同样,开区间上的连续函数即使有界,也不一定能取到它的最大 (小)值。例如,f(x)=x在(0.,连续而且有界,因而有上、下确界 a=inf{f(x)|x∈(0,1)}=0, β=sup{f(x)|x∈(0,1)}=1 但是f(x)在区间(0,1)上取不到a=0与B=1
同样，开区间上的连续函数即使有界，也不一定能取到它的最大 （小）值。例如， f ( ) x x = 在(0,1)连续而且有界，因而有上、下确界 α = inf { f ( ) x | x ∈(0,1) } = 0， β = sup { f ( ) x | x ∈(0,1) } = 1， 但是 f x( ) 在区间(0,1)上取不到 α = 0 与 β = 1
零点存在定理 定理3.4.3若函数f(x)在闭区间[a,b]连续,且f(a)·f(b)<0,则一定 存在ξ∈(a,b),使∫()=0。 证不失一般性,设f(a)<0,f(b)>0,定义集合V x|f(x)<0.x∈[ab]} 集合V有界,非空,所以必有上确界。令 5=sup v 现证ξ∈(a,b),且f()=0。 由于f()连续,a)<0,38,>0,WxEa+1:f(x)<0;再由/)>0, 2>0,x∈(b-6,b):f(x)>0。于是可知 a+6≤≤b- 即ξ∈(a,b)
零点存在定理 定理3.4.3 若函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 连续，且 fa fb () () 0 ⋅ < ，则一定 存在ξ ∈ ba ),( ，使 f () 0 ξ = 。 证 不失一般性，设 f a() 0 < ， f b() 0 > ，定义集合V： V = { x f x x ab ( ) 0, [ , ] < ∈ }。 集合V 有界，非空，所以必有上确界。令 ξ = supV ， 现证ξ ∈ ba ),( ，且 f () 0 ξ = 。 由于 f x( ) 连续，f a() 0 < ，∃ δ1 > 0， 1 ∀x aa ∈ + [, ] δ ：f x() 0 < ；再由 f b() 0 > ， ∃ δ 2 > 0，∀ x ∈ 2 ( ,) b b −δ ： f x() 0 > 。于是可知 1 a +δ ≤ ξ ≤ 2 b −δ ， 即ξ ∈ ba ),(
取x∈V(n=1,2…),x→5(n→∞),因f(x)<0,得到 f()=limf(xn)≤0。 n→)0 若f()<0,由f(x)在点的连续性,彐δ>0,Mx∈O(5,δ): f(x)<0 这就与=sup产生矛盾。于是必然有 f()=0 证毕
取 ( 1, 2, ) n x Vn ∈ = " ， n x →ξ （n→∞），因 ()0 n f x < ，得到 ( ) lim ( ) 0 n n f fx ξ →∞ = ≤ 。 若 f () 0 ξ < ，由 f x( ) 在点ξ 的连续性， ∃δ > 0， ∀x O∈ (, ) ξ δ ： f x() 0 < ， 这就与ξ = supV 产生矛盾。于是必然有 f () 0 ξ = 。 证毕
例3.4.1讨论多项式p(x)=2x3-3x2-3x+2零点的位置。 解 Plx) 20 -2 20 p(x)的三个零点(或根)分别落在区间(-2,0),(0,)与(,3)内。事实上, p(x)=2(x+Xx-x-2),它的三个零点为x=+,与=2
例3.4.1 讨论多项式 3 2 p() 2 3 3 2 x xxx = − −+ 零点的位置。 解 x -2 0 1 3 p( ) x -20 2 -2 20 p( ) x 的三个零点（或根）分别落在区间( 2,0) − ,(0,1)与(1,3)内。事实上， 1 ( ) 2( 1)( )( 2) 2 px x x x = +− − ，它的三个零点为 1 x1 = − ， x2 = 12 ， 2 x3 =
例3.42设函数f(x)在闭区间[a,6上连续,且f(a,b]) c[a,b],则存在ξ∈[ab],f()=5(这样的称为f(x)的一个不动点。) 证设g(x)=f(x)-x,则g(x)在[ab上连续,由f(a,b]) c[a,b],可知g(a)≥0,g(b)≤0。 若g(a)=0,则有=a;若g(b)=0,则有=b;若g(a)>0,g(b)<0, 则由定理3.4.3,必存在ξ∈(a,b),使得g()=0,即f()=2。 本例中闭区间[a,b不能改为开区间。例如f(x)=在开区间(0,1)上连续, 且f(0)c(0.),但f(x)在开区间(0,1)中没有不动点
例3.4.2 设函数 f x( ) 在闭区间 ba ],[ 上连续，且 baf ]),([ ⊂ ba ],[ ，则存在ξ ∈ ba ],[ ，f ξ )( = ξ（这样的ξ 称为 f x( ) 的一个不动点。） 证 设 gx f x x () () = − ，则 g x( )在 ba ],[ 上连续，由 f ([ , ]) a b ⊂ ba ],[ ，可知 g a() 0 ≥ ， g b() 0 ≤ 。 若 g a() 0 = ，则有ξ = a ；若 g b() 0 = ，则有ξ = b；若 g a() 0 > ，g b() 0 < ， 则由定理3.4.3，必存在ξ ∈ ba ),( ，使得 g() 0 ξ = ，即 f ( ) ξ = ξ 。 本例中闭区间 ba ],[ 不能改为开区间。例如 ( ) 2x f x = 在开区间(0,1)上连续， 且 f ((0,1)) (0,1) ⊂ ，但 f ( ) x 在开区间(0,1)中没有不动点