复旦大学：《电动力学》教学课堂讲义_第04讲 Maxwell 方程组 本构关系 边界条件 自由面电荷分布（奇性分布）

第四讲 上次课 真空中 Maxwell)程 E=p/,v×后=- V.B=0,V×B=p0Jj+0E E,B是真实的有物理含义的场,会对处于其中的电荷(流)有作用力! §1.5介质中的麦克斯韦方程组 前面我们研究了真空中的电磁理论。然而,我们所关心的更多的是介质中的 电磁场的行为-即使空气也是一种特殊的电磁介质。在我们仔细考虑电磁介质中 的电磁理论之前,有一点核心问题必须澄清 电磁场的最终来源是电荷及电流,只要空间某处存在某种电荷/电流(无 论其起源),就有电磁场产生,而与那个地方有无物质/什么物质无关! 有了这点基本认识,我们研究电磁介质中的电磁场就归结为寻找当有电磁介 质存在时的总的电荷/电流分布。在具体研究之前,首先理一理脉络。在空间施 加由处于很远处的电荷(流)产生的电(磁)场,当在这个场中放入一块电(磁) 介质时,电(磁)介质在外电(磁)场的作用下被极(磁)化,产生电(磁)偶 极子。电(磁)偶极子的产生使得空间中不再为电(磁)中性,从而产生了束缚 于电(磁)介质的极化(磁化)电荷(电流),这些束缚电荷(电流)与处于远 处的自由电荷(电流)一样可以产生电磁场,因此它们一起产生了空间的总场。 介质的极化(磁化)是由空间的总场决定的,因为场,无论是由源电荷产生的, 还是由极(磁)化电荷(流)产生的,都会作用到介质中上。因此极化(磁化) 场应与空间总场达到平衡。用图形可以表示为 源场—[极化Q磁化)一[東缚电衙C流) 束电荷 介质 廣极媺磁)化,自洽 总正」 束缚电荷产生的场 因此,理解了上图中所有的过程后,我们才能对介质中的电磁场有完整的理解 1.介质的极化及磁化 当电介质放置于电场中时,正负电荷被电场拉开,产生电偶极子,这个过程叫极 化。同样,一个无磁性的磁介质被放置于外磁场中时,原本杂乱无章运动的电子

1 第四讲 上次课  真空中 Maxwell 方程 0 0 00 / , , 0, B E E E B Bj t t                         E, B   是真实的有物理含义的场，会对处于其中的电荷（流）有作用力！ §1.5 介质中的麦克斯韦方程组 前面我们研究了真空中的电磁理论。然而，我们所关心的更多的是介质中的 电磁场的行为-即使空气也是一种特殊的电磁介质。在我们仔细考虑电磁介质中 的电磁理论之前，有一点核心问题必须澄清- 电磁场的最终来源是电荷及电流，只要空间某处存在某种电荷/电流（无 论其起源），就有电磁场产生，而与那个地方有无物质/什么物质无关！ 有了这点基本认识，我们研究电磁介质中的电磁场就归结为寻找当有电磁介 质存在时的总的电荷/电流分布。在具体研究之前，首先理一理脉络。在空间施 加由处于很远处的电荷（流）产生的电（磁）场，当在这个场中放入一块电（磁） 介质时，电（磁）介质在外电（磁）场的作用下被极（磁）化，产生电（磁）偶 极子。电（磁）偶极子的产生使得空间中不再为电（磁）中性，从而产生了束缚 于电（磁）介质的极化（磁化）电荷（电流），这些束缚电荷（电流）与处于远 处的自由电荷（电流）一样可以产生电磁场，因此它们一起产生了空间的总场。 介质的极化（磁化）是由空间的总场决定的，因为场，无论是由源电荷产生的， 还是由极（磁）化电荷（流）产生的，都会作用到介质中上。因此极化（磁化） 场应与空间总场达到平衡。用图形可以表示为 因此，理解了上图中所有的过程后，我们才能对介质中的电磁场有完整的理解。 1．介质的极化及磁化 当电介质放置于电场中时，正负电荷被电场拉开，产生电偶极子，这个过程叫极 化。同样，一个无磁性的磁介质被放置于外磁场中时，原本杂乱无章运动的电子 f 电介 质 p 源电荷 ++ --- 束 缚电荷 束 缚电荷产生的场 源场 极 化（磁化） 束 缚电荷（流 ） 总 场修 正 反馈极 （磁） 化，自 洽

在外磁场的作用下产生一个个分子环流(亦即磁偶极子),这个过程被称作磁化 BI E≠0 原子 极化和磁化的过程还有另外的可能性。体系中的构成单元原本是带有固有电(磁) 偶极距的,但在无外加电(磁)场存在的时候这些电(磁)极距杂乱排列,不显 <P>=0 水 顺磁介质 示出极(磁)性;当外加电(磁)场时,这些原本杂乱排列的电(磁)偶极子沿 着电(磁)场排列,产生宏观电(磁)矩。为了描述极化(磁化)的大小,定义 极化(磁化)强度两个宏观量 ∑∑m M (1.5.1) △F △F 显然,电(磁)场越大,极(磁)化强度也越大。对第一种情况上述结论显而易 见,对第二种情况,考虑外场效应(趋向于使电磁矩平行排列)与温度效应(趋 向于它们无规排列)的竞争既可明白。在低场近似下,很多材料中这种响应程线 即 P(F,1)=6n,E(F,D,M(,)=-,mB(F,n (1.52) 其中,x,xn为极化(磁化)率。这就是介质极化(磁化)的基本图像,计算x,xn 要用到微观理论。需要强调指出的是,这里E,B应当是介质分子在此处感受到的局城总 场,因为只要是场,无论是源场还是极(磁)化电荷(流)产生的场,都可纵介质产生 作用力

2 在外磁场的作用下产生一个个分子环流（亦即磁偶极子），这个过程被称作磁化。 极化和磁化的过程还有另外的可能性。体系中的构成单元原本是带有固有电（磁） 偶极距的，但在无外加电（磁）场存在的时候这些电（磁）极距杂乱排列，不显 水 顺磁介质 示出极（磁）性；当外加电（磁）场时，这些原本杂乱排列的电（磁）偶极子沿 着电（磁）场排列，产生宏观电（磁）矩。为了描述极化（磁化）的大小，定义 极化（磁化）强度两个宏观量， i i p P V      i i m M V      （1.5.1） 显然，电（磁）场越大，极（磁）化强度也越大。对第一种情况上述结论显而易 见，对第二种情况，考虑外场效应（趋向于使电磁矩平行排列）与温度效应（趋 向于它们无规排列）的竞争既可明白。在低场近似下，很多材料中这种响应程线 性，即 0 0 1 ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) 1 m e m Prt Ert M rt Brt               （1.5.2） 其中， , e m  为极化（磁化）率。这就是介质极化（磁化）的基本图像，计算 , e m  要用到微观理论。需要强调指出的是，这里 E, B   应当是介质分子在此处感受到的局域总 场，因为只要是场，无论是源场还是极（磁）化电荷（流）产生的场，都可以对介质产生 作用力。 B m m

2.极(磁)化电荷(流) (A)极化 极化电荷由于极化,正负电荷间发生了相对位移,每处的正负电荷可能不 完全抵消,这样就呈现出束缚在介质中的宏观电荷,称为极化电荷。 在一个具有极化强度分布PF)的介质中任取一块宏观大的区域τ,其边界由 S给定,计算这中间包含的所有的极化电荷Q2。显然,完全处于区域内部或完 全处于区域外部的偶极子对Q均没有贡献,只有那些穿过S的偶极子才有贡献 若极化时正负电荷拉开的位移为l,取一小块边界dS, 则在体积1·dS内的每一个偶极子都会因为穿过界面 翻 而在体积内部留下一个负的静电荷q(如右图所示)。 设介质此处的偶极子数密度为n,则这些偶极子 对区域内的净电荷数为dQ=-qml·dS=-PdS 考虑所有穿过界面的偶极子的贡献后 则留在τ区域内的总的束缚电荷为 ep (1.53) 利用 Gauss定理,容易得到 (1.54) 式中p称为极化电荷密度 注:仔细思考后会发现(1.5.4)大有问题。比如剧一个均匀极化的介质P= const.,故(1.5.4) 告知体内无极化电荷分布。然而实际上极化后每个分子都呈现为一个偶极子,因此细致到 分子的尺度上,极化电荷的分布是非常不均匀的,不可能为0。从数学上讲,(1.5.3)是正 确的,但条件是积分区域必须是宏观大的。过渡到(.5.4)就不是严格成立的了,因为Gass 定理可以使用的前提是(1.5.3)射任意积分区域都正确。但为什么我们还可以用(1.5.4) 呢?这是因为在升子尺度上计算极化电荷以及其它物理量的分布是困难而且是没有必要 的因为我们所关心的(实验上所能测量的)是宏闻小但微现大的一个区域内的物理量的 平均值。因此,当我们考虑连续介质中的物理量时,一个空间的几何点是这样定义的:取 这样一个区闻·微上足够大包含了许多极化后的偶极子,但宏和仍然足够小使得我们可 以认为它是空间上的一个几何点,然后取这个区间内的微现量的平均值作为在这一几何点 的场的数值。这亭实上是电动力学处理连续个质的一个基本精。(1.5.2)及下面的所有处 理、甚至是目前前沿的 Meta-material的研究均基于这个基础。 极化电流当电场随时间改变时,极化过程中正负电荷的相对位移也将随时 间改变,由此产生的电流称为极化电流,记为j。考虑空间只有一个因极化而 产生的偶极子,则极化电荷密度分布为pn(F)=qo(-F)-qD(-)。假设两个

3 2．极（磁）化电荷（流） （A）极化 极化电荷 由于极化，正负电荷间发生了相对位移，每处的正负电荷可能不 完全抵消，这样就呈现出束缚在介质中的宏观电荷，称为极化电荷。 在一个具有极化强度分布 P( r )   的介质中任取一块宏观大的区域，其边界由 S  给定，计算这中间包含的所有的极化电荷QP 。显然，完全处于区域内部或完 全处于区域外部的偶极子对QP均没有贡献，只有那些穿过S  的偶极子才有贡献。 若极化时正负电荷拉开的位移为l  ，取一小块边界dS  ， 则在体积l dS    内的每一个偶极子都会因为穿过界面 而在体积内部留下一个负的静电荷 q（如右图所示）。 设介质此处的偶极子数密度为n ，则这些偶极子 对区域内的净电荷数为 P dQ qnl dS P dS         。 考虑所有穿过界面的偶极子的贡献后， 则留在区域内的总的束缚电荷为 P s Q P dS        （1.5.3） 利用 Gauss 定理，容易得到  P    P  （1.5.4） 式中  P 称为极化电荷密度． 注：仔细思考后会发现（1.5.4）大有问题。比如对一个均匀极化的介质 P const.  ，故（1.5.4） 告知体内无极化电荷分布。然而实际上极化后每个分子都呈现为一个偶极子，因此细致到 分子的尺度上，极化电荷的分布是非常不均匀的，不可能为 0。从数学上讲，（1.5.3）是正 确的，但条件是积分区域必须是宏观大的。过渡到（1.5.4）就不是严格成立的了，因为 Gauss 定理可以使用的前提是（1.5.3）对任意积分区域都正确。但为什么我们还可以用（1.5.4） 呢？这是因为在分子尺度上计算极化电荷以及其它物理量的分布是困难而且是没有必要 的，因为我们所关心的（实验上所能测量的）是宏观小但微观大的一个区域内的物理量的 平均值。因此，当我们考虑连续介质中的物理量时，一个空间的几何点是这样定义的：取 这样一个区间 - 微观上足够大包含了许多极化后的偶极子，但宏观仍然足够小使得我们可 以认为它是空间上的一个几何点，然后取这个区间内的微观量的平均值作为在这一几何点 的场的数值。这事实上是电动力学处理连续介质的一个基本精髓。（1.5.2）及下面的所有处 理、甚至是目前前沿的 Meta-material 的研究均基于这个基础。 极化电流 当电场随时间改变时，极化过程中正负电荷的相对位移也将随时 间改变，由此产生的电流称为极化电流，记为 Pj  。考虑空间只有一个因极化而 产生的偶极子，则极化电荷密度分布为 () ( ) ( ) p  r qrr qrr           。假设两个

2()=,8(-1)2公,,正,则运动引起的极化电流密度为 极化电荷的运动速度分别为 dt (-)=[唾:(-)-(- 注意到极化强度为 P v P=,=qδ(-F)-qo(F-E) 所以 at 显然,根据叠加原理,上式在有许多偶极子存在时依然正确。同时我们注意到 (1.55)与连续性方程一致。根据(1.54)和(1.5.5)可知 oP a V·P≡0 与连续性方程一致 (B)磁化 磁化电流 介质被磁化后产生束缚于磁介质上的磁化电流。假设已知空间的磁化情况M(F), 我们来讨论磁化电流密度j。类似电介质的讨论,在一个具有磁化强度M(P)的 磁介质中选取一个宏观大小的面S,其边界由pd描述,计算穿过s产生的总 磁化电流Ⅰ磁化后产生大量的磁偶极子,每个磁偶极子对应一个分子环流。(1) 若这些环流完全处于S内,则对Ⅰ的贡献因环流2次穿过S而抵消;(2)若完 全在S外,则根本没有贡献。因此,只需计算那些与边界纹链的环流,因为它 们只对S面内贡献一次由流。考虑与一段边界M铰链的分子环流。设每个分子 环流电流为讠,线圈面积为△s,则显然在Asdl 体积内的所有的磁偶极子 都对S内的净电流有贡献。假设 偶极子的体密度为n,则d边界处对l1的贡献为 dL. =ixno of m =ixnAs-dl= m. dl

4 极化电荷的运动速度分别为 , dr dr v v dt dt           ，则运动引起的极化电流密度为 j r qv r r qv r r qr r r qr r r P () ( ) ( ) ( ) ( )   t                            注意到极化强度为 () () i i p P qr r r qr r r V                  所以 P P j t      （1.5.5） 显然，根据叠加原理，上式在有许多偶极子存在时依然正确。同时我们注意到 （1.5.5）与连续性方程一致。根据（1.5.4）和（1.5.5）可知 0 P P P j P t tt               与连续性方程一致 （B）磁化 磁化电流 介质被磁化后产生束缚于磁介质上的磁化电流。假设已知空间的磁化情况M ( )r   ， 我们来讨论磁化电流密度 Mj  。类似电介质的讨论，在一个具有磁化强度M(r)   的 磁介质中选取一个宏观大小的面 S，其边界由 dl    描述，计算穿过 S 产生的总 磁化电流 MI 。磁化后产生大量的磁偶极子，每个磁偶极子对应一个分子环流。（1） 若这些环流完全处于 S 内，则对 MI 的贡献因环流 2 次穿过 S 而抵消；（2）若完 全在 S 外，则根本没有贡献。因此，只需计算那些与边界铰链的环流，因为它 们只对 S 面内贡献一次电流。考虑与一段边界dl  铰链的分子环流。设每个分子 环流电流为 i, 线圈面积为s  ，则显然在s dl    体积内的所有的磁偶极子 都对 S 内的净电流有贡献。假设 偶极子的体密度为 n．则dl  边界处对 MI 的贡献为 no. of m M dI i i n s dl M dl         v r + + +q -q r o - p v-

综合整个环路的贡献,得 利用L=元及Soks定理∮M,d=∫vxM,有 V (1.57) 其中j为描述束缚于磁介质内部的磁化电流密度。对上式两边取散度得 这说明磁化电流不引起电荷的积累,因此不用考虑磁化电荷。这也同时说明没有 磁化电流的源 3,介质中的 Maxwell方程组 下面我们进行示意图中第3步讨论一看看极(磁)化电流(荷)如何改变总电 (磁)场。当介质存在时空间电荷包括自由电荷(源电荷)和极化电荷(束缚电 荷),即 PPr tPp=p P 式中表示总电荷。介质中可能出现的电流有传导电流、极化电流和磁化电流, 因此总电流为 at 在麦克斯韦方程组中,不管p和j的来源如何,只要是电荷或电流,它们都将在 空间激发电场或磁场。所以,麦克斯韦方程组在介质存在的情况下应该修改成 VE=-(e-vP VxE= (15.8) V·B=0 ⅴ×B= Hoo at 上式包含太多的物理量量,不易求解且物理意义不清晰。试图将所有的宏观量都 表示成自由电荷/电流的函数,则引入两个辅助矢量 B =EOE+P H= (1.5.9)

5 综合整个环路的贡献，得 mI   M dl     （1.5.6） 利用 M m I   j dS    及 Stokes 定理 M dl M dS           ，有 mj  M   （1.5.7） 其中 mj  为描述束缚于磁介质内部的磁化电流密度。对上式两边取散度得 0 m   j  这说明磁化电流不引起电荷的积累，因此不用考虑磁化电荷。这也同时说明没有 磁化电流的源。 3．介质中的 Maxwell 方程组 下面我们进行示意图中第 3 步讨论 – 看看极（磁）化电流（荷）如何改变总电 （磁）场。当介质存在时空间电荷包括自由电荷（源电荷）和极化电荷（束缚电 荷），即    t fP    P  ， 式中 t 表示总电荷。介质中可能出现的电流有传导电流、极化电流和磁化电流， 因此总电流为 t f P j j M t          在麦克斯韦方程组中，不管  和 j 的来源如何，只要是电荷或电流，它们都将在 空间激发电场或磁场。所以，麦克斯韦方程组在介质存在的情况下应该修改成   0 00 0 1 0 f f E P E B t B B E jPM t t                                                 （1.5.8） 上式包含太多的物理量量，不易求解且物理意义不清晰。试图将所有的宏观量都 表示成自由电荷/电流的函数，则引入两个辅助矢量 D EP 0      0 B H M       （1.5.9）