●饮儿单得·儿何原木 希腊人包括欧几甲得就根本不承认a:b是一个数.为了摆脱这一困 境，（多克索斯用公理法重新建立了比例论，使它适用于·切可公度与 不可通约的封①.这一卷主要取材于欧多克索斯的工作，给出25个命 题 第VI卷把V卷已雄立的理论用到平面图形上去，共33个命题 第VIⅡ.VI1、X三卷是数论，分别有39、27、36个命题，也完全用几何 的方式叙述，第V山卷第【命题是欧儿里得辗转运算法的出处.第伏卷 第20命题是数论中的欧几里得定理：素数的个数无穷多 第X卷是篇幅最大的一卷，包含115个命题，占全书1/4，和其他 各卷不很相称.土要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），但只涉及 相当于√a±√之类的无理量.第1个命题“给定大小两个量，从大量 中减它的一人半，再从剩下的量中减去它的一大半，这样重复这-一于 续，可使所余的量小于所给的小量”相当重要，它是极限论的雏形，也是 “穷竭法”的理论基础，和后各卷有密切关系、 第I卷讨论空间的直线与Ψ面的各种关系.第X卷利用穷竭法证 明“圆面积的比等于直径平方的比”用现在的符号来表示就是Ax产 或A=d(A表圆积，d表自径)，似欧儿里得却没有说这比例常数 是多少.此外还证明“球休积的比等于直径立方的比”、“锥休体积等于 同底等高的杆休的1/3”等. 第X卷着重研究5种正多面体 公理化结构是近代数学的主要特征.而《原木》是完成公理化结构 的最早典范，它产牛：于两干多年前，这是雅能可贵的.不过用现代的标 准去衡里，也有不少缺点.首先，·个公理系统都有若十原始概念，或称 阿有的学者认为欧多克索斯的比例论已含有近代尤弹数论的“戴德金”(R。 Dedekind)分划”的思想萌芽.见B.7.KTm《几何学基础》(OCHOBH Te*MeTPHH,1948).苏步青译本(954)p.20. 12
导言● 不定义概念，作为其他概念定义的基础.点、线、面就属于这一类.而在 《原本》中-一给出定义，这些定义本身就是含混不清的.例如定义4： “有线是这样的线，在它上面的点都是高低相同地放置着的.”①就很费 解，而且后面的证明完全没有用到.共次是公理系统不完备，没有运动 顺序、连续性等公理，所以许多证明不得不借助于直观.此外，有的公理 不是独立的，即可以由别的公理推出（如“直角必相等”）.这些缺陷直到 1899年希尔伯特(David Hilbert,l862~1943)的《几何基础》(Grurllagen der Geometrie,傅种孙，韩桂丛合译，1924年；江泽涵等译，1958)出版才 得到了补救.尽管如此，毕竞瑕不掩瑜，《原本》开创了数学公理化的正 确道路，对整个数学发展的影响，超过了历史上任何其他著作 (五)《原本》对我国数学的影响 中国传统数学的最大特点是以算为中心.虽然也有逻辑证明，但是 却没有形成一个严密的演泽体系，这也许是最大的弱点多.明末《原本》 前6卷传入，应该是切中时弊，正好补救我的不足.可是实际情况并 不如想象那么好. 徐光启本入对《原本》十分推崇，也有深刻的理解.他认为学习此书 可使人“心思细密”，在《几何原本杂议》中说：“人具上资顺意理疏莽，即 上资无用：人具中材而心思缜密，即中材有州；能通儿何之学，缜密甚 矣，故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也.“在他的人力猖导 下，确实也发挥了定的作用⑧，可惜言者谆谆，听者藐藐，要在群众中 @英译“A straight linc is a line which lics evenly with the points on itself”.even wih译作与.般齐.例如The windo.积'与 平齐 @梁宗中《我州数学发展的特点》，载《数学研院与评论》第6卷(1986.7)3期 pp.149~154. ③艾生，、梁成瑞《（儿何原本〉及其在中国的传播》，载《中国科技史料》第5 卷(1984华)3期. 13
●欧几里得·儿何原木 推“，仍然有很大的困难.他在《杂议》巾继续写道：“而习者盖寡，窃意 百年之后，必人人习之.”他只好将希望寄托于末米. 明末我国正处在数学发展的低潮，号称数学专家的唐顺之、倾应祥 对传统的代数学（天元术）尚且一窃不通，其他可想而知.《原本》虽已译 出，学术界是杏看到它的优点，大有疑问.事实上，明清两代几乎没有人 对《原本》的公理化方法及逻辑演绎体系做过专门的研究网.1665年，发 生了“杨光先事件”，西输人的学术以及传播这些学术的人受到了残 酷的镇压.康熙以后，清统治者实行闭关锁国、盲目排外的政策⑤.知识 分子丧失了思想、言论自出，为了逃避现实，转向古籍的整理和研究，以 后形成以考据为巾心的乾嘉学派.徐光启之后，数学界的代表人物是梅 文鼎(1633~1721)，他会通中西数学，著书80多种，对发扬中国传统 数学及传播西方数学均有贡献，但却没有认识到公理方法的重要性.也 许是对“杨光先事件”还心有余悸，不敢公开承认西学的优点.他认为西 方的儿何学，无非就是巾国的勾股数学，没有什么新鲜的东西.他在《几 何通解》中写道：“几何不言勾股，然其理并勾股也.故其最摊通者，以勾 股释之则明.信山《九章》之义，包举无方”.又在《勾股举隅》巾说 “勾股之用，于是乎神.言测量至西术详矣，究不外勾股以立算.故三角 即勾股之变通，八线乃勾股之立成也.”类似的说法还有多处，他见到 的只是几何的一些命题，至于真正的精髓—公理体系放逻辑思想方 法，竞熟视无睹.梅文鼎这种“占已有之”的观点，也是安自尊大的保守 思想的反映，它是有代表性的，而且相当顽固.这对于吸收外来文化的 精华是非常不利的.由于梅文鼎当时的崇高诚望，确实产生了一些消极 砂见L19]. 参见梁宗巨《从数学：史石中国近代科学落后的原因》，载《大白然探索》 (1981.1) 国梅文鼎《梅氏丛书斜要》卷18(1761). 梅文鼎《梅氏丛书辑要》卷17(1761)
计有● 的影响. 我国60年代初期，曾掀起一阵“打倒柯（指柯西）家片”、“打倒饮家 店”的浪潮.实践证明这是错误的，它只能削弱基础理论的学习，结果 是欲速则不达.我们应该记收这个教训，将儿何的学习和逻辑思维的训 练放到应有地位上。 梁宗巨 1986.12.6 辽宁师大数学史研究室
《阿基米德全集》简介 阿基米德(Archimedes,公心前287~公心前212)是占希腊最伟大 的数学家和力学家，他在继承前人数学成就的某础上完成了同面积，球 表积、球休积以及此重要命题的论证他在对片希腊三个荠名的 问题（倍立.方体、三等分角和化圆为方）的探崇引出诸多发现，并在数 学的各个方做了开创性的作，他是数学、物现结合所究的最中典 范，他用公理方法完成了杠杆平衡理论、重心甲论及静止流体浮力理 论，成为力学的创始人，不仪如此，他还通过力学的实际应用发明了许 多实用机械 侧基米德利用力学原理（杠杆原理和承心理论）去发现几何的结 论.如球体积、抛物线乃形的面积等，实小上：是近代积分处理的方法 因具有划时代的意义，他的最人页献也在于此.从而被誉为近代积分 的先班.后人把他和牛顿，高斯并列为有史以来位贡献最大的数 学家 议译本《脚基米德企集)依据的底本是1912牛英国：！版的《Th works of Arrhimedes with the method of Archimedes》。这部英文版菩作是 英用有希挡数学史研究权威希思(T.L.Hath,186]~1940)根据丹麦 学家、数学史家海伯格（小.1.Hc心g,1854一1982）的《阿基米德全 集及汇释)以及有关史料编辑而成并H希思在阿基米德著作的原文 中引入」现代数学符号 “m其米德全集共两部分：筇一一部分“导论”八章，出希思撰写， 以说是研究阿基米德并作：的.总结。有阿基米德的铁闻、著作的抄本及 主要版本，方和佚若，与前华工作的联系.三次方程，对积分的预示和 专州名词等第二部分是阿基米德的名作，共14篇。包括：论球和圆 杜」，业；例的度量；论培锥曲血体与旋转椭圆休；论螺线；论平血图形