1)(a 2 -ab+b2 )=0. (2)充分性: ∵a 3+b3+ab-a 2 -b 2=(a+b-1)(a 2 -ab+b2 )=0,又 ab≠0,∴a≠0,且 b≠0. ∴a 2 -ab+b2=(𝑎- 𝑏 2 ) 2 + 3 4 b 2>0. ∴a+b-1=0,即 a+b=1
综上可知，当ab≠0时，a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0
综上可知,当 ab≠0 时,a+b=1 的充要条件是 a 3+b3+ab-a 2 -b 2=0