单 物理学院 School of Physics 求真求实 大气大为 第六章二次量子化方法 授课教师：邬劭轶教授
求真求实 大气大为 第六章 二次量子化方法 授课教师: 邬劭轶 教授
二次量子化方法 6.1产生湮灭算符 基本算符：产生和湮灭算符→可用于表示力学量和状态（多粒子体系）. 对N个全同费米子体系，有一组正交归一的单粒子态，并假设分别有一个粒子处于 ,B,中y,态上，则归一化的N粒子反对称波函数可以表示为： 1 1Ψa(1) ψa(2) ψa(3) ψg(1) ψg(2) ψg(3) =la,B,y,…〉 定义产生算符ad,咕，时，…为： la,B,y,…)=aa咕时lny 2)没有粒子的基态
二次量子化方法 基本算符:产生和湮灭算符⇒可用于表示力学量和状态(多粒子体系). 对N个全同费米子体系,有一组正交归一的单粒子态𝜓𝑖 ,并假设分别有一个粒子处于 𝜓𝛼, 𝜓𝛽, 𝜓𝛾, …态上,则归一化的N粒子反对称波函数可以表示为: 1 𝑁! 𝜓𝛼(1) 𝜓𝛼(2) 𝜓𝛼(3) … 𝜓𝛽(1) 𝜓𝛽(2) 𝜓𝛽(3) … … … … … = |𝛼, 𝛽, 𝛾, … 〉 定义产生算符𝑎𝛼 † , 𝑎𝛽 † , 𝑎𝛾 † , …为: 𝛼, 𝛽, 𝛾, … = 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω |Ω〉没有粒子的基态 6.1 产生湮灭算符
二次量子化方法 由于费米子的任意两个单粒子态不能相同（泡利原理），即adad=0. 交换对称性（费米子满足反对称性质）：IBay…〉=-|βy…〉 或者写成i咕对…ln)=-咕t叶…ln),整理可以得到a咕+咕=0. 定义反对易算符财，咕l={财，咕}三咕咕+咕站=0. 取算符的厄密共轭，我们可以得到[aa,ag]t三aaag+agaa 由波函数的归一化性质有(alac)=laaa2)=1.aa称为湮灭算符
二次量子化方法 由于费米子的任意两个单粒子态不能相同(泡利原理) ,即𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 † = 0. 交换对称性(费米子满足反对称性质): 𝛽𝛼𝛾 … = − 𝛼𝛽𝛾 … 或者写成𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = −𝑎𝛽 † 𝑎𝛼 † 𝑎𝛾 † … Ω ,整理可以得到𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † + 𝑎𝛽 † 𝑎𝛼 † = 0. 定义反对易算符: 𝑎𝛼 † , 𝑎𝛽 † + = 𝑎𝛼 † , 𝑎𝛽 † ≡ 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † + 𝑎𝛽 † 𝑎𝛼 † = 0. 取算符的厄密共轭,我们可以得到: 𝑎𝛼, 𝑎𝛽 + ≡ 𝑎𝛼𝑎𝛽 + 𝑎𝛽𝑎𝛼. 由波函数的归一化性质有〈𝛼 𝛼 = Ω 𝑎𝛼𝑎𝛼 † Ω = 1. 𝑎𝛼称为湮灭算符
二次量子化方法 若≠B,对于单粒子态B占据的态， 利用apata咕a叶.…ln)=-as咕ada时ln）=-ada时l)=-axapapa时lny 可以得到：(agat+aap)IBy…）=0. 对于单粒子态B空着的态yd,也有(asad+atag)y心〉=0. 综合地，[ag,a]+三agat+adag=0(B≠a)
二次量子化方法 若𝛼 ≠ 𝛽, 对于单粒子态𝛽占据的态， 利用𝑎𝛽𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = −𝑎𝛽𝑎𝛽 † 𝑎𝛼 † 𝑎𝛾 † … Ω = −𝑎𝛼 † 𝑎𝛾 † … Ω = −𝑎𝛼 † 𝑎𝛽𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω 可以得到:(𝑎𝛽𝑎𝛼 † + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽) 𝛽𝛾 … = 0. 对于单粒子态𝛽空着的态 𝛾𝛿 … ,也有(𝑎𝛽𝑎𝛼 † + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽) 𝛾𝛿 … = 0. 综合地，[𝑎𝛽, 𝑎𝛼 † ]+ ≡ 𝑎𝛽𝑎𝛼 † + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 = 0 𝛽 ≠ 𝛼
二次量子化方法 下面考察若a=B的情形，单粒子态有粒子 令算符aaat和adaa分别作用于态laBy…,利用前面的关系式得到 aaablaBy…）=aaa咕a咕a咕a时ln=0 再有 ataalaBy…）=ataaakapa时ln)=adai时ln)=lapy.…） 两式相加得到： (aaad+adaa)laBy…）=laBy…） 考虑作用于单粒子态a没有粒子态即By),可以得到 aaaalBy…〉=lBy…）
二次量子化方法 下面考察若𝛼 = 𝛽的情形，单粒子态𝛼有粒子 令算符𝑎𝛼𝑎𝛼 †和𝑎𝛼 † 𝑎𝛼分别作用于态 𝛼𝛽𝛾 … , 利用前面的关系式得到 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝛼𝛽𝛾 … = 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = 0 再有 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 𝛼𝛽𝛾 … = 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = 𝑎𝛼 † 𝑎𝛽 † 𝑎𝛾 † … Ω = 𝛼𝛽𝛾 … 两式相加得到: 𝑎𝛼𝑎𝛼 † + 𝑎𝛼 † 𝑎𝛼 𝛼𝛽𝛾 … = 𝛼𝛽𝛾 … 考虑作用于单粒子态𝛼没有粒子态即 𝛽𝛾 … , 可以得到 𝑎𝛼𝑎𝛼 † 𝛽𝛾 … = |𝛽𝛾 … 〉