复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第19讲

第十九讲 上次课 ●偏振:椭圆偏振、圆偏振、线偏振 色散介质的介电行为-D()=J=(-1)E()t', 在单频谐变电场激励下,Dn=(o)E。 金属介电函数的 Drude模型 GHz E ( w)=l- USt GH以下-极大的正的虚部;光波段-负的实部 §8.4电磁波在导电介质中的传播 上节中我们系统介绍了金属的有效介电函数E,(o),下面我们研究电磁波在 导电介质中的传播。原则上,我们需要在金属中求解如下 Maxwell方程 (0E)=P B=0 V×E=--B (8.1.1) VxH=7。0 E 针对一个特定频率ω,所有的场量均以e形式随时间谐变, (E( D).H(, ),P( ),j( D)=(E(). H(), P() j())e tor (84.1) 将金属中的“传导电流”吸收到电位移矢量中(参考第十八讲(83.14)式) 并利用连续性方程vj+ap/t=0,可以证明 Maxwe11l方程针对时谐场的形式 为

1 第十九讲 上次课：  偏振：椭圆偏振、圆偏振、线偏振  色散介质的介电行为 --- D t t t E t dt ( ) ( ') ( ') '      ， 在单频谐变电场激励下， D E ( )          金属介电函数的 Drude 模型： 2 0 2 , GHz () 1 ( /) 1 , c p r p i i visible s w e w e w ww t w w ìï ï £ ï =- » ïï í + ï æ ö ï -ç ÷ ï ï ç ÷÷ è ø ïî GHz 以下-极大的正的虚部；光波段-负的实部 §8.4 电磁波在导电介质中的传播 上节中我们系统介绍了金属的有效介电函数 r  ( )  ，下面我们研究电磁波在 导电介质中的传播。原则上，我们需要在金属中求解如下 Maxwell 方程 0 0 ( ) 0 f f E B E B t Hj E t                                 （8.1.1） 针对一个特定频率 ，所有的场量均以 i t e  形式随时间谐变，   ( ) ( ), ( ),j( ) ( ) ( ), ( ),j( )   i t E r ,t ,H r ,t r ,t r ,t E r ,H r r r e                  （8.4.1） 将金属中的“传导电流”吸收到电位移矢量中（参考第十八讲（8.3.14）式）， 并利用连续性方程 / 0 f f     j t   ，可以证明 Maxwell 方程针对时谐场的形式 为：

V·(E(O)E)=0 V·H=0 (842) V×E=loy0 H V×H=-i0(O)E 对(842)中第2式同时作用V×,并利用ⅴ·H=0,可得 V=Vx(VxB)=0a(o)厅 (84.3) 我们立刻发现这个针对单频的“时谐”Mme程和无色散介质中磁场满足的 方程(8.1.5)完全一样!只不过这时“介电常数”依赖于频率,只针对目前的 所设的频率正确。(843)的解是平面波,H(F)=He(此时只需考虑空间变 化部分,时间部分总是em),代入可解得电磁波传播的色散关系 E(o) (844) 这与一般介质中的色散关系全一样,除了此处E是频率的函数,因此只要知道了 E,(a)就可以求解(844)得到电磁波传播的行为。注意,上面的讨论是一般成 立的,对任何线形各向同性介质,只要体系在频域的本构关系D(O)=E(o)E(o)已 知,我们就可以利用(844)式电磁波传播的色散关系。下面考虑几个特殊情形。 1.良导体在GHz及以下频段 A,复波矢 良导体,如金银铜等,在GHz及以下频段的有效介电常数为 e,(u)≈-cons.+ (84.5) 将(845)式代入(844)可得 (846) V50 其中 (84.7) 则 Im(e) k=(1+)a·e (84.8)

2 0 (( )) 0 0 ( ) E H Ei H Hi E                           （8.4.2） 对（8.4.2）中第 2 式同时作用 ，并利用  H 0  ，可得   2 2 0        HH H   ( )   （8.4.3） 我们立刻发现这个针对单频的“时谐”Maxwell 方程和无色散介质中磁场满足的 方程（8.1.5）完全一样！只不过这时“介电常数”依赖于频率，只针对目前的 所设的频率正确。（8.4.3）的解是平面波， 0 ( ) ik r H r He        （此时只需考虑空间变 化部分，时间部分总是 i t e  ），代入可解得电磁波传播的色散关系 2 2 ( ) r k c           （8.4.4） 这与一般介质中的色散关系全一样，除了此处 r  是频率的函数，因此只要知道了 ( ) r   就可以求解（8.4.4）得到电磁波传播的行为。注意，上面的讨论是一般成 立的，对任何线形各向同性介质，只要体系在频域的本构关系 D( )= ( )E( )      已 知，我们就可以利用（8.4.4）式电磁波传播的色散关系。下面考虑几个特殊情形。 1． 良导体在 GHz 及以下频段 A． 复波矢 良导体，如金银铜等，在 GHz 及以下频段的有效介电常数为 0 0 () . c c r i i const s s e w ew ew »- + » （8.4.5） 将（8.4.5）式代入（8.4.4）可得 0 (1 ) c r i k i c c           （8.4.6） 其中 0 2  c    （8.4.7） 则 k ie  (1 )      (8.4.8)  1/2 Im() Re() 

其中任意单位矢量(传播方向)。 注意很多教材上假设e,(a)=1+,这其实并不完全正确。但事实上,这并不 影响解的形式-当Im(E)>Re(n)时,解就是(846)式的形式,根本与c的 实部无关!(参看右上图)。 将(848)带入(841),则电磁波在金属中的电场(假设传播方向为z 方向)为 E= Ee (84.9) 当然横波条件要求E在xy平面。可见,此时平面波的振幅沿传播方向指数衰减 振幅衰减到r=0处的_倍的距离一称为透入深度(也叫趋肤深度),定义为 2 (8.4.10) ocHo 因此电磁波不能渗入在导电介质的内部,而是很快在表面的一个厚度为δ的薄层 内衰减掉。与此相对应:金属上产生的交流电流一定也只是局域在表层的这个 薄层内-这个结论我们曾在讨论准静态近似下的电流的趋肤效应时得到过 Tps:这神种衰减表示电磁波的舱量有消耗。但剧良导体,G→∞,0→>0,入射的电磁波几 平被100%反射回去。因此,良导体几平不能吸收电磁波(在GHz),可以看作理想导体。 B,电磁场强度之间的关系 由(842)式中的第2式可得

3 其中e  任意单位矢量（传播方向）。 注意很多教材上假设 0 () 1 c r is e w e w = + ，这其实并不完全正确。但事实上，这并不 影响解的形式 – 当Im( )>>Re( ) r r   时，解就是（8.4.6）式的形式，根本与 r e 的 实部无关！（参看右上图）。 将（8.4.8）带入（8.4.1），则电磁波在金属中的电场（假设传播方向为 z 方向）为   0 z iz t E Ee e       (8.4.9) 当然横波条件要求 E0  在 xy 平面。可见，此时平面波的振幅沿传播方向指数衰减。 E z  振幅衰减到r  0处的 1 e 倍的距离 1  称为透入深度（也叫趋肤深度），定义为 1 2 c       (8.4.10) 因此电磁波不能渗入在导电介质的内部，而是很快在表面的一个厚度为 的薄层 内衰减掉。与此相对应：金属上产生的交流电流一定也只是局域在表层的这个 薄层内 – 这个结论我们曾在讨论准静态近似下的电流的趋肤效应时得到过。 Tips：这种衰减表示电磁波的能量有消耗。但对良导体， 0 c   , ，入射的电磁波几 乎被 100%反射回去。因此，良导体几乎不能吸收电磁波（在 GHz），可以看作理想导体。 B．电磁场强度之间的关系 由（8.4.2）式中的第 2 式可得

B6=-k×E0=-(1+) (8.4.11) 良导体内的电磁波有如下重要特点 (1)与介质中的电磁波B、E之间同相位不同,此处B、E之间有的相位差, 趋向导体内部时,2者均指数衰减。 (2)良导体内部的电磁能量是以磁场能形式存在的: B 2 EO (84.12) 这种趋势随着频率的减小增大。当ω=0时,磁能是电能的无限大倍,因此E 只能为0-此时电磁场能量只以磁能的形式出现。这与静电时金属内部不存在静 电场的结果一致。导电介质中电磁波的传播特性如图83所示 注意 (1)这星U1~5B2指的是纯的电新的能量,并没有把“传导电流”携带的机械舵量 (2)对色散个质,利用UE~DE~6(0)E计算介质中电磁场的总能量是不剧的 2 否则你就得到负能量这个荒爆的结论。色散介质中的量是个复杂的问题,要得到完整的 答,请参考 Landau的书 2.良导体在光波段(等离子体中的光波) 在光波段,金属的有效介电常数为e,()≈1-=2,这个模型也被广泛应用 于研究其他自由电荷组成的等离子体(唯一的区别是电荷密度不同导致u2不 同)。将其带入色散关系可得

4 / 4 0 00 0 0 1 (1 ) i c B kE ieE e eE                    (8.4.11) 良导体内的电磁波有如下重要特点： （1）与介质中的电磁波B  、E  之间同相位不同，此处B  、E  之间有 4 p 的相位差， 趋向导体内部时，2 者均指数衰减。 （2）良导体内部的电磁能量是以磁场能形式存在的： 22 2 0 00 0 0 0 1 22 2 c c U~ B E E U B E               （8.4.12） 这种趋势随着频率的减小增大。当w = 0 时，磁能是电能的无限大倍，因此E  只能为 0- 此时电磁场能量只以磁能的形式出现。这与静电时金属内部不存在静 电场的结果一致。导电介质中电磁波的传播特性如图 8.3 所示。 注意： （1）这里 0 2 0 2 U~ E E  指的是纯粹的电场的能量，并没有把“传导电流”携带的机械能量 算上。 （2）对色散介质，利用 1 1 2 ( ) 2 2 U ~ D E~ E E      计算介质中电磁场的总能量是不对的， 否则你就得到负能量这个荒谬的结论。色散介质中的能量是个复杂的问题，要得到完整的 答案，请参考 Landau 的书。 2．良导体在光波段（等离子体中的光波） 在光波段，金属的有效介电常数为 2 2 () 1 p r w e w w » - ，这个模型也被广泛应用 于研究其他自由电荷组成的等离子体（唯一的区别是电荷密度不同导致 2 wp 不 同）。将其带入色散关系可得

(1 (84.13) 对此我们作如下的讨论: (1)当d<以时,k为一纯虚数,可写成k=i/6,其中 6 (84.14) 此时金属中的电磁场是纯粹的指数衰减的,E~Ee=Ee°,与(849)式表 示的一边衰减一边振荡(传 播)略有不同。这种波称为 Propagating wave 衰逝波,或者叫消逝波,倏 逝波等( Evanescent wave)。当电磁波由空气入 射到金属上时,进入金属后 电磁波后的透入深度为δ。 若金属为半无限大,则电磁波完全不能通过金属,因此将被反射回去;若金属板 为有限厚度,则会有衰逝波隧穿过去(类似量子力学中的隧穿效应)。δ越大, 则隧穿过去的电磁波就越多(如右图所示) (2)磁场为 (=,1)=1kxE E (84.15) 这里磁场与电场有丌/2的相差,与介质、良导体在GHz等情形均不相同 这个相位的不同,造成了能流形式在各种介质中的不同!(参考作业题) (3)当ω=ωn时,δ→∞,此时隧 穿效应达到极值。 (4)当 0< n=√r<1,此时金属(或是等离子 不透明 影外透明 体)是比真空还要光疏的介质,光波

5 2 2 2 22 2 22 1 (1 ) ( ) p p k c c w w w w w = -= - (8.4.13) 对此我们作如下的讨论： (1) 当w w < p 时，k 为一纯虚数，可写成k i = /d ， 其中 2 2 2 p c d w w = - (8.4.14) 此时金属中的电磁场是纯粹的指数衰减的， 0 0 ikr r / E~Ee Ee   ，与（8.4.9）式表 示的一边衰减一边振荡（传 播）略有不同。这种波称为 衰逝波，或者叫消逝波，倏 逝波等 （ Evanescent wave）。当电磁波由空气入 射到金属上时，进入金属后 电磁波后的透入深度为d 。 若金属为半无限大，则电磁波完全不能通过金属，因此将被反射回去；若金属板 为有限厚度，则会有衰逝波隧穿过去（类似量子力学中的隧穿效应）。 越大， 则隧穿过去的电磁波就越多 （如右图所示）。 (2) 磁场为 / / 0 0 1 (,) z it z it x y i B zt k Eee e Eee e              （8.4.15） 这里磁场与电场有 / 2 的相差，与介质、良导体在 GHz 等情形均不相同！ 这个相位的不同，造成了能流形式在各种介质中的不同！（参考作业题） （3）当 w w = p 时，   ，此时隧 穿效应达到极值。 (4) 当 w w > p ， 0 1 r    ， n = < er 1，此时金属（或是等离子 体）是比真空还要光疏的介质，光波  p Transmission  不透明 紫外透明 Metal Evanescent wave Air, Propagating wave Air, Propagating wave