数学能力取决于数学思想方法 一由分析2011年安徽省中考数学试题得到的启示 夏飞（中学特级教师） 应用数学解决问题的能力既是“数学课程标准”中的一 个重要的课程目标，也是考查学生综合素质的一个重要依 据.2011年安徽省中考数学试题就有这样一个特点：不再只 是考查学生积累了多少“双基”，而是考查学生运用“双基” 解决具体问题的办法与能力.重视对逻辑推理能力的考查， 注意适度论证，加强了计算和推理的有机结合，入口容易， 方法多样，不求繁难，也没有出现“偏题”、“怪题”·可 以说，与前两年相比，在保持试题难度框架形式相对稳定不 变的前提下，仍趋向于通过创设新的问题情境，结合实际问 题在运用的过程中考查数学能力，其根本目的是在考查学生 的数学思想方法.不妨在此作些简单分析，与大家共同切磋， 以利教学. 【试题分析】 2011中考数学试题继续延续了2010年的命题思路，注 重基础知识、基本能力和数学思想方法的考查，没有偏题和 怪题，题目难易适中，继续坚持“稳中求变，变中求新”这 一特点 首先，试卷整体布局合理，对知识的考查比较合理、全 面，注重基础知识的考查.整张试卷共23道题.其中选择
数学能力取决于数学思想方法 ──由分析 2011 年安徽省中考数学试题得到的启示 夏 飞（中学特级教师） 应用数学解决问题的能力既是“数学课程标准”中的一 个重要的课程目标，也是考查学生综合素质的一个重要依 据．2011 年安徽省中考数学试题就有这样一个特点：不再只 是考查学生积累了多少“双基”，而是考查学生运用“双基” 解决具体问题的办法与能力．重视对逻辑推理能力的考查， 注意适度论证，加强了计算和推理的有机结合，入口容易， 方法多样，不求繁难，也没有出现“偏题”、“怪题”．可 以说，与前两年相比，在保持试题难度框架形式相对稳定不 变的前提下，仍趋向于通过创设新的问题情境，结合实际问 题在运用的过程中考查数学能力，其根本目的是在考查学生 的数学思想方法．不妨在此作些简单分析，与大家共同切磋， 以利教学． 【试题分析】 2011 中考数学试题继续延续了 2010 年的命题思路，注 重基础知识、基本能力和数学思想方法的考查，没有偏题和 怪题，题目难易适中，继续坚持 “稳中求变，变中求新”这 一特点． 首先，试卷整体布局合理，对知识的考查比较合理、全 面，注重基础知识的考查．整张试卷共 23 道题．其中选择
题共10道题，每题4分；填空题4道题，每题5分；最后 三道题分值分别为12分、12分、14分.代数部分约占48%， 几何部分约占52%.其中代数部分对基础知识和基本能力的 考查，如简单的实数大小比较（第1题）、科学记数法（第 2题)、分式化简（第15题）、一元二次方程的解法（第8 题)、一元一次方程的应用（第16题）、新定义运算（第2、 14题)；函数部分考查了一次函数与反比例函数的图像和性 质（第21题）、二次函数的增减性（第23题的3问）及统 计与概率（第5、20题）·几何部分考查了三角形、四边形、 圆及图形的变换。其中三角形知识点考查面广，如三角形的 性质（第6题）、全等三角形的性质与判定（第23题）、 相似三角形的性质与判定（第9、10、22题）、等腰三角形 的性质（第22题）、直角三角形的性质及解直角三角形（第 13、19题)；四边形知识点的考查较综合（第5、6、9题）， 圆的知识考查了垂径定理（第13题）、圆周角定理及弧长 公式（第7题)；图形变换考查了旋转、平移、位似（第17、 22题). 其次，试题延续2010年的平稳趋势，严格按照考纲出 题，试题难易适中，没有出现“怪、偏、繁”题，试卷难题 分布合适.如第21题、22题和23题考查了几何推理能力和 数学综合分析能力，对学生数学思维能力的考查很全面。第 21题是把一次函数与反比例相结合，使二次函数融合在几何
题共 10 道题，每题 4 分；填空题 4 道题，每题 5 分；最后 三道题分值分别为 12 分、12 分、14 分．代数部分约占 48%， 几何部分约占 52%．其中代数部分对基础知识和基本能力的 考查，如简单的实数大小比较（第 1 题）、科学记数法（第 2 题）、分式化简（第 15 题）、一元二次方程的解法（第 8 题）、一元一次方程的应用（第 16 题）、新定义运算（第 2、 14 题）；函数部分考查了一次函数与反比例函数的图像和性 质（第 21 题）、二次函数的增减性（第 23 题的 3 问）及统 计与概率（第 5、20 题）．几何部分考查了三角形、四边形、 圆及图形的变换。其中三角形知识点考查面广，如三角形的 性质（第 6 题）、全等三角形的性质与判定（第 23 题）、 相似三角形的性质与判定（第 9、10、22 题）、等腰三角形 的性质（第 22 题）、直角三角形的性质及解直角三角形（第 13、19 题）；四边形知识点的考查较综合（第 5、6、9 题）， 圆的知识考查了垂径定理（第 13 题）、圆周角定理及弧长 公式（第 7 题）；图形变换考查了旋转、平移、位似（第 17、 22 题）． 其次，试题延续 2010 年的平稳趋势，严格按照考纲出 题，试题难易适中，没有出现“怪、偏、繁”题，试卷难题 分布合适．如第 21 题、22 题和 23 题考查了几何推理能力和 数学综合分析能力，对学生数学思维能力的考查很全面。第 21 题是把一次函数与反比例相结合，使二次函数融合在几何
题中，既淡化了这类考题的分量，同时又能考查考生的综合 能力，命题思路较好.第22题是几何图形的旋转问题，在 旋转中找角的度数，线段之间的关系，题目没有突破常规， 但是延续了学生在解数学题中的思维难点，让学生“够一够 能抓到”，是一道训练思考能力和思想方法的好几何题。第 23题，是在一个基本几何图形框架下考查全等三角形及二次 函数的问题，是一道代数与几何相结合的好题. 此外，试卷新增了规律探索题、淡化了概率的运用、二 次函数和一次函数的应用等中考热点问题.规律探索题是安 徽省中考命题的一大特色，在前几年中考中有着很重的分 量，但是2009、2010年的考题基本上是把规律探索题放在 选择和填空中，而2011年的考题则加大了规律探索题的分 量，且出现在大题中，很明显，这是着重对数学能力的考查， 纵观以上试题结构，不难发现，试题仍以考查学生的基 本知识与基本能力为主，但考查知识点偏重于几何部分，以 凸显学生的逻辑思维能力，其中第9、10、22题的第(3) 问有一定的区分度.最明显的是，2011年安徽省中考数学的 阅读理解题能较好地考查学生的阅读理解能力与日常生活 体验，同时又能考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模 能力、决策判断能力，是一大亮点.如第12、14、18、20 题，试题背景考生较熟悉，很容易入手，问题设置有创新、 有变化也是2011年命题的一大特点
题中，既淡化了这类考题的分量，同时又能考查考生的综合 能力，命题思路较好．第 22 题是几何图形的旋转问题，在 旋转中找角的度数，线段之间的关系，题目没有突破常规， 但是延续了学生在解数学题中的思维难点，让学生“够一够 能抓到”，是一道训练思考能力和思想方法的好几何题。第 23 题，是在一个基本几何图形框架下考查全等三角形及二次 函数的问题，是一道代数与几何相结合的好题． 此外，试卷新增了规律探索题、淡化了概率的运用、二 次函数和一次函数的应用等中考热点问题．规律探索题是安 徽省中考命题的一大特色，在前几年中考中有着很重的分 量，但是 2009、2010 年的考题基本上是把规律探索题放在 选择和填空中，而 2011 年的考题则加大了规律探索题的分 量，且出现在大题中，很明显，这是着重对数学能力的考查． 纵观以上试题结构，不难发现，试题仍以考查学生的基 本知识与基本能力为主，但考查知识点偏重于几何部分，以 凸显学生的逻辑思维能力，其中第 9、10、22 题的第（3） 问有一定的区分度．最明显的是，2011 年安徽省中考数学的 阅读理解题能较好地考查学生的阅读理解能力与日常生活 体验，同时又能考查学生获取信息后的抽象概括能力、建模 能力、决策判断能力，是一大亮点．如第 12、14、18、20 题，试题背景考生较熟悉，很容易入手，问题设置有创新、 有变化也是 2011 年命题的一大特点．
【考题再现】： 例1（2011安徽省中考数学第9题)如图1，在四边形 ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22,CD=V2 点P在四边形ABCD的边上.若点P到BD的距离为2，则 点P的个数为() A.1B.2C.3 D.4 用1 解析：选B。分别过A、C两点作AE⊥BD于E,CFI BD于F,由勾股定理得BD=4,从△ABD的面积计算可得 AB·AD=AE·BD,AE=2,点P到BD的距离为2，因此， 在边AD、AB上可以分别找到一个点P;而CE<CD,即CE<2, 亦即82，所以，在边BC、CD上均找不到点P,综上符 合条件的点P的个数只有两个，分别在边AD、AB上各 个. 点评：此题设题较为简明，思考方法灵活，体现了由一般 到特殊的命题特色，能较好地引导学生掌握从一般到特殊的 思想方法
【考题再现】： 例 1（2011 安徽省中考数学第 9 题）如图 1，在四边形 ABCD 中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝ ，CD＝ ， 点 P 在四边形 ABCD 的边上．若点 P 到 BD 的距离为 ，则 点 P 的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选 B。分别过 A、C 两点作 AE⊥BD 于 E，CF⊥ BD 于 F，由勾股定理得 BD=4，从△ABD 的面积计算可得 AB·AD=AE·BD，AE=2，点 P 到 BD 的距离为 ，因此， 在边 AD、AB 上可以分别找到一个点 P；而 ,即 ， 亦即 ，所以，在边 BC、CD 上均找不到点 P；综上符 合条件的点 P 的个数只有两个，分别在边 AD、AB 上各一 个． 点评：此题设题较为简明，思考方法灵活，体现了由一般 到特殊的命题特色，能较好地引导学生掌握从一般到特殊的 思想方法．
例2(2011安徽省中考数学第10题)如图2，点P是 菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC 的直线交菱形ABCD的边于M、N两点. 图2 设AC=2,BD=1,AP=x,△AMN的面积为y,则y关于 x的函数图象大致形状是() 解析：选C。点P在AC的左半边移动时，即0<x<1时， w,则W,即-，当点P在AC的右半边移 动时即1<x<2时，w2-,则-号0，即=+， 综上，选C. 点评：此题图形较为美观，包含了很多几何、代数知识， 能真正考查学生的数形结合思想方法及计算能力，但笔者在 中考阅卷中也发现这样的问题：当点P在AC的左半边移动 时，即0<<1时，多数考生都可以得到函数的解析式， 当点P在AC的右半边移动时，即1<x<2时，不少考生产生 困难，难以得到函数解析式+“，从而难以在B、C两
例 2（2011 安徽省中考数学第 10 题）如图 2，点 P 是 菱形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点，过点 P 垂直于 AC 的直线交菱形 ABCD 的边于 M、N 两点． 设 ， ， ，△AMN 的面积为 ，则 关于 的函数图象大致形状是（ ） 解析：选 C。点 P 在 AC 的左半边移动时，即 时， ，则 ，即 ；当点 P 在 AC 的右半边移 动时，即 时， ，则 ，即 ， 综上，选 C． 点评：此题图形较为美观，包含了很多几何、代数知识， 能真正考查学生的数形结合思想方法及计算能力．但笔者在 中考阅卷中也发现这样的问题：当点 P 在 AC 的左半边移动 时，即 时，多数考生都可以得到函数的解析式 ； 当点 P 在 AC 的右半边移动时，即 时，不少考生产生 困难，难以得到函数解析式 ，从而难以在 B、C 两