复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第03讲 真空中 Maxwell 方程

第三讲 上次课: j-磁的来源 idex R B() r 磁场 F= jdt x b,F=q(E+下xB)-电流在磁场中的受力, Lorentz力 B=Vx,()=均「r磁场的矢势 R ··B(F)=0-磁场为无源场(与电流是否稳恒无关) 有用公式:V R 4TO(R) R 6.B()的旋度 下面来求B(F)的旋度。由(1.2.12)式得 B(F)=Vx(V×A)=V(V·A)-V2A (12.14) (要记住这个公式,先记住矢量叉积公式ax(b×c)=b(a·c)-c(a·b),再作代换 Ⅴ分aVb,c纱B)先看第一项 V·A= j(7) ∫vn:j() R 2.1 利用数学工具将以上微分形式改写成全微分的形式 4 vr 0)dr=+ v(RRv R()dr(1.2.16) (注意V和V"的不同,前者对变量现察点坐标后者剧变量产'-源所在坐标) 注意到在稳恒电流条件下,有v·1(F)=0,故 A=_Ho(v J( 0 (1.2.17) R 这是由于电流分布在有限区域,无穷远处边界处的电流密度一定为零。再看第二 项 VA=2i(ar=[j(v2r'=-J/(r)(R=-()(1.218) R

1 第三讲 上次课：  j – 磁的来源  0 3 ( ) 4 jd R B r R           -磁场  F     jd B F q E v B  ,( )       - 电流在磁场中的受力，Lorentz 力  0 ( ) ; ( ) 4 j r B A Ar d R               - 磁场的矢势    B r() 0   - 磁场为无源场（与电流是否稳恒无关）  有用公式： 2 3 1 1 4 () R R R R R                         6． B( )r   的旋度 下面来求 B( )r   的旋度。由(1.2.12)式得 2       B() ( ) ( ) r A AA      (1.2.14) （要记住这个公式，先记住矢量叉积公式 a b c bac cab ( ) ( )( )           ，再作代换    a bc B , ,     ）先看第一项： 0 0 () 1 ( ) 4 4 j r A d jr d R R                       (1.2.15) 利用数学工具将以上微分形式改写成全微分的形式 0 0 1 () 1 () () 4 4 j r A jr d jr d R RR                                             (1.2.16) （注意 和'的不同，前者对变量 r  -观察点坐标，后者对变量 r '  -源所在坐标）。 注意到在稳恒电流条件下，有  j r() 0    ，故 0 0 ' () () 0 4 4 r jr jr A d dS R R                                 (1.2.17) 这是由于电流分布在有限区域，无穷远处边界处的电流密度一定为零。再看第二 项： 22 2 0 0 0 0 () 1 ( ) ( )( ) () 4 4 j r A d jr d jr Rd jr R R                              (1.2.18)

整理两项贡献可得B的旋度为 V×B=0() (12.18) (1218)式称为安培环路定理的微分形式,对应的积分形式为pBd= Tips:从推导过程中可以看出,(1.2.18)式显然只在穗恒电流亲件下成立,一情况下 的形式必须重新考虑! 7,磁偶极子 当外加电场时,物质中的正电荷受到沿电场的作用力而负电荷受到反向于电场的 作用力,因此正负电荷被拉开形成电偶极子。与此相对应,对一个物质施加磁场, 电子在磁场 Lorentz力的作用下做回旋运动,形成一个分子环流。因此,一个环 形稳恒电流在静磁学中起到与电偶极子在静电学中完全一样的作用, 我们叫它磁偶极子。下面我们就研究一个 磁偶极子(电流Ⅰ,线圈半径a)的磁场, 与p类似,我们先计算m产生的势 4)=[P) dl(12.19) R 4丌JR 在远场条件下r>r因此= ≈一 代入上式可得(第一项贡献 R 14a,根据电流守恒,显然=0) R r) (1.2.20) 为了便于计算,考虑一个大小 为a×b的矩形线圈。计算x分 量可得 4([=2x+)12)+m(x+192]=一y0122 同理可以得到y分量的表达式:4()、oxb。综合可得 A() 4丌r 注意到m=S=lb,类似电偶极子的标势,我们可以将磁偶极子的矢势写成更

2 I a b r r' R o 整理两项贡献可得 B  的旋度为 0   B  j r( )    （1.2.18） （1.2.18）式称为安培环路定理的微分形式，对应的积分形式为 B 0   dl I     ． Tips： 从推导过程中可以看出，（1.2.18）式显然只在稳恒电流条件下成立，一般情况下 的形式必须重新考虑！ 7．磁偶极子 当外加电场时，物质中的正电荷受到沿电场的作用力而负电荷受到反向于电场的 作用力，因此正负电荷被拉开形成电偶极子。与此相对应，对一个物质施加磁场， 电子在磁场 Lorentz 力的作用下做回旋运动，形成一个分子环流。因此，一个环 形稳恒电流在静磁学中起到与电偶极子在静电学中完全一样的作用， 我们叫它磁偶极子。下面我们就研究一个 磁偶极子（电流 I，线圈半径 a）的磁场， 与 p 类似，我们先计算 m 产生的势。 0 0 () 1 ( ) 4 4 j r I A r d dl R R                (1.2.19) 在远场条件下 r r  '因此 3 111 ' ' r r R rr r r         ，代入上式可得（第一项贡献 1 dl r    ，根据电流守恒，显然=0） 0 3 ( ) ( ') 4 I A r r r dl r          (1.2.20) 为了便于计算，考虑一个大小 为a b  的矩形线圈。计算 x 分 量可得 /2 /2 0 0 3 3 /2 /2 ( ) ( ' / 2) ' ( ' / 2) ' 4 4 a a x a a A r xx yb dx xx yb dx yba r r                     (1.2.21) 同理可以得到 y 分量的表达式： 0 3 ( ) 4 A y r xba r     。综合可得   0 3 ( ) ˆ ˆ 4 Iba A r yx xy r       （1.2.22） 注意到m IS Iabz   ˆ   ，类似电偶极子的标势，我们可以将磁偶极子的矢势写成更 B v q a E + - m p

紧凑的形式 A()=Ao mxF (1.2.23) 由此可进一步求出空间的磁场 F)=VxA=ovx mx 3(m·)F (1.224) 我们发现磁偶极子的磁场与电偶极子的电场的形式完全一致! 这并不奇怪,在远场看,p与m的场是完全一样 尽管近场结构很不一样.这事实上蕴含着很深的物理: 在无源区,电场的磁场满足一样的方程。 对比静电场与静磁场,发现它们之间有着惊人的对称性 磁 P(r)dr E() 4 R B(F)=ndr×R 4丌R F=pdr F=jdz×B 散度 V·E(F)=p(F)/E0 V·B()=0 旋度 V×E V×B=Aj(F) p(r)dr bo E()=-Vq,94n0:R F)=V×A, Ho[ jdr 4丌JR 偶极子的 P 4 A()=o mxP 4丌 偶极子的 H「m-3(m,f) 4ts r3 4 以后我们还会发现电、磁之间更多的对称性,这在学习电动力学中(特别是与磁 场相关的问题是特别需要注意的) §13电磁感应定律 自从奥斯特发现了电流产生磁场之后,人们一直在研究是否存在相反的效应,即 磁场能不能产生电流. Faraday建立了描述磁产生电的电磁感应定律.对一个闭 合的线圈, Faraday的实验表明

3 紧凑的形式 0 3 ( ) 4 m r A r r          (1.2.23) 由此可进一步求出空间的磁场 0 0 3 3 3( )ˆ ˆ ( ) 4 4 r m mrr Br A m r r                             (1.2.24) 我们发现磁偶极子的磁场与电偶极子的电场的形式完全一致！ 这并不奇怪，在远场看，p 与 m 的场是完全一样， 尽管近场结构很不一样. 这事实上蕴含着很深的物理： 在无源区，电场的磁场满足一样的方程。 对比静电场与静磁场，发现它们之间有着惊人的对称性 电 磁 源  j  场 3 0 1 () ( ) 4 r d E r R  R           0 3 ( ) 4 jd R B r R           力 F dE      F jd B       散度 0    Er r ( ) ( )/      B r() 0   旋度   E 0  0   B  j r( )    势 0 1 () ( ) , 4 r d E r R               0 ( ) , 4 jd Br A A R             偶极子的 势 3 0 1 4 p r r       0 3 ( ) 4 m r A r r          偶极子的 场 3 0 1 3( ) 4 p p p rr ˆ ˆ E r               0 3 3( ) 4 m m mrr ˆ ˆ B r                以后我们还会发现电、磁之间更多的对称性，这在学习电动力学中（特别是与磁 场相关的问题是特别需要注意的） §1.3 电磁感应定律 自从奥斯特发现了电流产生磁场之后，人们一直在研究是否存在相反的效应，即 磁场能不能产生电流．Faraday 建立了描述磁产生电的电磁感应定律．对一个闭 合的线圈，Faraday 的实验表明， I -q +q

(1)仅当通过这个线圈的磁通量产生变化时,线圈之中才会产生感应电流; (2)电流的大小与线圈材料的电导成正比(同样形状的线圈,线圈材料的导电 性越好,电流越大) 这第二个性质预示着电磁感应效应中更基本的物理量应当是电动势,而不是电 流。总结了大量的实验, Faraday给出了感应电动势的大小 BdS (1.3.1) 感生电动势(电流)的方向是与楞次给出的-感生电流的产生是用来抵消磁通 量的改变的。总结法拉弟和楞次的贡献,完整的电磁感应定律是 B·dS (13.2) 显然,磁通量的改变可以由两种机制产生 (1)磁场本身发生变化(B变,感生); (2)回路相对磁场发生变化(ds变,动生)。 对第一种情况,注意到电动势的定义为外力将单位电量的 电荷在环路上驱动一周所提供的能量。△W=Fdl/q Es=9。E团 (13.3) 其中E=F/q与静电场同样量纲,且具有同样地对电荷的驱动作用,因此我们 称它为“非静电来源的电场“,因此,(1.3.2)式可改写成 E (1.34) 利用斯托克斯定理:E-=(xE,△,得!(xE+a)=0。因为 线圈回路是任意的故积分曲面是任意的,所以得到 V×E, 此即是电磁感应定律的微分形式,式中的E和B是相对于同一参考系定义的。 第二种情况要复杂许多,因为此时线圈在运动,此时线圈内的电荷受到的驱动电 场是在一个相对于实验室运动的坐标系中的电场,用Ek表示。Ek与B的关系是 两个相对运动的坐标系中场的关系。对这个问题的深入理解,我们将推迟到学习 相对论时进行 (135)式显示:当磁场发生变化时

4 （1） 仅当通过这个线圈的磁通量产生变化时，线圈之中才会产生感应电流； （2） 电流的大小与线圈材料的电导成正比（同样形状的线圈，线圈材料的导电 性越好，电流越大） 这第二个性质预示着电磁感应效应中更基本的物理量应当是电动势，而不是电 流。总结了大量的实验，Faraday 给出了感应电动势的大小 S d B dS dt       感 （1.3.1） 感生电动势（电流）的方向是与楞次给出的 - 感生电流的产生是用来抵消磁通 量的改变的。总结法拉弟和楞次的贡献，完整的电磁感应定律是 S d B dS dt       感 （1.3.2） 显然，磁通量的改变可以由两种机制产生： （1）磁场本身发生变化（B 变，感生）； （2）回路相对磁场发生变化（ds 变，动生）。 对第一种情况，注意到电动势的定义为外力将单位电量的 电荷在环路上驱动一周所提供的能量 W F dl / q q         K C  E  dl     感  （1.3.3） 其中 / EK  F q   与静电场同样量纲，且具有同样地对电荷的驱动作用，因此我们 称它为“非静电来源的电场“．因此，(1.3.2)式可改写成 K C S B E dl dS t             (1.3.4) 利用斯托克斯定理: ( ) K K C S E dl E dS            , 得 ( )0 K S B E dS t         。因为 线圈回路是任意的故积分曲面是任意的，所以得到 K B E t        (1.3.5) 此即是电磁感应定律的微分形式, 式中的 EK  和 B  是相对于同一参考系定义的。 第二种情况要复杂许多，因为此时线圈在运动，此时线圈内的电荷受到的驱动电 场是在一个相对于实验室运动的坐标系中的电场，用 ' EK  表示。 ' EK  与 B  的关系是 两个相对运动的坐标系中场的关系。对这个问题的深入理解，我们将推迟到学习 相对论时进行。 （1.3.5）式显示：当磁场发生变化时

1)空间中会激发出类似静磁场的(这里-B/等价于电流密度)蜗旋电场; 2)这种电场不是由电荷激发的,而是由变化的磁场产生的; 3)它们的存在并不依赖于有没有线圈,线圈中产生电流只是一个探测手段 4)E和静电场一样对电荷产生驱动力F=qE,+E),因此对电荷来讲,它感 知到的就是空间的总场E=E,+Ex,无论来源。 §14麦克斯韦方程组 前面几节中,我们讲述了电磁现象的基本实验定律,现总结如下: VE=p/Eo VxE=0}(静止电荷) B,= (稳定电流) V×B,=A4引 V×E Ba (变化磁场) 它们分别都有自己的适用条件和范围。在一般的情况下,所有的场量及激发它 们的源(p,j)都可能随时间变化,此时描述它们行为的电磁规律是什么呢? Maxwell仔细研究了这个问题,总结出了 Maxwell方程组。让我们假设自己就是 当年的 Maxwell,面对已经建立的实验定律思考一下一般的规律应当是怎样的 第一条方程 vE,=p/6是由库仑定律导出的.它的直观物理图象是单位电荷激发1E 根电场线。在普遍情况下,电场可以随时间变化,电场的变化有两种可能的起源 1)源电荷运动 2)总电场中含有感应电场E 对第一个可能,电荷运动是其发出的电力线将跟随它运动,因此在t时刻在r位 置处做一无限小的闭合区间,可以预期此时刻电场线通过表面的总数仍然与其中 的电量成正比。对第二个可能,注意到E与静磁场非常类似,是围绕着磁场变 化产生的蜗旋场,而这种电场场线显然是连续无源的,可以预期E=0。综 合这两个考虑,对空间的总电场来说, V.E(,)=V,E,+V.E=D(F,)/ (14.1) 注:直接从电磁感应定律的原始形式不能推出感应电场为无源场V·E=0的结论的。这应 当是Mawl做的合理推广,正确与否被后来的无数实验所验证。有机会查查历史上 Maxwell当时是怎样得到这个结论的

5 1）空间中会激发出类似静磁场的（这里 0 B /    等价于电流密度）蜗旋电场； 2）这种电场不是由电荷激发的，而是由变化的磁场产生的； 3）它们的存在并不依赖于有没有线圈，线圈中产生电流只是一个探测手段； 4） EK  和静电场一样对电荷产生驱动力 F q( E E )  s K    ，因此对电荷来讲，它感 知到的就是空间的总场 E   E E s K    ，无论来源。 §1.4 麦克斯韦方程组 前面几节中，我们讲述了电磁现象的基本实验定律，现总结如下： 0 0 ( ) 0 0 ( ) s s s s K E E B B j B E t                              静止电荷 稳定电流 （变化磁场） 它们分别都有自己的适用条件和范围。 在一般的情况下，所有的场量及激发它 们的源（, j  ）都可能随时间变化，此时描述它们行为的电磁规律是什么呢？ Maxwell 仔细研究了这个问题，总结出了 Maxwell 方程组。让我们假设自己就是 当年的 Maxwell，面对已经建立的实验定律思考一下一般的规律应当是怎样的。 第一条方程   Es  0   是由库仑定律导出的．它的直观物理图象是单位电荷激发 0 1  根电场线。在普遍情况下，电场可以随时间变化，电场的变化有两种可能的起源： 1）源电荷运动； 2）总电场中含有感应电场 EK  对第一个可能，电荷运动是其发出的电力线将跟随它运动，因此在 t 时刻在 r 位 置处做一无限小的闭合区间，可以预期此时刻电场线通过表面的总数仍然与其中 的电量成正比。对第二个可能，注意到 EK  与静磁场非常类似，是围绕着磁场变 化产生的蜗旋场，而这种电场场线显然是连续无源的，可以预期 0   EK  。综 合这两个考虑，对空间的总电场来说， 0 (,) (,)     Ert E E rt s K        （1.4.1） 注：直接从电磁感应定律的原始形式不能推出感应电场为无源场 0  EK    的结论的。这应 当是 Maxwell 做的合理推广，正确与否被后来的无数实验所验证。有机会查查历史上 Maxwell 当时是怎样得到这个结论的