令y1…y为独立的N(0,1)随机数,Mt=t1-bk定义 x1=√Fy,x,=e-x1+√y(-e-)y,(2<i≤n), 则x12…,xn就是OU过程在所要的采样时刻上的值 例12.9 Brown运动是时齐的 Markov过程.其转移密度为 (y-x)2 此时有 定义12.10(不变密度)若概率分布密度φ()关于时齐 Markov过程的转移函数 p(t,x,y),满足 o(y)=p(t,x, y)p(x)dx 则称o()为p(1,x,y)的(或随机过程{1:I≥0}的)不变概率分布密度函数,简称不变密度 2鞅列与鞅 2.1条件期望再访(仅作参考) 背景与例子 定义12.11若(ξ,n)为离散的或具有联合密度的随机向量,那么 q(y)=E(5|n=y)是一个Brel函数.定义E(2|n)=q(m).于是,对于n的任意的一 个 Borel函数h(m),只要它满足:对于任意 Borel函数g,恒有 E(Sg(n))=elh(ngn (这个式子等价于:对于任意 Borel集合A,恒有 E(I、(m)=E[h()lA(m)) (E.1) 那么就有 P(E(5|n)=h(m) 引理12.12(均方最佳近似) 若E52<∞,则存在Bore函数h(x),使 28
328 令 n y , , y 1 L 为独立的 N(0,1) 随机数, k k Dt = t - t +1 . 定义 i x = g y 1 , (1 ) ,(2 ) 2 1 x e x e y i n i t i t i = + - < £ - D - -bD b g ， 则 n x , , x 1 L 就是 OU 过程在所要的采样时刻上的值． 例１２．９ Brown 运动是时齐的 Markov 过程. 其转移密度为 t y x e t p t x y 2 ( ) 2 2 1 ( , , ) - - = p . 此时有 lim t®¥ p(t, x, y) = 0 . (12. 9) 定义１２.１０（不变密度） 若概率分布密度j(×) 关于时齐 Markov 过程的转移函数 p(t, x, y) ，满足 ò j( y) = p(t, x, y)j (x)dx , 则称j(×) 为 p(t, x, y) 的(或随机过程{ : t ³ 0} t x 的）不变概率分布密度函数，简称不变密度. 2 鞅列与鞅 2. 1 条件期望再访(仅作参考) 背景与例子 定 义 １ ２ . １ １ 若 (x ,h) 为离散的或具有联合密度 的随机向量 , 那 么 ( y) =E( | = y) D j x h 是一个 Borel 函数. 定义 (x |h) j(h) D E = . 于是，对于h 的任意的一 个 Borel 函数h(h) , 只要它满足: 对于任意 Borel 函数g , 恒有 E(xg(h)) = E[h(h)g(h)] (E.1) (这个式子等价于: 对于任意 Borel 集合L , 恒有 (x (h)) [ (h) (h)] L = L E I E h I ), (E.1)’ 那么就有 P(E(x |h) = h(h)) = 1 . 引理１２.１２ （均方最佳近似） 若 < ¥ 2 Ex , 则存在 Borel 函数h(x) , 使
E(5-h()=int函数E(5-f(m) 这个h(m)是已知n时ξ的最佳近似,也可以由上面的方程E.1)或(E.1)得到,它就是 E(5|n) 定义12.13(条件期望的抽象定义) 若只假定E|k∞,则测度论证明了,存在 Borel函数q满足 对于任意 Borel函数g,恒有 E(g()=E[()g(m) (等价于用{lA(m):A为 Borel集}代替{g(m):g为Borl函数}).我们定义E(2|m)=() 这个q在下述意义下唯一:若另有一个 Borel函数v也满足:对于任意 Borel函数g有 E(ξg()=E[v(m)g(,那么必有P((m)=v()=1.因此,条件期望E(|n)在 不计概率为0的差异时是确切定义的 显见定义12.11是定义12.13的特殊情形.类似地可以定义 E(5|n,s),E(|n1…,nn) 条件期望的主要性质 (1)E(2|n)对ξ具有线性性质;对常数c有E(a|n)=a (2)E(2g()n)=g(m)E(2|n) (3)若5,n相互独立,则E((5,m)m)=[E(5,a)a=n 4)E[E(|n,s)n]=E(|n);E[E(|)n,s]=E(|n) 条件期望的定义的再推广 定义12.14假定E|5k∞,则E(|n1,…,mn,…)定义为:n→∞时 E(|n1…,nn)在以下意义下的极限随机变量: imn,E|E(|n1…nn)-E(n1…,n…)=0 定义12.15E(5|n,S≤1)定义为满足下述两个条件的随机变量: (1)∈d(n)(回忆起第11章第2节中的定义,若随机变量族n={,s≤l}中 任意有限个元素的任意有界连续函数全体组成的集合为Φ(n),而包含Φ(n)且对C2中收 敛性封闭的最小集合就是Φ(η);
329 2 2 E(x h(h)) inf E(x f (h)) - = 函数f - . 这个 h(h) 是已知h 时x 的最佳近似, 也可以由上面的方程(E.1)或(E.1)’得到,它就是 E(x |h) . 定义１２.１３ （条件期望的抽象定义） 若只假定 E |x |< ¥ , 则测度论证明了，存在 Borel 函数j 满足: 对于任意 Borel 函数g ，恒有 E(xg(h)) = E[j(h)g (h)] (等价于用{ ( ) :L为Borel集} IL h 代替{g(h): g为Boral函数})．我们定义 (x |h) j(h) D E = . 这个j 在下述意义下唯一: 若另有一个 Borel 函数y 也满足: 对于任意 Borel 函数 g 有 E(xg(h)) = E[y(h)g(h)] , 那么必有 P(j(h) =y(h)) = 1. 因此, 条件期望 E(x |h) 在 不计概率为 0 的差异时是确切定义的. 显 见 定 义 １ ２ . １ １ 是定义 １ ２ ． １ ３ 的 特殊情形 . 类似地可以定义 E(x |h,V ) , ( | , , ) E h1 hn x L . 条件期望的主要性质 (1) E(x |h) 对x 具有线性性质; 对常数c 有 E(a |h) = a ; (2) E(xg(h) |h) = g (h)E(x |h) ; (3) 若x ,h 相互独立, 则 h x h h x = a= E( f ( , ) | ) [Ef ( , a)] ; (4) E[E(x |h,V ) |h] = E(x |h) ; E[E(x |h) |h,V ] = E(x |h) . 条件期望的定义的再推广 定 义 １ ２ . １４ 假 定 E |x |< ¥ , 则 ( | , , , ) E x h1 L hn L 定义为 : n ® ¥ 时 ( | , , ) E h1 hn x L 在以下意义下的极限随机变量： lim n®¥ E | E(x |h1 ,L,hn ) - E(x |h1 ,L,hn ,L) |= 0 ． 定义１２.１５ E( | ,s t) x hs £ 定义为满足下述两个条件的随机变量 Ù x ： (1) Ù x Î F (h)（回忆起第１１章第 2 节中的定义，若随机变量族 D h＝{ : s t} hs £ 中 任意有限个元素的任意有界连续函数全体组成的集合为F (h) ，而包含F (h) 且对 L 2 中收 敛性封闭的最小集合就是F (h) ）；