复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第17讲

第十七讲 上次课 ●似稳场(准静场, Quasi- static field) 忽略“位移电流项”≡忽略“辐射项 很多物理问题可以在这个近似下简化处理 似稳条件 场的时域变化足够慢:<m=2(金属中) 场的空间变化足够慢:R<< (介质中) 场的扩散 准静极限下,导电介质中的场满足扩散方程-(,B)V(B,E) 扩散系数反比于电导率。物理:自由电荷对电场有屏蔽效应,因而导电性能 越好,越会阻碍电场的扩散 趋肤效应 高频下电流分布在导线的表面,趋肤深度δ 第八章电磁波的传播 上一讲我们指出,当“准静条件”满足时,可以将“位移电流”项弃掉,亦 即将“辐射”项弃除,此时电磁能量完全被束缚在电荷、电流的附近。然而一般 情况下位移电流项不能忽略。当“位移电流”加上之后,电场、磁场就不再束缚 在电荷、电流的附近,在没有电荷、电流的自由空间也可以因为电磁场之间的相 互转化而存在—这种场存在的形式就是“电磁波”, Maxwe1l方程最伟大的预 言!从这一章开始,我们将进入电磁波这一神奇的世界。虽然电磁波原则上是 由电荷、电流“辐射”出来的,但我们将“电磁辐射”这部分内容推迟到第十二 章讨论。在本章及下一章中,我们将假设电磁场已经从“辐射源”中辐射出来 了,在这个基础上我们先研究在电磁波在不同介质中是如何传播的。这些电磁

1 第十七讲 上次课  似稳场（准静场，Quasi-static field） 忽略“位移电流项”== 忽略“辐射项”； 很多物理问题可以在这个近似下简化处理  似稳条件 场的时域变化足够慢： c        （金属中） 场的空间变化足够慢： 2 R    （介质中）  场的扩散 准静极限下，导电介质中的场满足扩散方程 ---     1 2 , , c HE HE t         扩散系数反比于电导率。物理：自由电荷对电场有屏蔽效应，因而导电性能 越好，越会阻碍电场的扩散。  趋肤效应 高频下电流分布在导线的表面，趋肤深度 2 c    第八章 电磁波的传播 上一讲我们指出，当“准静条件”满足时，可以将“位移电流”项弃掉，亦 即将“辐射”项弃除，此时电磁能量完全被束缚在电荷、电流的附近。然而一般 情况下位移电流项不能忽略。当“位移电流”加上之后，电场、磁场就不再束缚 在电荷、电流的附近，在没有电荷、电流的自由空间也可以因为电磁场之间的相 互转化而存在 --- 这种场存在的形式就是“电磁波”，Maxwell 方程最伟大的预 言！ 从这一章开始，我们将进入电磁波这一神奇的世界。虽然电磁波原则上是 由电荷、电流“辐射”出来的，但我们将“电磁辐射”这部分内容推迟到第十二 章讨论。 在本章及下一章中，我们将假设电磁场已经从“辐射源”中辐射出来 了，在这个基础上我们先研究在电磁波在不同介质中是如何传播的。 这些电磁

媒介包括电介质、金属中以及下一章介绍的波导等。 §8.1电磁波在非导电介质中的传播 考虑最简单的情形——在无限大的无源非导电的介质中的电磁波的传播行 为。此时麦克斯韦方程组为 V·D= B (8.1.1) Vx厅=2D 其中D=E,B=HH。假定介质均匀且暂时不考虑色散特性,则E,均为常数(色 散介质指的是ε,μ随频率变化的材料,我们随后讲述)。(8.1.1)是电磁场耦合 在一起的方程,不好求解,下面我们试图得到关于电场的方程。将第二条方程两 边作用V×,则有 VE+V(VE)=VX(VxE= avb=-HalE (8.1.2) 根据第一条方程,有V·E=0,则电场满足的方程为 式中

2 媒介包括电介质、金属中以及下一章介绍的波导等。 , j Quasi-static region wave propagation radiations §8.1 电磁波在非导电介质中的传播 考虑最简单的情形 --- 在无限大的无源非导电的介质中的电磁波的传播行 为。 此时麦克斯韦方程组为 0 0 D E B t B H D t                            (8.1.1) 其中 D EB H    ;     。假定介质均匀且暂时不考虑色散特性，则 , 均为常数（色 散介质指的是 , 随频率变化的材料，我们随后讲述）。（8.1.1）是电磁场耦合 在一起的方程，不好求解，下面我们试图得到关于电场的方程。将第二条方程两 边作用  ，则有    2 EE E B E t tt                                 （8.1.2） 根据第一条方程，有  E 0  ，则电场满足的方程为 2 2 2 2 1 E 0 v t            (8.1.3) 式中

=1/ 基于同样的数学,我们发现磁场满足一样的方程 B=0 (8.1.5) v2 at 8.1.3)和(8.1.5)式是标准的波动方程。与大家在力学中学到的绳波所满足的 方程 (8.1.6) 相比,这里不同是:(1)场量是矢量,(2)传播方向不仅仅是向x方向。这给我 们计算带来了一些麻烦,但设定传播方向后,每一个场的分量来讲都是满足与绳 波一样的标量方程。考虑到(8.1.6)的解为U(x)=Acos(kx-on+g),推广到 电磁波的情形,则(8.1.3)和(8.1.5)的试解可以写为 E(,D_Eo 1)(B s k r-or+ p (8.1.7) 其中E,B,k,O,φ均为常数。代入(8.1.3)及(8.1.5)后发现试解(8.1.7)满 足方程,但k,o之间需满足关系式 整理可得 k k=± (8.1.8) (8.1.8)式是电磁波传播的色散关系,对波的传播性质有重要意义。 1射任何波动方程,我们首先要间的是它的色散关系(注意不要和本构关系混滑!),亦 即,颜率0(时城振动性质)与波矢k(空间域的振动性质)之间的关系。这是波的大部 分性质的基础,若色散关系相同,即使不同的波(如绳波和电磁波)也具有基本相似的性 质。往大了说,色散关系描述的其实是能量(射应于0)和动量(刷应k)之间的关系 2(81.7)式只是自由空闻波动方程的一种试解,你能想出其它形式的减解吗?

3 v 1  (8.1.4) 基于同样的数学，我们发现磁场满足一样的方程 2 2 2 2 1 B 0 v t            （8.1.5） (8.1.3)和（8.1.5）式是标准的波动方程。与大家在力学中学到的绳波所满足的 方程 2 2 2 22 1 U x() 0 x vt             （8.1.6） 相比，这里不同是：（1）场量是矢量，（2）传播方向不仅仅是向 x 方向。这给我 们计算带来了一些麻烦，但设定传播方向后，每一个场的分量来讲都是满足与绳 波一样的标量方程。考虑到（8.1.6）的解为 U x A kx t ( ) cos        ，推广到 电磁波的情形，则（8.1.3）和（8.1.5）的试解可以写为   0 0 (,) cos (,) Ert E kr t Brt B                          （8.1.7） 其中 0 0 EBk , ,,,      均为常数。代入(8.1.3)及（8.1.5）后发现试解（8.1.7）满 足方程，但k, 之间需满足关系式 2 2 2 k 0 v    整理可得 2 2 2 k k v         （8.1.8） （8.1.8）式是电磁波传播的色散关系，对波的传播性质有重要意义。 注： [1] 对任何波动方程，我们首先要问的是它的色散关系（注意不要和本构关系混淆！），亦 即，频率 （时域振动性质）与波矢 k （空间域的振动性质）之间的关系。这是波的大部 分性质的基础，若色散关系相同，即使不同的波（如绳波和电磁波）也具有基本相似的性 质。往大了说，色散关系描述的其实是能量（对应于 ）和动量（对应 k ）之间的关系！ [2] （8.1.7）式只是自由空间波动方程的一种试解，你能想出其它形式的试解吗？

我们对得到的电磁波的解讨论如下: (1)(8.1.7)式中的E,瓦代表振幅,(k,F-m+q)称为振动的相位。在给定时刻, 方程 k·F=常数 (8.1.9) 所定义的曲面上相位相等,波场E,B也就相同,这个曲面叫作等相位面。显然满 足(8.1.9)所定义的曲面为一平面,其垂直于k,故(8.1.7)所描述的波称为 平面波。还可能将试解(8.1.7)写成其他形式,如球面波或者是柱面波,分别 对应的等相位面为球面或者是柱面 (2)波长的定义为两个相位差为2m的等相位面之间的距离(因为在第2个平 面上,场量经过一个周期的振动回到第1个平面上的值)。显然 k·.A=2丌 即 k (8.1.10) k被称为波矢量 (3)波速等相位面的传播速度被称为波的相速度。设t时刻等相位面在r处, t+Mt时刻该等相位面垂直于k运动到r+Ar的位置,则有 kF-o+p=常数=k·(r+M)-o(t+△)+g 故相速度为

4 我们对得到的电磁波的解讨论如下： (1) (8.1.7)式中的 0 0 E , B   代表振幅，kr t         称为振动的相位。在给定时刻， 方程 k r    常数， (8.1.9) 所定义的曲面上相位相等，波场 E, B   也就相同，这个曲面叫作等相位面。显然满 足（8.1.9）所定义的曲面为一平面，其垂直于k  ，故（8.1.7）所描述的波称为 平面波。还可能将试解（8.1.7）写成其他形式，如球面波或者是柱面波，分别 对应的等相位面为球面或者是柱面。 E k 等 相位面 (2) 波长 的定义为两个相位差为2 的等相位面之间的距离（因为在第 2 个平 面上，场量经过一个周期的振动回到第 1 个平面上的值）。显然 k   2 即 2 k    (8.1.10) k  被称为波矢量。 (3) 波速 等相位面的传播速度被称为波的相速度。设 t 时刻等相位面在r 处， t t   时刻该等相位面垂直于 k 运动到r r   的位置，则有 kr t        常数 kr r t t      ( )( )   ， 故相速度为

o/k (8.1.11) 1(NE-a (8.1.12) (8.1.12)式即是平面电磁被传播的速度,它与介质的性质有关,真空中有 n,=A,故"=l/√=A=c为光速,介质中的波速 =V(√√-c(V.)=cn,而=√、 |被定义为材料的折射 率。 注:此处折射率的定义与常规课本上略有不同,但其实更基本,因为它对E,分别大于 小于0四种情况均正确。关于E,均小于0的情况我们在后面还会分析 (4)频率/周期相邻两次振动之间的时间为周期7,单位时间内的振动次数为频 率E.在一个确定的位置处,场量随时间振荡,T是两个波峰之间的时间差。容 易求得:oT=2x→T=2x/o。则振动频率为∫ 1_。经常把O=2rf称 为角()颜率,把f称为线颜率。 (5)为了运算方便,常常把平面波写成复数形式,即 E(,1)(E (8.1.13) B(,1)(B (8.1.13)式仍然是波动方程的解,但因为场量必须为实数,我们应当只取其实 部。然而写成复数形式对许多计算要简便很多,因此在实际运算时经常采用,但 应当强调指出的是:只有实场才是有物理意义的场,复场只是为了计算方便!有 时把常数因子e并人振幅中,则 E6)-叫) B(, O)Bo 注意,这时振幅0已是复数。反之,当电磁波的振幅是复数时,它表示电磁

5 P r v k t      ， (8.1.11) 或 vP   1     ， (8.1.12) (8.1.12)式即是平面电磁被传播的速度，它与介质的性质有关，真空中有 0 0      , ，故 0 0 1 P v c     为光速，介质中的波速 v c cn P rr     1/ /        ，而 r r n     被定义为材料的折射 率。 注：此处折射率的定义与常规课本上略有不同，但其实更基本，因为它对 , 分别大于、 小于 0 四种情况均正确。关于 , 均小于 0 的情况我们在后面还会分析。 (4) 频率/周期 相邻两次振动之间的时间为周期 T，单位时间内的振动次数为频 率 f. 在一个确定的位置处，场量随时间振荡，T 是两个波峰之间的时间差。容 易求得：T T   2 2 /   。则振动频率为 1 2 f T     。经常把  2 f 称 为角（圆）频率，把 f 称为线频率。 (5) 为了运算方便，常常把平面波写成复数形式，即 0   0 (,) (,) Ert E ikr t e Brt B                           (8.1.13) (8.1．13)式仍然是波动方程的解，但因为场量必须为实数，我们应当只取其实 部。然而写成复数形式对许多计算要简便很多，因此在实际运算时经常采用，但 应当强调指出的是：只有实场才是有物理意义的场，复场只是为了计算方便！有 时把常数因子 i e  并人振幅中，则 0   0 (,) (,) Ert E ikr t e Brt B                        (8.1.14) 注意，这时振幅 0 0 E B         已是复数。反之，当电磁波的振幅是复数时，它表示电磁