对易式满足的代数恒等式 经典力学中泊松括号满足的关系，可以对应到量子力学中对易式 代数恒等式： 1.[A,B=-[B,A. 2.[A,A]=0,[A,d=0,其中，c为常数 3.[A,B+q=[A,B+[A,q: 4.[A,BC=BA,C]+[A,B C. 5.[AB,C]=A[B,C]+[A,C B. 6.[A,cB=[cA,B=cA,B,其中，c为常数 7.[A,[B,qI+[B,[C,A+[C,[A,B]=0,雅可比恒等式 口卡+日4三+1色，生QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 对易式满足的代数恒等式 经典力学中泊松括号满足的关系, 可以对应到量子力学中对易式 代数恒等式: 1. [A, B] = − [B, A]. 2. [A, A] = 0, [A, c] = 0, 其中,c 为常数. 3. [A, B + C] = [A, B] + [A, C]. 4. [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C. 5. [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B. 6. [A, cB] = [cA, B] = c[A, B], 其中,c 为常数. 7. [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0, 雅可比恒等式
算符的转置，复共轭以及厄密共轭 首先，定义状态空间的内积为： 他，)=dr0φ (6) dr为位形空间的积分元 内积(，)具有如下的性质： 1.(ψ，Φ)≥0. 2.(少，p)*=(中，) 3.(ψ，入11+2p2)=入1（的，p1)+入2(p,p2),入1,2∈C. 4.(入11+入22，p)=入1(1，p)+λ(2，p),入1,2∈C. 4口卡4日4三·1色生)QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 算符的转置, 复共轭以及厄密共轭 首先, 定义状态空间的内积为: (ψ, ϕ) = ∫ dτψ∗ϕ (6) dτ 为位形空间的积分元. 内积 (_,_) 具有如下的性质: 1. (ψ, ϕ) ≥ 0. 2. (ψ, ϕ) ∗ = (ϕ, ψ). 3. (ψ, λ1ϕ1 + λ2ϕ2) = λ1(ψ, ϕ1) + λ2(ψ, ϕ2), λ1, λ2 ∈ C. 4. (λ1ψ1 + λ2ψ2, ϕ) = λ ∗ 1 (ψ1, ϕ) + λ ∗ 2 (ψ2, ϕ), λ1, λ2 ∈ C
算符O的转置O定义为： (b,0)=(0*,0b*) (7) 可以证明：(AB)=BA. 算符O的厄密共轭O定义为： (如，0)=(0b,p) (8) 可以证明：(AB)t=BAt 因为存在关系： (他，0)=(o,0)*=(0*,0*)=(,0*0),所以0t=0*. 一个算符的厄密共轭即为其转置复共轭. 口①4二4老， 是)QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 算符 O 的转置 O˜ 定义为: (ψ, O˜ϕ) = (ϕ ∗ , Oψ ∗ ) (7) 可以证明: (]AB) = B˜A˜. 算符 O 的厄密共轭 O† 定义为: (ψ, O †ϕ) = (Oψ, ϕ) (8) 可以证明: (AB) † = B †A † . 因为存在关系: (ψ, O†ϕ) = (ϕ, Oψ) ∗ = (ϕ ∗ , O∗ψ∗) = (ψ, O˜ ∗ϕ), 所以 O† = O˜ ∗ . 一个算符的厄密共轭即为其转置复共轭
厄密算符： 0t=0 (9) 或则利用算符的厄密算符定义，等价的有： (,00)=(0b,) (10) 厄密算符的一般性质： 1.厄密算符之和仍然为厄密算符 2.厄密算符之积一般不是厄密算符，除非乘积的两个厄密算符 相互对易. 4口卡4日4三·1色生)QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 厄密算符: O † = O. (9) 或则利用算符的厄密算符定义, 等价的有： (ψ, Oϕ) = (Oψ, ϕ) (10) 厄密算符的一般性质: 1. 厄密算符之和仍然为厄密算符. 2. 厄密算符之积一般不是厄密算符, 除非乘积的两个厄密算符 相互对易
定理：在任意状态下，厄密算符的平均值均为实数， 0=(,0)=(0地，)=（地，0）*=0 (11) 逆定理：在体系的任何量子态下平均值均为实数的算符，必为厄 密算符. 实验上可观测的力学量所对应的算符都是厄密算 符！ 4口卡4日4三·1色生)QC
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 定理: 在任意状态下, 厄密算符的平均值均为实数. O¯ = (ψ, Oψ) = (Oψ, ψ) = (ψ, Oψ) ∗ = O¯ ∗ (11) 逆定理: 在体系的任何量子态下平均值均为实数的算符, 必为厄 密算符. 实验上可观测的力学量所对应的算符都是厄密算 符！