厄密算符的本征值和本征函数 当体系处于态沙，某力学量O的测量结果一般不具有确定的数 值，而是具有一定分布几率的数值，除非中正好是算符O的本征 函数.此时，对应的观测量确定值称为算符关于该本征函数的本 征值，即： Ob=入沙入为常数 当体系处于算符O的某个本征态功时，测量O的平均值即为其 本征值， 0=(pn,Opn)=入n(pnm,n)=入n (12) 4口卡414亡·1色，生刀QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 厄密算符的本征值和本征函数 当体系处于态 ψ, 某力学量 O 的测量结果一般不具有确定的数 值, 而是具有一定分布几率的数值, 除非 ψ 正好是算符 O 的本征 函数. 此时, 对应的观测量确定值称为算符关于该本征函数的本 征值, 即: Oψ = λψ λ 为常数. 当体系处于算符 O 的某个本征态 ψ 时, 测量 O 的平均值即为其 本征值, O¯ = (ψn, Oψn) = λn(ψn, ψn) = λn (12)
厄密算符的三个定理 定理1：厄密算符的本征值为实数， 证明：由本征方程O心=入砂，可以得到 (,O)=λ(，)=入 (13) 因为 (,O)=(Ob,)=(ψ，O沙)*=入*， (14) 得到入=入*，即入为实数 4口卡4日4三·1色生)QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 厄密算符的三个定理 定理 1: 厄密算符的本征值为实数. 证明: 由本征方程 Oψ = λψ, 可以得到 (ψ, Oψ) = λ(ψ, ψ) = λ (13) 因为 (ψ, Oψ) = (Oψ, ψ) = (ψ, Oψ) ∗ = λ ∗ , (14) 得到 λ = λ ∗ , 即 λ 为实数
定理2：厄密算符对于不同本征值的本征函数，彼此正交， 证明：设n和中m为O的本征函数，对应的本征值为入n,入m.即： Obn=入n,Obm=入mm (15) 对上面第二式取复共轭，并利用入m=,得到 0*b=入mbm (16) 两边同时乘以沙n并全空间积分得到： (Oψm,pn)=入m(m,中n) (17) 利用算符厄密性质有： LHS=(pm,Opn）=(pm,入nn）=入n(pm,ψn) (18) 口卡4回14三”1声， )Q0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定理 2: 厄密算符对于不同本征值的本征函数, 彼此正交. 证明: 设 ψn 和 ψm 为 O 的本征函数, 对应的本征值为 λn, λm. 即： Oψn = λψn, Oψm = λmψm. (15) 对上面第二式取复共轭, 并利用 λm = λ ∗ m, 得到 O ∗ψ ∗ m = λmψ ∗ m (16) 两边同时乘以 ψn 并全空间积分得到： (Oψm, ψn) = λm(ψm, ψn) (17) 利用算符厄密性质有: LHS = (ψm, Oψn) = (ψm, λnψn) = λn(ψm, ψn) (18)
故有 (入m-入n)(m,n)=0 (19) 因为入m卡入n,则有 (m,ψn)=0 (20) 量子力学求解的基本问题：求解厄密算符（力学量）的本征方程 以获得体系的本征函数和本征值（通常是能量） 口卡+日4三+1色，生QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 故有: (λm − λn)(ψm, ψn) = 0 (19) 因为 λm ̸= λn, 则有: (ψm, ψn) = 0 (20) 量子力学求解的基本问题: 求解厄密算符 (力学量) 的本征方程 以获得体系的本征函数和本征值 (通常是能量)
例：求角动量z分量Lz=-市品的本征函数， 待求解的本征方程为 一市 Φ=↓2Φ b (21) 可以得到通解 Φ(p)=CexT (22) 其中C待求常数.考虑到波函数的单值性，即④（φ）=Φ（中+2π）， 由此可以得到 12/h=m,(m=0,±1，±2，.)） (23) 即角动z分量的本征值为：2=m访 口“日4三+1色，生QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 例: 求角动量 z 分量 Lz = −i¯h ∂ ∂ϕ 的本征函数. 待求解的本征方程为 −i¯h ∂ ∂ϕΦ = lzΦ (21) 可以得到通解 Φ(ϕ) = C exp ( i lz ¯h ϕ ) (22) 其中 C 待求常数. 考虑到波函数的单值性, 即 Φ(ϕ) = Φ(ϕ + 2π), 由此可以得到 lz/¯h = m, (m = 0, ±1, ±2, . . .) (23) 即角动 z 分量的本征值为:lz = m¯h