数学 必修 第四册 配人教B版 课前·基础认知 正弦定理的应用 sin C=csin B=1. 【问题思考】 b 1填空： C=90°，.A=180°-90°-30°=60°， 正弦定理：a b ∴a=2-b=√42-22=25. mA-snB-nC=2R.(R为△ABC外 【思考辨析】 接圆的半径) 判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号里画 2.能够应用正弦定理求解的三角形问题有哪几种类型？ “/”,错误的画“×” 提示(1)已知两角和一边解三角形：(2)已知两边和其 (1)在△ABC中，若sinA>sinB,则a>b. (√) 中一边的对角解三角形 (2)在△ABC中，有sinA=cos(B十C). (X) 3.做一做：在△ABC中，已知B=30°，c=4,b=2,解此 (3)在△ABC中，必有absin C=acsin B. (√) 三角形. b (④存在△ABC,使A=30,a= 2c=2. (X) 解在△ABC中，由正弦定理知 sin B sin C' 课堂 重难突破 【变式训练1】不解三角形，判断下列说法是否正确. 探究一三角形解的个数 (1)a=7,b=14,A=30°，有两解； 【例1】(1)在△ABC中，已知a=2,b=6,A=45°，则 (2)a=30,b=25,A=150°，有一解： 满足条件的三角形的个数是(). (3)a=6,b=9,A=45°，有两解： A.1 B.2 C.0 D.无法确定 (4)a=9,b=10,A=60°，无解. (2)在△ABC中，a=4.b=42,A=45°，则满足条件 解(1)a=bsin A,有一解，故说法错误 的三角形的个数是(). (2)A>90°，a>b,有一解，故说法正确. A.0 B.1 C.2 D.不确定 (3)a<bsin A,无解，故说法错误。 解折16smA=5×号-。 (4)b>a>bsin A,有两解，故说法错误」 ∴.bsin A<a<b.,满足条件的三角形的个数是2. 探究二利用正弦定理证明恒等式 (2):bsin A=-42x2_ 2=4=a, ∴.满足条件的三角形的个数是1 【例2】在△ABC中，求证CE 答案(1)B(2)B b2-c2 c2-a2 延伸探究 cos B+cos C cos C+cos A0. 例1(2)变为“在△ABC中，a=x,b=4√2，A=45°，若 分析观察等式的特点，式子中有边有角，要把边角统 三角形有两解，求x的取值范围” 一，为此利用正弦定理将a2,b2,c2转化为sin2A,sin2B,sim2C. 解：bsinA=4v2x 24, 阴由内后广品B-C=2RR为AAC外提 b C ∴.当4<a<4v2时，三角形有两解，即x∈(4,4V2). 圆半径)， 反思感悟〉 4R2sin2A-4R2sin2B 已知三角形两边和其中一边的对角，求三角形解 6 cosA十cosB 的个数.若已知a,b及角A,其解的情况如下： =4R2[(1-cos'A)-(1-cos'B)] 分类 A为锐角 A为钝角或直角 cos A+cos B R(cos B-cosA)=4R(cos B-cos A). cos A+cos B 图形 b2-c2 同理 cos B+cos C=4R(cos C-cos B), c2-a2 ①a=bsin Absin A 关系式 as ②a≥b a>b a<h bsin A asb cos CcoA=4R(cos A-cos C). 所以原式左边=4R2(cosB-cosA十cosC-cosB+ 解的 情况 一解 两解 无解 一解 无解 c0sA一cosC)=0=右边. 所以等式成立 6
数 学 必修 第四册 配人教B版 课前·基础认知 正弦定理的应用 【问题思考】 1.填空: 正弦定理: a sinA = b sinB = c sinC =2R.(R 为△ABC 外 接圆的半径) 2.能够应用正弦定理求解的三角形问题有哪几种类型? 提示 (1)已知两角和一边解三角形;(2)已知两边和其 中一边的对角解三角形. 3.做一做:在△ABC 中,已知B=30°,c=4,b=2,解此 三角形. 解 在△ABC 中,由正弦定理知 b sinB = c sinC , ∴sinC= csinB b =1, ∴C=90°,∴A=180°-90°-30°=60°, ∴a= c2-b2 = 42-22 =23. 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画 “√”,错误的画“×”. (1)在△ABC 中,若sinA>sinB,则a>b. (√) (2)在△ABC 中,有sinA=cos(B+C). (×) (3)在△ABC 中,必有absinC=acsinB. (√) (4)存在△ABC,使A=30°,a= 2 2 ,c=2. (×) 课堂·重难突破 探究一 三角形解的个数 【例1】(1)在△ABC 中,已知a=2,b= 6,A=45°,则 满足条件的三角形的个数是( ). A.1 B.2 C.0 D.无法确定 (2)在△ABC 中,a=4,b=4 2,A=45°,则满足条件 的三角形的个数是( ). A.0 B.1 C.2 D.不确定 解析 (1)∵bsinA= 6× 2 2 = 3, ∴bsinA<a<b.∴满足条件的三角形的个数是2. (2)∵bsinA=42× 2 2 =4=a, ∴满足条件的三角形的个数是1. 答案 (1)B (2)B 例1(2)变为“在△ABC 中,a=x,b=4 2,A=45°,若 三角形有两解,求x 的取值范围”. 解 ∵bsinA=42× 2 2 =4, ∴当4<a<42时,三角形有两解,即x∈(4,42). 已知三角形两边和其中一边的对角,求三角形解 的个数.若已知a,b及角A,其解的情况如下: 分类 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 ①a=bsinA ②a≥b bsinA< a<b a< bsinA a>b a≤b 解的 情况 一解 两解 无解 一解 无解 【变式训练1】不解三角形,判断下列说法是否正确. (1)a=7,b=14,A=30°,有两解; (2)a=30,b=25,A=150°,有一解; (3)a=6,b=9,A=45°,有两解; (4)a=9,b=10,A=60°,无解. 解 (1)a=bsinA,有一解,故说法错误. (2)A>90°,a>b,有一解,故说法正确. (3)a<bsinA,无解,故说法错误. (4)b>a>bsinA,有两解,故说法错误. 探究二 利用正弦定理证明恒等式 【例 2】 在 △ABC 中,求 证: a2-b2 cosA+cosB + b2-c2 cosB+cosC + c2-a2 cosC+cosA =0. 分析 观察等式的特点,式子中有边有角,要把边角统 一,为此利用正弦定理将a2,b2,c2 转化为sin2A,sin2B,sin2C. 证明 由 a sinA = b sinB = c sinC =2R(R 为△ABC 外接 圆半径), 得 a2-b2 cosA+cosB = 4R2sin2A-4R2sin2B cosA+cosB = 4R2[(1-cos2A)-(1-cos2B)] cosA+cosB = 4R2(cos2B-cos2A) cosA+cosB =4R2(cosB-cosA). 同理, b2-c2 cosB+cosC =4R2(cosC-cosB), c2-a2 cosC+cosA =4R2(cosA-cosC). 所以原式左边=4R2(cosB-cosA+cosC-cosB+ cosA-cosC)=0=右边. 所以等式成立. 6
第九章 解三角形 ①反思感悟 √6 利用正弦定理证明恒等式，既要用到三角形中特 解在△ABC中，由cosB=了，得sinB三 有的恒等变形公式，又要用到任意角的三角函数恒等 因为A十B十C=π， 变形公式，两者结合起来，灵活运用。 所以sinC=sin(A+B)=5 9 【变式训练2】在△ABC中，求证.os2A_o2B a2 62 因为sinC<sinB,所以C<B,可知C为锐角， 11 53 a2 62 所以cosC= 9 证明“品品 b 因此sinA=sin(B十C) =sin Bcos C+cos Bsin C .sin Asin B -6×55+5x622 a 9+3×g=3 .sin'Asin'B 3十 a2 由Q sin A sin C' :1-c0s2A1-0s2B 22 a2 b2 0s24_0s2B11 可得a=sin4 、39 sin C =2W3c, √6 a2 9 探究三正弦定理与三角函数的综合问题 又ac=25,所以c=1. 【例3】在△ABC中，已知asim2B=5 bsin A. 思想方法 (1)求角B: 应用转化与化归思想解三角形问题 (2)若cosA=3求sinC的值 【典例】在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c,已知asin C=√3 ccos A. 分析(1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为关 (1)求角A: 于角B的三角函数式并求解；(2)利用三角形的内角和定理 及两角和的正弦公式求sinC的值. (2)若6=2，且香<B≤受求c的取值范围， 解(1)在△ABC中，由a b 分析(I)将边化为角，整理可得tanA,进而求得A的 sin A sin B' 大小：(2)由于已知b的值与B的范图，结合(1)及正弦定理 可得asin B=bsin A, 将c用tanB表示，再求c的取值范围， 又由asin2B=√3 bsin A, 得2 a sin Bcos B=√5 bsin A=√5 asin B, 解(1)由题意得， a 3cos A sin C 所以cosB= sin A sin C 2 3cos Asin C=1. 因为B∈(0，x),所以B= 6 tanA=3.:0<A<元，A= 3 (2)由msA=行，可得如A-2 3 (2)b=2,A= 3 则sinC=sin[π-(A+B)门=sin(A+B)= 如A+）=g。 mA+20sA=26+ 1 2sin C 2n(昏-B) ∴.c= 6 sin B sin B 3cos B+1= sin B nB十1， ①反思感悟 正弦定理与三角函数的综合问题主要涉及正弦定 :<B≤行l≤amB<E, 理与三角恒等变换的综合，先利用正弦定理求得相关 ∴.2≤c≤5+1，即c的取值范围为[2，W5+1]. 角（或其正弦值），再利用同角三角函数的基本关系式 反思感悟 与和、差、倍、半角等公式求解其他问题。 在解三角形时，常用正弦定理“化边为角”或“化角 为边”，从而发现三角形中各元素之间的关系，因此要 【变式训练3】在△ABC中，角A,B,C所对的边分别 理解并领悟转化与化归的数学思想，以便应用于要解 为a,b,c.已知cosB= 3,si血(A+B)= 9,ac=23,求 决的问题中 sinA和c的值. 【变式训练】在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对
第九章 解三角形 利用正弦定理证明恒等式,既要用到三角形中特 有的恒等变形公式,又要用到任意角的三角函数恒等 变形公式,两者结合起来,灵活运用. 【变式训练2】在△ABC 中,求证: cos2A a2 - cos2B b2 = 1 a2- 1 b2. 证明 ∵ a sinA = b sinB , ∴ sinA a = sinB b , ∴ sin2A a2 = sin2B b2 , ∴ 1-cos2A a2 = 1-cos2B b2 , ∴ cos2A a2 - cos2B b2 = 1 a2- 1 b2. 探究三 正弦定理与三角函数的综合问题 【例3】在△ABC 中,已知asin2B= 3bsinA. (1)求角B; (2)若cosA= 1 3 ,求sinC 的值. 分析 (1)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为关 于角B 的三角函数式并求解;(2)利用三角形的内角和定理 及两角和的正弦公式求sinC 的值. 解 (1)在△ABC 中,由 a sinA = b sinB , 可得asinB=bsinA, 又由asin2B= 3bsinA, 得2asinBcosB= 3bsinA= 3asinB, 所以cosB= 3 2 , 因为B∈(0,π),所以B= π 6 . (2)由cosA= 1 3 ,可得sinA= 22 3 . 则sinC =sin[π- (A +B)]=sin(A +B)= sinA+ π 6 = 3 2 sinA+ 1 2 cosA= 26+1 6 . 正弦定理与三角函数的综合问题主要涉及正弦定 理与三角恒等变换的综合,先利用正弦定理求得相关 角(或其正弦值),再利用同角三角函数的基本关系式 与和、差、倍、半角等公式求解其他问题. 【变式训练3】在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别 为a,b,c.已知cosB= 3 3 ,sin(A+B)= 6 9 ,ac=2 3,求 sinA 和c的值. 解 在△ABC 中,由cosB= 3 3 ,得sinB= 6 3 , 因为A+B+C=π, 所以sinC=sin(A+B)= 6 9 . 因为sinC<sinB,所以C<B,可知C 为锐角, 所以cosC= 53 9 . 因此sinA=sin(B+C) =sinBcosC+cosBsinC = 6 3 × 53 9 + 3 3 × 6 9 = 22 3 . 由 a sinA = c sinC , 可得a= csinA sinC = 22 3 c 6 9 =23c, 又ac=23,所以c=1. 思 想 方 法 应用转化与化归思想解三角形问题 【典例】在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知asinC= 3ccosA. (1)求角A; (2)若b=2,且 π 4 ≤B≤ π 3 ,求c的取值范围. 分析 (1)将边化为角,整理可得tanA,进而求得A 的 大小;(2)由于已知b的值与B 的范围,结合(1)及正弦定理 将c用tanB 表示,再求c的取值范围. 解 (1)由题意得, a 3cosA = c sinC ⇔ sinA 3cosA = sinC sinC =1, ∴tanA= 3.∵0<A<π,∴A= π 3 . (2)∵b=2,A= π 3 , ∴c= 2sinC sinB = 2sin 2π 3 -B sinB = 3cosB sinB +1= 3 tanB +1, ∵ π 4 ≤B≤ π 3 ,∴1≤tanB≤ 3, ∴2≤c≤ 3+1,即c的取值范围为[2,3+1]. 在解三角形时,常用正弦定理“化边为角”或“化角 为边”,从而发现三角形中各元素之间的关系,因此要 理解并领悟转化与化归的数学思想,以便应用于要解 决的问题中. 【变式训练】在锐角三角形ABC 中,角A,B,C 的对 7
数学 必修 第四册 配人教B版 边分别为a,b,c,若osB+0sC=23sin4 b c 3sin C cos B+ √3sinB=2,则a十c的取值范围是 答案A 解析，osB+osC_23sinA b 3sin C 3.在△ABC中，若B=2Aa:b=1:5,则A= 解析由正弦定理得，a:b=sinA:sinB, ∴.ccos B+bcos C= 23bcsin A 23ab 3sin C 3 sin2A√3' ,所以A=30° .sin(BC)-2bsin A 3 2 答案30° osB+5nB=2,即2msB+ 2sin B=1, 4在△ABC中，若a=√2，b=2,sinB十cosB=2,则A= 对m(B十)=1B=子 解析“sinB十cosB=巨sim(B+天）=巨。 设△ABC外接圆的半径为R b ∴sim(B+F）=1, 剥2R=sB1, a+c=2R (sin A+sin C)=1x sin A+ 又0B<晋<B+<要 m停-A]-2nA+ B十T=元 号cosA=5sim(A+g）. 42B=x 4 由正弦定理，得nA一sinB' a :△MBC为锐角三角形，且B=于 <A<受<A+< ∴smA=enB_in受2x9 b 2 2 2<sn(a+若）K6…2<a+≤g 又a<b,A<BA=吾 答案（侵 答案君 随堂训练 瓦在△MBC中，已知casA=子，mB=5cosC 1.已知△ABC中，b=30,c=15,C=26°，则此三角形解的情 (1)求tanC的值： 况是(. (2)若a=2,求△ABC的面积. A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定 解析b=30,c=15,C=26°，.c>bsin C, 解（白6asA=号得如A-号 3 又c<b,∴此三角形有两解 答案B 5cos C=sin B=sin (A+C) 3 cos C+ 2在△MBC中，B=云，BC边上的高等于号BC,则 3sinC,所以tanC=5. sin∠BAC=(). (2)由1amC=5及0<C<,知0<C<受， A30 10 R细 c-0 D.-30 10 6,cos C=6 再由inC+cos2C=1,得inC=y30】 6 解析如图，设BC边上的高线为AD」 则BC=3AD,又B=年 由已知得sinB=5cosC=30 6 所以AD=BD,DC=2AD. 所以AC=√AD2+DC2=V5AD. 由正孩定理，得=mC2×@ 6 sin A =√5 5 mBsm2BAc,得6AD34D 由C BC 2 sin∠BAC' 1 P 所以△ABC的面积S= 2acsin B2XX3X 解得sin∠BAC=3 30_5 10 62 8
数 学 必修 第四册 配人教B版 边分别为a,b,c,若 cosB b + cosC c = 23sinA 3sinC ,cosB + 3sinB=2,则a+c的取值范围是 . 解析 ∵ cosB b + cosC c = 23sinA 3sinC , ∴ccosB+bcosC= 23bcsinA 3sinC = 23ab 3 , ∴sin(B+C)= 23bsinA 3 ,∴b= 3 2 . ∵cosB+ 3sinB=2,即 1 2 cosB+ 3 2 sinB=1, 则sinB+ π 6 =1,∴B= π 3 . 设△ABC 外接圆的半径为R, 则2R= b sinB =1, ∴a +c=2R (sin A +sinC)=1× sin A + sin 2π 3 -A = 3 2 sinA+ 3 2 cosA= 3sinA+ π 6 . ∵△ABC 为锐角三角形,且B= π 3 , ∴ π 6 <A< π 2 ,∴ π 3 <A+ π 6 < 2π 3 , ∴ 3 2 < 3sinA+ π 6 ≤ 3,∴ 3 2 <a+c≤ 3. 答案 3 2 ,3 随堂训练 1.已知△ABC 中,b=30,c=15,C=26°,则此三角形解的情 况是( ). A.一解 B.两解 C.无解 D.无法确定 解析 ∵b=30,c=15,C=26°,∴c>bsinC, 又c<b,∴此三角形有两解. 答案 B 2.在 △ABC 中,B = π 4 ,BC 边 上 的 高 等 于 1 3 BC,则 sin∠BAC=( ). A. 3 10 10 B. 10 10 C.- 10 10 D.- 3 10 10 解析 如图,设BC 边上的高线为AD, 则BC=3AD,又B= π 4 , 所以AD=BD,DC=2AD, 所以AC= AD2+DC2 = 5AD. 由 AC sinB = BC sin∠BAC ,得 5AD 2 2 = 3AD sin∠BAC , 解得sin∠BAC= 3 10 10 . 答案 A 3.在△ABC 中,若B=2A,a∶b=1∶ 3,则A= . 解析 由正弦定理得,a∶b=sinA∶sinB, 所以 sinA sin2A = 1 3 ,则cosA= 3 2 ,所以A=30°. 答案 30° 4.在△ABC 中,若a= 2,b=2,sinB+cosB= 2,则A= . 解析 ∵sinB+cosB= 2sinB+ π 4 = 2, ∴sinB+ π 4 =1, 又0<B<π,∴ π 4 <B+ π 4 < 5π 4 , ∴B+ π 4 = π 2 ,∴B= π 4 . 由正弦定理,得 a sinA = b sinB , ∴sinA= asinB b = 2sin π 4 2 = 2× 2 2 2 = 1 2 , 又a<b,∴A<B,∴A= π 6 . 答案 π 6 5.在△ABC 中,已知cosA= 2 3 ,sinB= 5cosC. (1)求tanC 的值; (2)若a= 2,求△ABC 的面积. 解 (1)由cosA= 2 3 ,得sinA= 5 3 . 又 5cosC =sinB =sin(A +C)= 5 3 cosC + 2 3 sinC,所以tanC= 5. (2)由tanC= 5及0<C<π,知0<C< π 2 , 再由sin2C+cos2C=1,得sinC= 30 6 ,cosC= 6 6 , 由已知得sinB= 5cosC= 30 6 . 由正弦定理,得c= asinC sinA = 2× 30 6 5 3 = 3. 所以△ABC 的面积S= 1 2 acsinB= 1 2 × 2× 3× 30 6 = 5 2 . 8
第九章解三角形 课后·训练提升 1.由下列条件解△ABC,其中有两解的是( 解析由正孩定理知A品B b A.b=20.∠A=45°，∠C=80° B.a=30,c=28,∠A=60° 则asin B=bsin A,在△ABC中，0simB≤l, C.a=14,c=16,∠A=45 故asin B≤a,所以bsin A≤a,故选D. D.a=12,c=15,∠A=120 答案D 解析C选项中，16sin45°<14<16， 即csin A<a<c, 6已知在△ABC中，A=号，BC=3,则△ABC的周长1= ∴C选项中三角形有两解。 f(B)= 答案C 解析在△ABC中，由正孩定理得AC=BC=3」 2已知在△MBC中，AB=5.AC=1,∠B=吾则△ABC AB 的面积等于( ). 25,化简得AC=25sinB, A A号 c9 [一(B+】 3 解析：AB。AC =25,化简得AB=25血(-B),所以三角形的 sin C sin B' 2 .sin C=ABsin B 周长1=3+AC+AB=3+25smB+25sm(-B）= AC 1 2 ,'ABsin B<AC<AB,∴.该三角形有两解 3+3/3sin B+3cos B=6sin(B++3. C=营C=登A=受我A=君 3 答案6sim(B+君）+3 :△ABC的面积S=2AB·AC·s如A,S= 1 7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,B=60°，b= 2 2,若这个三角形有两解，则α的取值范围是 或S= 解析，△ABC有两解， 4 答案D 六asin B<-h<a,即asin60<2<a2<a<4y5 3 a+b+c 3.在△ABC中，若A=60°，a=3, sinA+sinB+sinC等 答案2.4) 于(). &.在△ABC中，若a=1A=行则nCC √2b B.2v39 C.263 3 3 D.25 a+b十c a 3 解析a=1,A= 解析nA十mB十sin C-sin A店 =25. 4 =_b 2sinB,即b=2sinB, 1 答案D 2 4.在△ABC中，b十c):(a十c):(a十b)=4:5:6,则sinA: sinB:sinC等于(). 2b 2sin B 2n(-c) A.4:5:6B.6:5:4C.7:5:3D.7:5:6 sin C+cos Csin C+cos C sin C+cos C 解析设b十c=4k,a十c=5k,a十b=6k(k>0),三式联 2停mc+9c 7 5. -3 = 立可求得a=2k,b=2k,c=2k, sin C++cos C 答案瓦 所以a:b:c=7:5:3, sin A sin B:sin C=7:5:3. 9.在△ABC中，AcC+sin Asin C+-B=子，且 答案C b2=ac. 5.在△ABC中，下列关系中一定成立的是( (1)求角B; A.a>bsin A B.a=bsin A C.a<bsin A D.a≥bsin A (2若a量A十CB判断此三角形的形状 9
第九章 解三角形 课后·训练提升 1.由下列条件解△ABC,其中有两解的是( ). A.b=20,∠A=45°,∠C=80° B.a=30,c=28,∠A=60° C.a=14,c=16,∠A=45° D.a=12,c=15,∠A=120° 解析 C选项中,∵16sin45°<14<16, 即csinA<a<c, ∴C选项中三角形有两解. 答案 C 2.已知在△ABC 中,AB= 3,AC=1,∠B= π 6 ,则△ABC 的面积等于( ). A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2 或 3 D. 3 2 或 3 4 解析 ∵ AB sinC = AC sinB , ∴sinC= ABsinB AC = 3× 1 2 1 = 3 2 . ∵ABsinB<AC<AB,∴该三角形有两解. ∴C= π 3 或C= 2π 3 .∴A= π 2 或A= π 6 . ∵△ABC 的面积S= 1 2 AB·AC·sinA,∴S= 3 2 或S= 3 4 . 答案 D 3.在△ABC 中,若A=60°,a=3,则 a+b+c sinA+sinB+sinC 等 于( ). A. 83 3 B. 2 39 3 C. 263 3 D.23 解析 a+b+c sinA+sinB+sinC = a sinA = 3 3 2 =23. 答案 D 4.在△ABC中,(b+c)∶(a+c)∶(a+b)=4∶5∶6,则sinA∶ sinB∶sinC 等于( ). A.4∶5∶6 B.6∶5∶4 C.7∶5∶3 D.7∶5∶6 解析 设b+c=4k,a+c=5k,a+b=6k(k>0),三式联 立可求得a= 7 2 k,b= 5 2 k,c= 3 2 k, 所以a∶b∶c=7∶5∶3, 即sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3. 答案 C 5.在△ABC 中,下列关系中一定成立的是( ). A.a>bsinA B.a=bsinA C.a<bsinA D.a≥bsinA 解析 由正弦定理知 a sinA = b sinB , 则asinB=bsinA,在△ABC 中,0<sinB≤1, 故asinB≤a,所以bsinA≤a.故选D. 答案 D 6.已知在△ABC 中,A= π 3 ,BC=3,则△ABC 的周长l= f(B)= . 解析 在△ABC 中,由正弦定理得 AC sinB = BC sinA = 3 3 2 = 23,化简得AC=23sinB, AB sinπ- B+ π 3 = BC sinA = 3 3 2 =23,化简得AB=2 3sin 2π 3 -B ,所以三角形的 周长l=3+AC+AB=3+23sinB+23sin 2π 3 -B = 3+33sinB+3cosB=6sinB+ π 6 +3. 答案 6sinB+ π 6 +3 7.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c,B=60°,b= 2,若这个三角形有两解,则a的取值范围是 . 解析 ∵△ABC 有两解, ∴asinB<b<a,即asin60°<2<a,∴2<a< 43 3 . 答案 2, 43 3 8.在△ABC 中,若a=1,A= π 4 ,则 2b sinC+cosC = . 解析 ∵a=1,A= π 4 , ∴ 1 2 2 = b sinB ,即b= 2sinB, ∴ 2b sinC+cosC = 2sinB sinC+cosC = 2sin 3π 4 -C sinC+cosC = 2 2 2 cosC+ 2 2 sinC sinC+cosC = 2. 答案 2 9.在△ABC 中,cosAcosC+sinAsinC+cosB= 3 2 ,且 b2=ac. (1)求角B; (2)若 a tanA + c tanC = 2b tanB ,判断此三角形的形状. 9
数学必修 第四册 配人教B版 解（I)己知AC十in Asin C-十cmsB=三，：cosB= 外接圆的半径) 所以Q b2 c2 a b cos(π-A-C)=-cos(A+C),∴.2 sin Asin C= 2又 R+4R4R-2R2R1 整理得a2+b2-c2=ab, 公=acB=in Asin C,2sirB=多，即nB 即a2+b2-c2-ab=0. 11.已知△ABC三边各不相等，A,B,C的对边分别为a,b, 了b2=ac,b不是最大边，故B为锐角，则B=608 c,且acos A=bosB,求十也的取值范围 ②+ic=A+m 解，acos A=bcos B,∴.sin AcosA=sin Bcos B. sin A sin C ∴.sin2A=sin2B. 2bcos B sin B ,利用正弦定理可得cosA十cosC=2cosB=1, 2A,2B∈(0,2π)，.2A=2B或2A十2B=元 :A+C-子msA+m(管-A)=2msA+ A=B支A+B=受 A=nA+》=1培<A+<A+ 如果A=B,那么a=b,不符合题意A十B=受 受A=C=号△ABC是等边三角形. :atb_imA+simB=inA十nB=sinA十 sin C 10.在△ABC中，(sinA+sinB)2-sim2C=3 sin Asin B,求 cosA=巨im(A+F） 证：a2+b2-c2-ab=0. 证明因为(sinA+sinB)2-sin2C=3 sin Asin B, abC=受∴A∈(o,U(年） 所以sim2A+sin2B-sin2C=sin Asin B. :at地e1w2). 又si血A=录simB=最imC=录R为△MBC 9.1.2 余弦定理 1.理解余弦定理的证明. 课标定位 2熟练掌握余弦定理及其变形，并会应用余弦定理及其变形解三角形. 素养阐释 3.能利用正、余弦定理解决与三角形相关的问题 4.体会数学抽象的过程，加强数学运算、逻辑推理能力的培养， 课前·基础认知 一、余弦定理 25. 【问题思考】 答案25 1.在Rt△ABC中，C=90°，有a2+b2=c2,此式在斜三 二、余弦定理的变形 角形中是否成立？ 【问题思考】 提示不成立 1.在△ABC中，若已知内角A,B,C所对的边分别为 2.填表： a,b,c,能否求角A? 语言描述 三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方 提示能.利用0sA=+-a且A∈(0，)求 和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 2bc a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B; 角A. 表达形式 c2=a2+62-2abcos C 2填空： 适用范围 对任意的三角形都成立 b2+c2-a2 余弦定理的变形：cOsA= 结构特征 “三边的平方”、两边及夹角的余弦 2bc,cos B= a2+c2-b 3.做一做：在△ABC中，若a=c=2,B=120°，则b= 2ac -.cos C=a2b2-c2 2ab 3.余弦定理及其变形对于任意三角形都成立吗？ 解析b=√a2+x2-2 ccos B=√？+2-2X2X20s120= 提示成立 10
数 学 必修 第四册 配人教B版 解 (1)已知cosAcosC+sinAsinC+cosB= 3 2 ,∵cosB= cos(π-A-C)=-cos A+C ,∴2sinAsinC= 3 2 ,又 b2=ac,∴sin2B=sinAsinC,∴2sin2B= 3 2 ,即sinB= 3 2 .∵b2=ac,∴b不是最大边,故B 为锐角,则B=60°. (2)由 a tanA + c tanC = 2b tanB ,得 acosA sinA + ccosC sinC = 2bcosB sinB ,利用正弦定理可得cosA+cosC=2cosB=1, ∵A+C= 2π 3 ,∴cosA+cos 2π 3 -A = 1 2 cosA+ 3 2 sinA=sinA+ π 6 =1.∵ π 6 <A+ π 6 < 5π 6 ,∴A+ π 6 = π 2 .∴A=C= π 3 ,∴△ABC 是等边三角形. 10.在△ABC 中,(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB,求 证:a2+b2-c2-ab=0. 证明 因为(sinA+sinB)2-sin2C=3sinAsinB, 所以sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB. 又sinA= a 2R ,sinB= b 2R ,sinC= c 2R (R 为△ABC 外接圆的半径), 所以 a2 4R2+ b2 4R2- c2 4R2= a 2R · b 2R , 整理得a2+b2-c2=ab, 即a2+b2-c2-ab=0. 11.已知△ABC 三边各不相等,A,B,C 的对边分别为a,b, c,且acosA=bcosB,求 a+b c 的取值范围. 解 ∵acosA=bcosB,∴sinAcosA=sinBcosB. ∴sin2A=sin2B. ∵2A,2B∈(0,2π),∴2A=2B 或2A+2B=π. ∴A=B 或A+B= π 2 . 如果A=B,那么a=b,不符合题意,∴A+B= π 2 . ∴ a+b c = sinA+sinB sinC =sinA+sinB=sinA+ cosA= 2sinA+ π 4 . ∵a≠b,C= π 2 ,∴A∈ 0, π 4 ∪ π 4 , π 2 , ∴ a+b c ∈(1,2). 9.1.2 余弦定理 课标定位 素养阐释 1.理解余弦定理的证明. 2.熟练掌握余弦定理及其变形,并会应用余弦定理及其变形解三角形. 3.能利用正、余弦定理解决与三角形相关的问题. 4.体会数学抽象的过程,加强数学运算、逻辑推理能力的培养. 课前·基础认知 一、余弦定理 【问题思考】 1.在Rt△ABC 中,C=90°,有a2+b2=c2,此式在斜三 角形中是否成立? 提示 不成立. 2.填表: 语言描述 三角形任何一边的平方,等于其他两边的平方 和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍 表达形式 a 2=b 2+c 2-2bccosA;b 2=a 2+c 2-2accosB; c 2=a 2+b 2-2abcosC 适用范围 对任意的三角形都成立 结构特征 “三边的平方”、两边及夹角的余弦 3.做一做:在△ABC 中,若a=c=2,B=120°,则b= . 解析 b= a2+c2-2accosB= 22+22-2×2×2cos120°= 23. 答案 23 二、余弦定理的变形 【问题思考】 1.在△ABC 中,若已知内角A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,能否求角A? 提示 能.利用cosA = b2+c2-a2 2bc 且A ∈ (0,π)求 角A. 2.填空: 余弦 定 理 的 变 形:cos A = b2+c2-a2 2bc ,cosB = a2+c2-b2 2ac ,cosC= a2+b2-c2 2ab . 3.余弦定理及其变形对于任意三角形都成立吗? 提示 成立. 10