复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第18讲

第十八讲 上次课 真空中平面电磁波E(F,n)_E04 B(, OB 复场表示只是为了计算方便(只要运算是线性的); 物理的场是复场的实部;非线性运算是应先取实部再计算 色散关系 Bc,n=V为折射率( (Refraction Index) =zHz=叫做阻抗( (Impedance 横波性 kEo=0,k·B=0 §8.2波的偏振和偏振矢量 电磁波是矢量波,传播和偏振是其最重要的两个特征。上一节我们主要学习 了波在线性无色散均匀媒质中的传播特性,本节中我们将重点学习波的偏振特 性。让我们仔细研究横波条件(8.1.16)。对确定的传播方向k,(8.1.16)式告诉 我们电矢量E必须在与其垂直的平面内。为确定起见,假设传播方向k‖,则 这个平面为xy平面,有2个相互垂直的单位矢量2,(其它k方向克类似处理)。 注意,当我们取了复数场的表达式之后,原则上E可以是一个复矢量-其每个 分量均可取复数且可以由不同的相位。因此,E0的最一般形式为 E=已E20+已,E=已|E+Em (8.2.1) 将其带入复场表达式E()=Ee叫,再取实部,我们得到 E,(,(=Exo os(k=-of+o (822) E,(21)=1E,0(co(-m+)

第十八讲 上次课：  真空中平面电磁波 0   0 (,) (,) Ert E ikr t e Brt B                        复场表示只是为了计算方便（只要运算是线性的）； 物理的场是复场的实部；非线性运算是应先取实部再计算！  色散关系 , r r kn n c      为折射率（Refraction Index）  阻抗 E0 0  Z H Z    叫做阻抗 （Impedance）  横波性 0 0 kE kB   0, 0     §8.2 波的偏振和偏振矢量 电磁波是矢量波，传播和偏振是其最重要的两个特征。上一节我们主要学习 了波在线性无色散均匀媒质中的传播特性，本节中我们将重点学习波的偏振特 性。让我们仔细研究横波条件（8.1.16）。对确定的传播方向k  ，（8.1.16）式告诉 我们电矢量 E0  必须在与其垂直的平面内。为确定起见，假设传播方向k z || ˆ  ，则 这个平面为 xy-平面，有 2 个相互垂直的单位矢量 , x y e e   （其它k  方向克类似处理）。 注意，当我们取了复数场的表达式之后，原则上 E0  可以是一个复矢量 – 其每个 分量均可取复数且可以由不同的相位。因此， E0  的最一般形式为 0 ,0 ,0 ,0 ,0 x y i i E xx yy x x y y eE eE e E e e E e         （8.2.1） 将其带入复场表达式   0 (,) ikr t E r t Ee         ，再取实部，我们得到     ,0 ,0 ( , ) cos ( , ) cos x x x yy y E z t E kz t E z t E kz t         （8.2.2）

显然,场随时间的振荡行为由四个参量:E0E,0ψ确定。由(822)出发, 在四个参量满足不同条件时,可以得到几种典型的偏振状态。 (A)线偏振 线偏振是最简单的情形。当==中时,电场随时间演化为 E,(,()=Ex /cos(k=-ol+o) (82.3) E,(=)=1E,0co(k-or+) 在任意一个确定的波阵面上(如取z=0的x平面),电场E 只在一个方向上随时间来回振动,因此这种偏振状态 称为线偏振。 (B)椭圆偏振 在最一般情况下,即不对四个参量施加任何限制,则波的偏振状态都是椭 圆偏振。考虑一个具体的例子:一=x/2,|E2>E,0,则 E1(21)=1E,0cos(k-om+ (824) E,(,O=E, osin(kr-ot+p) 在任意一个确定的波阵面上,随着时间的演化,E场的 端点描出一个半长轴为E,,半短轴为E,的椭圆,故这种偏振状态称 为椭圆偏振。若-中,≠z/2,则椭圆的对称轴(长短轴)产生了一个 转动,但偏振状态仍然是椭圆偏振。 (C)圆偏振 进一步,当1E0=E0=4,.一=士/2时,电场分量为 E(,1)=Acos(kr-ot+o) (82.5) E,(=,1)=±Asin(k=-O+) 对这种波,在任一波阵面上,E的端点随时间的演化描出一个半径为A 的圆,故称为圆偏振。进一步考虑两种情况

显然，场随时间的振荡行为由四个参量： Ex,0 E y,0 x  y 确定。由（8.2.2）出发， 在四个参量满足不同条件时，可以得到几种典型的偏振状态。 （A）线偏振 线偏振是最简单的情形。当x y     时，电场随时间演化为     ,0 ,0 ( , ) cos ( , ) cos x x y y E z t E kz t E z t E kz t         （8.2.3） 在任意一个确定的波阵面上（如取 z=0 的 xy 平面），电场 只在一个方向上随时间来回振动，因此这种偏振状态 称为线偏振。 （B） 椭圆偏振 在最一般情况下，即不对四个参量施加任何限制，则波的偏振状态都是椭 圆偏振。考虑一个具体的例子： ,0 ,0 / 2,   xy x y   E E ，则     ,0 ,0 ( , ) cos ( , ) sin x x x yy x E z t E kz t E z t E kz t         （8.2.4） 在任意一个确定的波阵面上，随着时间的演化， E  场的 端点描出一个半长轴为 Ex,0 ，半短轴为 E y,0 的椭圆，故这种偏振状态称 为椭圆偏振。 若 / 2 x y     ，则椭圆的对称轴（长短轴）产生了一个 转动，但偏振状态仍然是椭圆偏振。 （C） 圆偏振 进一步，当 ,0 ,0 , /2 EEA x y xy       时，电场分量为     ( , ) cos ( , ) sin x x y x E z t A kz t E z t A kz t          （8.2.5） 对这种波，在任一波阵面上， E  的端点随时间的演化描出一个半径为 A 的圆，故称为圆偏振。进一步考虑两种情况， |E2 | x y |E1 | |E2 | |E1 | x y

(C1)右旋圆偏振-=丌/2时,(825)式描述的是电场矢量顺时 针旋转,称为右旋圆偏振。此时(82.5)可以重写为 其中 (e-i2,) (826) 就是右旋偏振的单位矢量. (C2)左旋圆偏振同理,-p,=-x12时为左旋圆偏振。偏振态的单 位矢量为 m=(E2+i)/2 (8.2.7) 讨论: (1)看上去左右旋光的定义和我们的常识正好相反,似乎以“k的方向与E的旋转方向 成左/右手螺旋”来定义左右旋光会更容易使人习惯。这里的原因比较复杂,一个 可能的解释是历史人们根据在某一个给定的时刻看到的电场由远及近在空间(z) 传播而来时的旋转来定义的(参考课堂上演示的偏振光动画) (2)在目前 Metamaterial的研究中,一个热门的课题就是如何利用 Metamaterial1来调 控光波的偏振状态,比如实现由线偏振到圆偏振、椭圆偏振的转化,或者是两个垂 直方向的线偏振光的相互转化。有兴趣的同学参考“.M.Hao,et.al,Phys.Rev.Lett 99,063908(2007)” §8.3金属的等效介电常数- Drude模型 下面我们将开始研究导电介质中的电磁波特性。对任何一种新的电磁介质,在研究其 电磁波传播特性之前,都要首先知道这种电磁介质的“本构关系”,不然, Maxwel方程无 法求解。事实上,这个世界之所以如此“色彩缤纷”,正是因为我们有各种具有不同的“本 构关系”的电磁介质!本节中,我们将仔细探讨导电介质的本构关系一你们会发现导电介 质与一般电介质非常的不同。 1.色散介质的本构关系 上次课我们学习了电磁波在真空以及均匀各向同性非色散的电磁介质中的

（C.1）右旋圆偏振 /2 x y    时，（8.2.5）式描述的是电场矢量顺时 针旋转，称为右旋圆偏振。此时（8.2.5）可以重写为 1 0 2 i E Ae eright     其中 ( )/ 2 right x y e e ie     （8.2.6） 就是右旋偏振的单位矢量. （C.2）左旋圆偏振 同理， / 2 x y     时为左旋圆偏振。偏振态的单 位矢量为 ( )/ 2 left x y e e ie     （8.2.7） 讨论： （1） 看上去左右旋光的定义和我们的常识正好相反，似乎以“k 的方向与 E 的旋转方向 成左/右手螺旋”来定义左右旋光会更容易使人习惯。这里的原因比较复杂，一个 可能的解释是历史人们根据在某一个给定的时刻看到的电场由远及近在空间（z） 传播而来时的旋转来定义的 （参考课堂上演示的偏振光动画）。 （2） 在目前 Metamaterial 的研究中，一个热门的课题就是如何利用 Metamaterial 来调 控光波的偏振状态，比如实现由线偏振到圆偏振、椭圆偏振的转化，或者是两个垂 直方向的线偏振光的相互转化。有兴趣的同学参考“J. M. Hao, et. al., Phys. Rev. Lett. 99, 063908 (2007)”. §8.3 金属的等效介电常数 - Drude 模型 下面我们将开始研究导电介质中的电磁波特性。对任何一种新的电磁介质，在研究其 电磁波传播特性之前，都要首先知道这种电磁介质的“本构关系”，不然，Maxwell 方程无 法求解。事实上，这个世界之所以如此“色彩缤纷”，正是因为我们有各种具有不同的“本 构关系”的电磁介质！本节中，我们将仔细探讨导电介质的本构关系 – 你们会发现导电介 质与一般电介质非常的不同。 1．色散介质的本构关系 上次课我们学习了电磁波在真空以及均匀各向同性非色散的电磁介质中的 x y

行为,这两类介质的特点是n,μ均大于0,且不依赖于频率。从物理上讲,这 种介质对电磁场的响应是“局域”以及“即时”的 D(F,1)=E(F,1)H(F,t)=-B(F,1) (83.1) 亦即,此处、此时的电磁扰动(由E(F,),B(F,1)决定)只会引发此处、此时的电 磁相响应P(F,),M(F,)(进一步,D(F,),H(F,)。然而一般来讲,材料中的电 荷运动行为非常复杂,因此最后本构关系也非常复杂,“局域+即时”仅仅是一种 理想情形,通常只是材料的真实响应在长波和低频下的近似。在第1章中我们己 经指出,一般情况下材料的响应为(最一般的线性响应的形式): D(F,1)=(7-F",t-1)E(F",t)lF'dt (83.2) B(, 1=u(F-F, I-tH(, I")dr'dr 这当然使得我们求解 Maxwell方程变得非常复杂。通常我们忽略“空间非局域效 应”,即假设体系的响应在空间上为局域的。进一步,如果我们只考虑频率确定 为O的一支电磁波在此介质中运动,则E(F,)=E()e,代入(83,1)式可得 D(F,)==(-E(F)em'=aa)E(l (83.3) 其中 E(o)=E(-1 e-ie(r-ndr'=E(yedi (834) 是时域响应函数的 Fourier变换形式。因此本构关系此时变成(假设所有物理量 均携带eˉ的时间变化因子) D()=E(O)E( ()=(O)H(F) 因此,无论再复杂的电磁介质,当其中的电磁波为单频时,其本构关系变成与常 规电介质一样的(当然是在线性响应的前提下)。只不过,此种情形下E4的数 值依赖于频率值,这种行为我们称为“色散”’εμ依赖于频率的电磁介质我们 称为“色散”介质 我们可以把这个情况类比于一个秋千。当我们对一个秋千在t时刻给它一个 推动力,它未必立即产生反应。但是,当我们对秋千施加一个随时间谐变的力 最终,这个秋千一定会以这个频率跟随外力振动,无论最初多么不情愿

行为，这两类介质的特点是 ,r r   均大于 0，且不依赖于频率。从物理上讲，这 种介质对电磁场的响应是“局域”以及“即时”的 ( , ) ( , ) Drt Ert      1 H rt Brt (,) (,)      （8.3.1） 亦即，此处、此时的电磁扰动（由 E( , ), ( , ) rt Brt     决定）只会引发此处、此时的电 磁相响应 Prt M rt ( , ), ( , )     （进一步，Drt H rt ( , ), ( , )     ）。然而一般来讲，材料中的电 荷运动行为非常复杂，因此最后本构关系也非常复杂，“局域+即时”仅仅是一种 理想情形，通常只是材料的真实响应在长波和低频下的近似。在第 1 章中我们已 经指出，一般情况下材料的响应为（最一般的线性响应的形式）： ( , ) ( ', ') ( ', ') ' ' ( , ) ( ', ') ( ', ') ' ' D r t r r t t E r t dr dt B r t r r t t H r t dr dt                   （8.3.2） 这当然使得我们求解 Maxwell 方程变得非常复杂。通常我们忽略“空间非局域效 应”，即假设体系的响应在空间上为局域的。进一步，如果我们只考虑频率确定 为 的一支电磁波在此介质中运动，则 (,) () i t Ert Ere       ，代入（8.3.1）式可得 ' ( , ) ( ') ( ) ' ( ) ( ) it it D r t t t E r e dt E r e               （8.3.3） 其中， (' ) ( ) ( ') ' ( ) i t t it t t e dt t e dt               （8.3.4） 是时域响应函数的 Fourier 变换形式。因此本构关系此时变成（假设所有物理量 均携带 i t e  的时间变化因子） () ( ) () () ( ) () Dr Er B r Hr               （8.3.5） 因此，无论再复杂的电磁介质，当其中的电磁波为单频时，其本构关系变成与常 规电介质一样的（当然是在线性响应的前提下）。只不过，此种情形下  的数 值依赖于频率值，这种行为我们称为“色散”，  依赖于频率的电磁介质我们 称为“色散”介质。 我们可以把这个情况类比于一个秋千。当我们对一个秋千在 t 时刻给它一个 推动力，它未必立即产生反应。但是，当我们对秋千施加一个随时间谐变的力， 最终，这个秋千一定会以这个频率跟随外力振动，无论最初多么不情愿

F=F e 金属(更广义讲是导电介质)是非常重要的一类电磁介质。静态时金属的本 构关系就是欧姆定律j=E。当外电场随时间谐变时,即E(F,1)=E(F)e,类 似受迫振动,电流和电位移矢量j,D也带有时间因子em,即j(F,1)=j(F)em DGF,1)=D(Pe。此时,可定义频域的电导率a(o)和介电函数E(O) (7)=0(o)E(F)DG)=(o)E( (83.6) 原则上讲,σ(ω),ε(ω)的严格求解应当借助于量子力学。对良导体,通常可以把 体系看作电子自由地在晶格正离子组成的背景中运动一此既是自由电子气模 型,也就是高能物理中所言的等离子体模型。在常温下,我们可以用经典理论来 求解σ(o),s() 2,金属的有效电导率 当有一束单频的电磁波在等离子体中传播时,空间将有电场 E(,)=E(F)e存在,则电子将受到电场力eE。同时,电子运动时将受到其他 粒子(晶格亦即声子,杂质等)的散射而丢失能量及动量。描述这种散射力的最 简单的模型是“迟逾时间近似”,即散射力可写成 (8.3.7) 这个式子的物理意义是:电子平均r时间受到一次“异种粒子”的散射而丢失其 所有动量。因此,电子的运动方程为 m一=P= dt (83.8)

F F=F0 e -it 金属（更广义讲是导电介质）是非常重要的一类电磁介质。静态时金属的本 构关系就是欧姆定律 c j   E   。当外电场随时间谐变时，即 (,) () i t Ert Ere       ，类 似受迫振动，电流和电位移矢量 j,D   也带有时间因子 i t e  ，即 (,) () i t j rt jre       ， (,) () i t Drt Dre       。此时，可定义频域的电导率 ( )  和介电函数 ( )  jr Er Dr Er ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )            （8.3.6） 原则上讲， ( ), ( )   的严格求解应当借助于量子力学。对良导体，通常可以把 体系看作电子自由地在晶格正离子组成的背景中运动 – 此既是自由电子气模 型，也就是高能物理中所言的等离子体模型。在常温下，我们可以用经典理论来 求解 ( ), ( )   。 2．金属的有效电导率 当有一束单频的电磁波在等离子体中 传播时，空间将有电场 (,) () i t Ert Ere       存在，则电子将受到电场力eE  。同时，电子运动时将受到其他 粒子（晶格亦即声子，杂质等）的散射而丢失能量及动量。描述这种散射力的最 简单的模型是“迟逾时间近似”，即散射力可写成 sca mv F      （8.3.7） 这个式子的物理意义是：电子平均 时间受到一次“异种粒子”的散射而丢失其 所有动量。因此，电子的运动方程为 dv mv m F eE dt t == -     （8.3.8）