复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第16讲

第十六讲 上次课 磁多极矩展开-磁偶极子: m=1XMr、元=么丽×、4n 1m·r 与外场“有效相互作用能”-0m=-mB,在等电流条件下推得 第六章似稳场(准静场) 前面几章中我们研究了静止电荷产生的静电场、稳恒电流产生的静磁场 从现在开始,我们开始硏究随时间变化的电磁场。本章研究随时间变化足够缓慢 的电磁场,叫做似稳场,又叫“准静场”( Quasi- Static field),这部分的研究是整 个电工学的基础。事实上,对很多实际问题,尽管其中电磁场是随时间变化的, 由于其满足“似稳”条件,这些问题可以在似稳近似下求解。这将极大地简化我 们的计算,而且使得我们具有非常清晰的物理图象,前面提及的“电磁流变液”, “光镊”等等都属于此类问题。 §6.1似稳条件 原则上电磁规律是由 Maxwel方程 V·D=p V×E at V·B=0 ×H D 决定的,其中称为“位移电流”。位移电流的是由 Maxwell引入的,其直接 后果是导致电磁波的出现,使得电磁能量以电磁场的形式脱离源而存在。看如下 示意图,由电荷(由电荷密度p刻画)产生的电场E作用于电荷上时会产生电 流(由电流密度j刻画),而进一步会产生磁场B。当磁场B发生变化时,根据 Faraday定律会产生感应电场Ex,其又进一步作用于电荷改变电流,加入之前的

1 第 十 六 讲 上次课：  磁多极矩展开 - 磁偶极子： 1 ( ) 2 m r jrd         、 0 3 4 m m r A r        、 3 1 4 m m r r        与外场“有效相互作用能” - U mB int    e    ，在等电流条件下推得 第六章 似 稳 场 （准静场） 前面几章中我们研究了静止电荷产生的静电场、稳恒电流产生的静磁场。 从现在开始，我们开始研究随时间变化的电磁场。本章研究随时间变化足够缓慢 的电磁场，叫做似稳场，又叫“准静场”（Quasi-Static field），这部分的研究是整 个电工学的基础。事实上，对很多实际问题，尽管其中电磁场是随时间变化的， 由于其满足“似稳”条件，这些问题可以在似稳近似下求解。这将极大地简化我 们的计算，而且使得我们具有非常清晰的物理图象，前面提及的“电磁流变液”， “光镊”等等都属于此类问题。 §6.1 似 稳 条 件 原则上电磁规律是由 Maxwell 方程 0 D B E t B D H j t                               决定的，其中 D t    称为“位移电流”。位移电流的是由 Maxwell 引入的，其直接 后果是导致电磁波的出现，使得电磁能量以电磁场的形式脱离源而存在。看如下 示意图，由电荷（由电荷密度  刻画）产生的电场 E 作用于电荷上时会产生电 流（由电流密度 j 刻画）, 而进一步会产生磁场 B。 当磁场 B 发生变化时，根据 Faraday 定律会产生感应电场 EK  ，其又进一步作用于电荷改变电流，加入之前的

循环。若不考虑“位移电流”的影响,则这个图像告诉我们电场、磁场一直束缚 在电荷、电流附近,即使随时间变化,也不会脱离电荷、电流而去,其行为大 致与静态的电磁场相仿 E 然而考虑了“位移电流”项之后, 这个图像被从根本上打破了。如右图所 B 应电牺 示,即使在无源区,电场的变化通过 啦红皱,能量交换回闭會 “位移电流”的效应会导致新的磁场 而磁场的变化导致新的电场,电磁场就 这样脱离电荷而去,这个过程叫做“辐射”一将在第十二章具体展开阐述。 电磁辐射”产生的电磁场的主要性质是:空间的场在某一时刻t的值 E(F,1),B(F,1)是由比t早一些时候的电流、电荷f(r'=t-r/c,p(F,r'=t-r/c)决 定的,而并不与t时刻的电流和电荷对应,这就是所谓的“推迟应物理上, 这非常容易理解,因为某一时刻的电荷、电流产生的影响要经过r/c时间的电磁 波的传播才能使得r点产生电磁场。这样的后果是场和源不是瞬时关系,给我们 的研究带来了麻烦,具体计算时,必须严格求解全空间的波动方程(严格方法在 第十二章中介绍)。 当某些时空条件满足时,我们可以略去“位移电流”的影响,这样做的后果 是使得源和场之间具有瞬时关系。每一时刻,其源和场之间的关系类似于静态场 的源和场的关系,因此这种场也称作“似稳场”。这种场的性质非常容易理解, 很多我们在静态时发展的方法也因此可以使用,因此“似稳场”的研究具有重要 的实际意义。那么,在什么情况下略去“位移电流”才算是合理的?这就是下面 我们要讨论的似稳条件。 (1)如果考察的区域是在导体内部,其中除位移电流外还有传导电流 dE 元=aE 若场是谐变的,即E=E2e-,则 -ioE J OE 取其模得

2 循环。若不考虑“位移电流”的影响，则这个图像告诉我们电场、磁场一直束缚 在电荷、电流附近，即使随时间变化，也不会脱离电荷、电流而去，其行为大 致与静态的电磁场相仿。 然而考虑了“位移电流”项之后， 这个图像被从根本上打破了。如右图所 示，即使在无源区，电场的变化通过 “位移电流”的效应会导致新的磁场， 而磁场的变化导致新的电场，电磁场就 这样脱离电荷而去，这个过程叫做“辐射” – 将在第十二章具体展开阐述。 “电磁辐射”产生的电磁场的主要性质是：空间的场在某一时刻 t 的值 Ert Brt ( , ), ( , )     是由比t 早一些时候的电流、电荷 j( ' / ), ( , ' / ) t t r c rt t r c      决 定的，而并不与t 时刻的电流和电荷对应，这就是所谓的“推迟效应”。 物理上， 这非常容易理解，因为某一时刻的电荷、电流产生的影响要经过r c/ 时间的电磁 波的传播才能使得 r 点产生电磁场。这样的后果是场和源不是瞬时关系，给我们 的研究带来了麻烦，具体计算时，必须严格求解全空间的波动方程（严格方法在 第十二章中介绍）。 当某些时空条件满足时，我们可以略去“位移电流”的影响，这样做的后果 是使得源和场之间具有瞬时关系。每一时刻，其源和场之间的关系类似于静态场 的源和场的关系，因此这种场也称作“似稳场”。这种场的性质非常容易理解， 很多我们在静态时发展的方法也因此可以使用，因此“似稳场”的研究具有重要 的实际意义。那么，在什么情况下略去“位移电流”才算是合理的？这就是下面 我们要讨论的似稳条件。 (1) 如果考察的区域是在导体内部，其中除位移电流外还有传导电流： , w cc E j j E t           若场是谐变的，即 0 i t E Ee     ，则   w c c j i E j E          取其模得： w c c j j      E B变化 E, j B E j B B变化 产生 感应电场 E变化 B 似 稳场区 域 ，能 量 交 换回 路闭 合

忽略位移电流的条件是/<1,即 G <<0 (6.1.1) 因此,似稳场成立的第一个条件是电磁场的变化频率远小于金属的特征频率 =。对于好的金属如铜,≈59×1021.m-,E≈E0=885×10-12F/m,其 特征频率为on≈67×108H。可见光的波长大约30000mm,对应的圆频率大约 105Hz。可见,对干许多好金属而言,在很大的频率范固内在金属内部将位移电 流忽略都是合理的。 (2)如果考察的区域是导电介质的外部,或者说我们考察真空中F处的源 激发的在F处的场。设场是谐变的,即所有物理量均带有e-m的因子。假设空间 的源为j(GF’,1)。如果不考虑“位移电流”的影响,则磁场应有源“即时”决定, B(F,1)=地「(F1)xR 4 其中,R=|-P。然而考虑“位移电流”的影响后,空间的场是由过去时刻的 源(j(F,t-R/c)=j(r)eo-)激发的。在离激发源不太远的地方,考虑“位 移电流导致的辐射效应,磁场的正确行为大致为 B(F,1)≈n「/(F:t-B1A/r'=B88, (具体证明将在第十二章中给出。要满足“瞬时关系“,就要求略去这一推迟效 应-亦即“辐射修正”。因为 B(F,1)=B(F,1)1+-oR+…|, 所以当条件 R<<1 即 R 满足时,可以略去eM的贡献(将其设为1)。这个过程相当于我们忽略“位移 电流“导致的推迟效应,成者说是辐射修正。这就是说,考察点到源的距离远小

3 忽略位移电流的条件是 1 w c j j    ，即 c        (6.1.1) 因此，似稳场成立的第一个条件是电磁场的变化频率远小于金属的特征频率 c      。对于好的金属如铜， 7 1 1 12 0 5.9 10 , 8.85 10 /   c m Fm         ，其 特征频率为 18 6.7 10 Hz    。可见光的波长大约 300-700 nm, 对应的圆频率大约 15 10 Hz。可见，对于许多好金属而言，在很大的频率范围内在金属内部将位移电 流忽略都是合理的。 (2) 如果考察的区域是导电介质的外部，或者说我们考察真空中r  处的源 激发的在r  处的场。设场是谐变的，即所有物理量均带有 i t e  的因子。假设空间 的源为 j( ', ) r t   。如果不考虑“位移电流”的影响，则磁场应有源“即时”决定， 0 0 3 ( ', ) (,) ' 4 jr t R B rt d R            其中， R  r r   。然而考虑“位移电流”的影响后，空间的场是由过去时刻的 源（ ( /) ( ', / ) ( ') i t Rc jr t R c jr e         ）激发的。在离激发源不太远的地方，考虑“位 移电流导致的辐射效应, 磁场的正确行为大致为 0 / 3 0 ( ', / ) (,) ' (,) 4 i Rc jr t R c R Brt d B rte R                 ， (具体证明将在第十二章中给出)。要满足“瞬时关系“，就要求略去这一推迟效 应 - 亦即“辐射修正”。因为 0 (,) (,)1 i Brt B rt R c               ， 所以当条件 R 1 c   即 2 R    (6.1.2) 满足时，可以略去 i Rc/ e  的贡献（将其设为 1）。这个过程相当于我们忽略“位移 电流“导致的推迟效应，或者说是辐射修正。这就是说，考察点到源的距离远小

于场的波长时,略去位移电流是合理的,这就是焦稳场成立的空同条件。例如 对于50Hz的频率,A=6000Ⅶm;而对于800kHz的频率,A=375m。可见在低 颜倩况下,如考察区域的线度远小于波长,则此场可看成是似稳场。 (61.1)和(6.1,2)式就是似稳条件。 Quasi- Static Field的概念被人们广泛应用 (1)比如前面提过的“电流变液”体系,即将一些介电球体放置在一个盛有溶 液的器皿里,施加电场可以在很短的时间里将体系由悬浮液状态转变成为固态 因为溶液里不可避免地有少量自由电荷,如果直接施加直流电将使得这些电荷在 电场中运动从而附着在电极上,最后的结果是使得电场被屏蔽,效率降低。为了 对付这种情形,人们常用的方法是施加低频交流电,使得自由电荷不会朝一个方 向运动直到将电极屏蔽,而是来回运动。 正极 一般适用的交流电频率在1000周以内, 对应的电磁波长为30公里,远远大于考虑 的体系大小~1米。此时,所有的物理量都 仍然可以用静电场计算,尽管此时其实电场 为交变场。 负 (2)“光镊”是另外一个例子。利用激光形成一个空间上的 非均匀电磁场分布,原则上这个电磁场当然是随时间剧 烈震荡的。然而当尺度纳米尺度的介电颗粒进入此区域 时,因为光波波长为300-700纳米,对此颗粒来说电磁 场可以认为是“似稳场”。因此纳米颗粒受到的电磁波 的作用力可以假设电磁场是为静电场来计算,这样就极 大了简化了计算,甚至使得解析计算(尽管是近似的)变成可能。 (3)亚波长金属结构的共振是另一个“似稳场“的杰作!考虑一个复杂的 金属结构(如金属开口环,或者金属小球)在电磁波下的响应,严格的计算将是 非常的复杂。然而当金属结构的尺寸远小于电磁波的波长时,问题可以在“似稳” 近似下求解。忽略位移电流项之后,此时结构的许多问题,如共振模式,都可以 严格求解。2006年,我和美国 Delaware大学的S. T Chui教授合作,严格解出 了金属环状结构的所有本征模式一求解的关键是“准静近似

4 于场的波长时，略去位移电流是合理的，这就是似稳场成立的空间条件。例如， 对于 50 Hz 的频率，  6000km；而对于 800 kHz 的频率，  375m。可见在低 频倩况下，如考察区域的线度远小于波长，则此场可看成是似稳场。 (6.1.1)和(6.1.2)式就是似稳条件。Quasi-Static Field 的概念被人们广泛应用。 （1）比如前面提过的“电流变液”体系，即将一些介电球体放置在一个盛有溶 液的器皿里，施加电场可以在很短的时间里将体系由悬浮液状态转变成为固态。 因为溶液里不可避免地有少量自由电荷，如果直接施加直流电将使得这些电荷在 电场中运动从而附着在电极上，最后的结果是使得电场被屏蔽，效率降低。为了 对付这种情形，人们常用的方法是施加低频交流电，使得自由电荷不会朝一个方 向运动直到将电极屏蔽，而是来回运动。 一般适用的交流电频率在 1000 周以内， 对应的电磁波长为 30 公里，远远大于考虑 的体系大小~1 米。此时，所有的物理量都 仍然可以用静电场计算，尽管此时其实电场 为交变场。 （2）“光镊”是另外一个例子。利用激光形成一个空间上的 非均匀电磁场分布，原则上这个电磁场当然是随时间剧 烈震荡的。然而当尺度纳米尺度的介电颗粒进入此区域 时，因为光波波长为 300-700 纳米，对此颗粒来说电磁 场可以认为是“似稳场”。因此纳米颗粒受到的电磁波 的作用力可以假设电磁场是为静电场来计算，这样就极 大了简化了计算，甚至使得解析计算（尽管是近似的）变成可能。 （3）亚波长金属结构的共振是另一个“似稳场“的杰作！考虑一个复杂的 金属结构（如金属开口环，或者金属小球）在电磁波下的响应，严格的计算将是 非常的复杂。然而当金属结构的尺寸远小于电磁波的波长时，问题可以在“似稳” 近似下求解。忽略位移电流项之后，此时结构的许多问题，如共振模式，都可以 严格求解。 2006 年，我和美国 Delaware 大学的 S. T. Chui 教授合作，严格解出 了金属环状结构的所有本征模式 – 求解的关键是“准静近似”。 正 极 负极 - +

§6.2似稳场方程--场的扩散 在似稳条件满足时,可以将位移电流项扔掉。此时有似稳场方程: V×E=-2B (62.1) V·B=0 V×H 及本构关系 =8 似稳场方程(62.1)式比静态电磁场只多一个电磁感应方程。我们下面考查导体内 部的场,则还需另加一个本构方程 E 考虑导体内部,假设没有电荷堆积,p=0(只要沿电流流动方向导线均匀,此 条件即可成立),这时将(62.1)式改写成E,H的方程 E=0 V×E aB 62.2) 0 V×H=E 由(622)式的第二、第四式消去E则得H的方程: 2.3) 同理,由(62.2)式得到关于E的方程: (6.24) ot Ho 可见,似稳条件下E和H的方程是我们熟知的扩散方程,D=14o是扩散系数, 它说明导电介质中的电磁场会扩散,扩散的快慢取决于电导率σ的大小,σ越 大扩散越慢。对于理想导体,扩散系数为零,而在绝缘体中,场的扩散系数为无 限大。比如,在某一时刻在原点进行一下电磁扰动,比如将一个电荷搬来,在绝 缘体中,电磁场瞬间被建立起来(或者说从原点扩散出去);在导体中,这个电

5 § 6.2 似稳场方程 --- 场的扩散 在似稳条件满足时，可以将位移电流项扔掉。此时有似稳场方程： 0 D B E t B H j                          (6.2.1) 及本构关系 , B   HD E    似稳场方程(6.2.1)式比静态电磁场只多一个电磁感应方程。我们下面考查导体内 部的场，则还需另加一个本构方程： c j   E   考虑导体内部，假设没有电荷堆积，   0 （只要沿电流流动方向导线均匀，此 条件即可成立），这时将(6.2.1)式改写成 E，H 的方程 0 0 c E B E t H H E                           (6.2.2) 由(6.2.2)式的第二、第四式消去 E  则得 H  的方程： 1 2 c H H t        (6.2.3) 同理，由(6.2.2)式得到关于 E  的方程： 1 2 c E E t        (6.2.4) 可见，似稳条件下 E  和 H  的方程是我们熟知的扩散方程， 1/ D   c 是扩散系数， 它说明导电介质中的电磁场会扩散，扩散的快慢取决于电导率 c 的大小， c 越 大扩散越慢。对于理想导体，扩散系数为零, 而在绝缘体中，场的扩散系数为无 限大。比如，在某一时刻在原点进行一下电磁扰动，比如将一个电荷搬来，在绝 缘体中，电磁场瞬间被建立起来（或者说从原点扩散出去）；在导体中，这个电