复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第08讲

第八讲 上次课 导体静电边界条件:qwm=CDm:-p ds Gren及Gren互易定理:∑q,=∑q,ψ 静电导体系的电场总能:W=∑Q;电容系数:Q=∑C的 3,固有能和相互作用能 设有两个带电体1和2,他们在空间激发的电场分别为E和E2,则空间总的电场 为E=E1+E2。因此,体系的总能量 W=Edr=je dr+Edr +eJErE,di t(3.3.9) 由上式可以看出,系统的总能量由两部分组成。当如下条件之一存在时 (1)两个带电体自身的尺寸远远小于它们之间的距离时 (2)一个带电体的电量及尺寸远远小于另一个带电体的电量及尺寸, 两个带电体上的电荷分布不因两个带电体之间的相对构型的不同而不同。在这 个条件下,上式右方第一和第二项表示1或2带电体单独存在时的能量W和W2, 称为固有能;上式右方的第三项表示两 个体系合起来之后与原来单独存在时的 a <<r 能量差,称为相互作用能,可写成 Wm=EEx=∫ Vo. Vpdn 其中1,q2为两个带电体单独存在时的空间的电势分布,分别满足 其中p1,P2为两个带电体的电荷分布。可以利用分部积分将上式进一步简化: Wnt=Ev.(@, vp,dr=a()p,(ydr

1 第八讲 上次课：  导体静电边界条件： Surface Surface const.; dS Q n         Green 及 Green 互易定理： ' 1 1 ' m m ii i i i i q q        静电导体系的电场总能： 1 2 i i i W Q   ；电容系数： i ij j j Q C    3．固有能和相互作用能 设有两个带电体 l 和 2，他们在空间激发的电场分别为 E1 2 E   和 ，则空间总的电场 为 E=E +E 1 2   。 因此，体系的总能量 int 1 2 222 W= E E E E E 1 2 12 22 2 W W W ddd d                 （3.3.9） 由上式可以看出，系统的总能量由两部分组成。当如下条件之一存在时 （1）两个带电体自身的尺寸远远小于它们之间的距离时， （2）一个带电体的电量及尺寸远远小于另一个带电体的电量及尺寸， 两个带电体上的电荷分布不因两个带电体之间的相对构型的不同而不同。在这 个条件下，上式右方第一和第二项表示 l 或 2 带电体单独存在时的能量W W 1 2 和 ， 称为固有能；上式右方的第三项表示两 个体系合起来之后与原来单独存在时的 能量差，称为相互作用能，可写成 int 1 2 2 1 W EE       d d         其中 1 2  , 为两个带电体单独存在时的空间的电势分布，分别满足 2 2 11 2 2          / , / 其中 1 2  , 为两个带电体的电荷分布。可以利用分部积分将上式进一步简化： 2 W ( ) () () int 1 2 1 2 1 2                 d d r rd     r a a << r

因为两个带电体的自身的尺寸<它们之间的间距,q在带电体2的所处的区间 内近似为一常数,则 ≈a1P2ar=q2 (3.3.10) 此即是相互作用能的表达式。显然(3.3.10)可以应用于小的电荷体系(如点电 荷)在大的电荷体系产生的电场中(满足条件(2)),以及点电荷之间的相互作 用能(满足条件(1) 点电荷在外电场中 对一个点电荷q放置于外电场中,设点电荷所在的位置处外电场的电势为 n(G),则这个体系的相互作用能为 Wint=ge (r) (3.3.11) 注意:这个相互作用是点电荷和外场共有的,不是点电荷自身的。可以与运动粒子在静 磁场中的附加动量△P=qA(P)相比较,均为带电体与外场共有的“相互作用舵(动)量 电荷系的相互作用能 现在考虑由一系列点电荷组成的体系的相互作用能。首先考虑相距为R的两个 点电荷q和q2的相互作用能 q192 其中q2是电荷q2在电荷q1处的势.同理我们也可以把Wa2表示为q,其中2 为q1电荷在电荷q2的势,所以相互作用能可以写为 Wm1=(q91+q292) 因此,有n个电荷的体系,其相互作用能可以表示为 Wm=∑qn9 这里四是指第导体在第a个导体处产生的电势。定义 g=∑q (33.12) 物理意义为除电荷qn之外所有其余电荷在电荷qn处的势之和,则有 q (3.3.13)

2 因为两个带电体的自身的尺寸<<它们之间的间距，1在带电体 2 的所处的区间 内近似为一常数，则 W12 1 2 1 2 v      d q  （3.3.10） 此即是相互作用能的表达式。显然（3.3.10）可以应用于小的电荷体系（如点电 荷）在大的电荷体系产生的电场中（满足条件（2）），以及点电荷之间的相互作 用能（满足条件（1））。 点电荷在外电场中 对一个点电荷 q 放置于外电场中，设点电荷所在的位置处外电场的电势为 ( ) ext  r  ，则这个体系的相互作用能为 W () int ext  q r   （3.3.11） 注意：这个相互作用能是点电荷和外场共有的，不是点电荷自身的。可以与运动粒子在静 磁场中的附加动量 P () ext   qA r    相比较，均为带电体与外场共有的“相互作用能（动）量。 电荷系的相互作用能 现在考虑由一系列点电荷组成的体系的相互作用能。首先考虑相距为 R 的两个 点电荷 1 2 q q 和 的相互作用能 1 2 int,12 1 2 0 W 4 q q q R     其中2 是电荷 2 q 在电荷 1 q 处的势. 同理我们也可以把Wint,12 表示为 2 1 q  ，其中2 为 1 q 电荷在电荷 2 q 的势，所以相互作用能可以写为 int,12 1 1 2 2 1 W( ) 2   q q   因此，有 n 个电荷的体系，其相互作用能可以表示为 int 1 2 n W q          （3.3.11） 这里   是指第  导体在第 个导体处产生的电势。定义           （3.3.12） 物理意义为除电荷q 之外所有其余电荷在电荷q 处的势之和，则有 int 1 2 n W q      （3.3.13）

注意此处(.13)的形式虽然与W的形式很类似,但的含义与总中n的含义不同 前者创去了自己对自己的贡就,也就是能量中的固有能。相互作用能可正可负,但总能量 严格为正。 §34静电体系的稳定性问题 我们已经研究了给定导体位置的构型时的静电问题,但静电体系处在这个构 型下是否是稳定的?稳定时体系的中电荷分布及导体的构型应满足什么条件 要回答这些问题,我们需要研究体系的能量,因为体系的稳定状态对应于能量取 极小值时的状态。一个荷电导体组成的体系的总静电能为 W=oE'dr= o p()o()dr (34.1) 对应于不同的电荷分布p(F),或者等价的说电势分布(F),体系具有不同的能 量。因此能量W是p(F)或()的泛函W=W[p(F。现在的问题即时 对应志样的电荷分市(或电势分市)体系的能量为极小值? 问题进一步转化成:对应p(P的一个虚变动p(F)→p(F)+bp(),我们要求 (34.2) 下面就根据(342)的要求讨论静电体系的平衡问题。电荷分布的变动o()有 2类,一种是导体位置不动,电荷在导体上的再分布,一种是由导电体的位置变 动引起的。当然,第2中情况也不可避免地引发第一种变化。这里,我们将问题 简化,重点考察2个情况 1.汤姆孙定理 先考虑一种相对简单的情况:每个导体都是不动的,但电荷在导体上可以自 由再分布。显然,这种扰动必须满足如下约束条件: l 8p, dr=80=0 (34.3) 让我们考虑由于电荷分布的扰动而引起的能量的变化 8W=WIP+8p]-W[P]=E E dEdr=-EVp SEdr (344) 其中δE为所产生的电场,满足 V·E=p/ 对(344)进行分步积分可得

3 注意此处（3.3.13）的形式虽然与 W 的形式很类似，但 的含义与总能中的含义不同 – 前者刨去了自己对自己的贡献，也就是能量中的固有能。相互作用能可正可负，但总能量 严格为正。 §3.4 静电体系的稳定性问题 我们已经研究了给定导体位置的构型时的静电问题，但静电体系处在这个构 型下是否是稳定的？稳定时体系的中电荷分布及导体的构型应满足什么条件？ 要回答这些问题，我们需要研究体系的能量，因为体系的稳定状态对应于能量取 极小值时的状态。一个荷电导体组成的体系的总静电能为 0 0 2 ()() 2 2 W Ed r rd            （3.4.1） 对应于不同的电荷分布 ( )r  ，或者等价的说电势分布( )r  ，体系具有不同的能 量。因此能量 W 是 ( )r  或( )r  的泛函WW r  [ ( )]   。现在的问题即时： 对应怎样的电荷分布（或电势分布），体系的能量为极小值？ 问题进一步转化成：对应 ( )r  的一个虚变动 ( ) ( )+ ( ) r rr       ，我们要求 0 W   （3.4.2） 下面就根据（3.4.2）的要求讨论静电体系的平衡问题。电荷分布的变动( )r  有 2 类，一种是导体位置不动，电荷在导体上的再分布，一种是由导电体的位置变 动引起的。当然，第 2 中情况也不可避免地引发第一种变化。这里，我们将问题 简化，重点考察 2 个情况。 1． 汤姆孙定理 先考虑一种相对简单的情况：每个导体都是不动的，但电荷在导体上可以自 由再分布。显然，这种扰动必须满足如下约束条件： 0 i i    d Q    （3.4.3） 让我们考虑由于电荷分布的扰动而引起的能量的变化 [ ] [ ] W W W E Ed Ed                        （3.4.4） 其中 E  为 所产生的电场，满足    E /    对（3.4.4）进行分步积分可得

6W=∫v(oEr+6f.6Er=jor=∑op?dr(345) 上式第一项可利用高斯定理变为面积分,其结果为零。由于约束(343)的存在, 极值条件须引入拉格朗日不定乘子弓,可得 0=8-∑420=∑∫0d-∑,adr (346) ∑∫[叭()-4](F)dr 因为p(F)相互独立,上式导致 qG)=2 (34.7) 因此,若导体系中每个导体的位置固定不变,每一导体上放置一定量的电荷,则 当电荷的分布使所有导体均为等势体时,能量到达极小值,体系处于平衡状态。 (愿考:严格来说还需证弼一2>0,你否证明?。这就是汤姆孙定理。我们 在前面讲导体的静电平衡条件时曾通过物理的 Argument得到过这个结论,这里 根据能量在约束条件下达到极小这一平衡判据对这个结论给出了数学上的严格 证明。但得到这样的静电平衡状态有两个条件 1)导体上的电荷不会离开导体; 2)每个导体的位置保持不变 对条件1)我们已经知道有非静电来源的表面束缚能(功函数)阻止电荷脱离导 体。如果我们将条件2)放松,使得导体的位置可以发生变化,那么这种导体构 型的变动必然导致电荷密度的再分布进一步改变体系的总能量。问题是:什么样 的构型是体系的稳定状态呢? 2.恩肖定理 在讨论由于导体构型的变化而产生的能量改变时,我们做如下假设 1)“绝热近似”-即带电体的运动速度很慢使得每个时刻上面的电荷分布 都有足够的时间达到平衡(即称为等势体)。 2)带电体之间的距离足够远,带电体的运动带来的每个导体上的电荷再分 布可以忽略。 在此近似下,我们可以不考虑体系的固有能(因为在构型发生改变时固有能不 变),而只考虑相互作用能: W (34.8) W是各个导体位置{}的函数,Wn({},其具有极小值的充要条件是:W对

4 W () i i                     E d Ed d d    （3.4.5） 上式第一项可利用高斯定理变为面积分，其结果为零。由于约束（3.4.3）的存在， 极值条件须引入拉格朗日不定乘子i ，可得   0 () () () i i i ii i ii i i i i ii i i W Q rd d r rd                           （3.4.6） 因为 ( ) i  r  相互独立，上式导致 ( )i i  r    （3.4.7） 因此，若导体系中每个导体的位置固定不变，每一导体上放置一定量的电荷，则 当电荷的分布使所有导体均为等势体时，能量到达极小值，体系处于平衡状态。 （思考：严格来说还需证明 2 2 0  W   ，你能否证明？。这就是汤姆孙定理。我们 在前面讲导体的静电平衡条件时曾通过物理的 Argument 得到过这个结论，这里 根据能量在约束条件下达到极小这一平衡判据对这个结论给出了数学上的严格 证明。但得到这样的静电平衡状态有两个条件： 1）导体上的电荷不会离开导体； 2）每个导体的位置保持不变。 对条件 1）我们已经知道有非静电来源的表面束缚能（功函数）阻止电荷脱离导 体。如果我们将条件 2）放松，使得导体的位置可以发生变化，那么这种导体构 型的变动必然导致电荷密度的再分布进一步改变体系的总能量。问题是：什么样 的构型是体系的稳定状态呢？ 2．恩肖定理 在讨论由于导体构型的变化而产生的能量改变时，我们做如下假设 1） “绝热近似”- 即带电体的运动速度很慢使得每个时刻上面的电荷分布 都有足够的时间达到平衡（即称为等势体）。 2） 带电体之间的距离足够远，带电体的运动带来的每个导体上的电荷再分 布可以忽略。 在此近似下，我们可以不考虑体系的固有能 （因为在构型发生改变时固有能不 变），而只考虑相互作用能： int 1 1 2 n W q        （3.4.8） Wint 是各个导体位置{ } r   的函数， int W r ({ })   ，其具有极小值的充要条件是：Wint 对

所有电荷的坐标的一阶微商必须为零,而二阶微商必须恒大于零.简单起见,这 里我们只考虑其中一个导体的位置发生了变化元+G元,则变分后第一个条 件要求 Vam=0→ 亦即,在每个导体所在处,由其他导体产生的电场必须相互抵消恒为0 这一条件依赖于具体的导体构型。假设这一个条件能够实现,我们进一步考察这 种状态的稳定性问题。让我们检查W在某一个“平衡位置”附近对其中一个导 体位置做相应扰动元→+la,保留到2阶,有 W({n+元})-(2})=∑ a-1 drdr/+ =∑B,bd+ =I, a1 其中B;-2ar2br 为一个对称矩阵。将B矩阵对角化,得到一系列本征值b 则有 6W=∑h()+ (349) 其中对应这一本征值的本征矢量,可以理解为这些扰动的“简正”模式。要 得到稳定状态,则要求所有可能的扰动均导致能量上升,亦即所有的本征值均大 于0: l=1. (34.10 另一方面,考虑 VaWm=∑qa=qVg (34.11) 其中是除q之外所有其他电荷在第a个电荷处产生的势(这里M2消关的原

5 所有电荷的坐标的一阶微商必须为零，而二阶微商必须恒大于零．简单起见，这 里我们只考虑其中一个导体的位置发生了变化rrr         ，则变分后第一个条 件要求 0 0 0         W E int   （3.4.9） 亦即，在每个导体所在处，由其他导体产生的电场必须相互抵消恒为 0。 r  这一条件依赖于具体的导体构型。假设这一个条件能够实现，我们进一步考察这 种状态的稳定性问题。让我们检查 W 在某一个“平衡位置”附近对其中一个导 体位置做相应扰动r r dr         ，保留到 2 阶，有 2 1 ({ }) ({ }) 2 i j i j i,j x,y,z i j i,j i, j x,y,z W W r r W r dr dr ... r r B dr dr ...                         （3.4.9） 其中 2 1 2 i,j i j W B r r       为一个对称矩阵。将 B 矩阵对角化，得到一系列本征值 i b ， 则有，  2 2 1 3 i i i , W b dr ...        （3.4.9’） 其中 i dr 对应这一本征值的本征矢量，可以理解为这些扰动的“简正”模式。要 得到稳定状态，则要求所有可能的扰动均导致能量上升，亦即所有的本征值均大 于 0： 0 1 2 3 i b , i ,,   （3.4.10） 另一方面，考虑 2 22 int 1 n j j j Wq q            （3.4.11） 其中是除q 之外所有其他电荷在第 个电荷处产生的势（这里 1/2 消失的原