《数学史概论》教案 导言 一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史这门课程？ 数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经 济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类 文明的发展都具有重要的意义。 庞加莱（法，1854一1912年）语录：如果我们希望预见数学的将来，适当 的途径是研究这门科学的历史和现状。 萨顿（美，1884-1956年）：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但 它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且 培植他们高雅的质量。 数学史的分期： 1、数学的起源与早期发展（公元前6世纪前） 2、初等数学时期（公元前6世纪一16世纪） ()古代希腊数学（公元前6世纪一6世纪） (2)中世纪东方数学(3世纪一15世纪) (3)欧洲文艺复兴时期(15世纪一16世纪) 3、近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪一18世纪） 4、现代数学时期(1820年至今) (1)现代数学酝酿时期(1820一-1870) (2)现代数学形成时期(1870一1940) (3)现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950一现在） 二、教学工作安排 授课形式：讲解与自学相结合，分15讲。 第一讲：数学的起源与早期发展； 第二讲：古代希腊数学： 第三讲：中世纪的东西方数学1： 第四讲：中世纪的东西方数学Ⅱ 第五讲：文艺复兴时期的数学：
1 《数学史概论》教案 导言 一、数学史要学习什么？为什么要开设数学史这门课程？ 数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经 济和一般文化的联系。对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类 文明的发展都具有重要的意义。 庞加莱（法，1854－1912 年）语录：如果我们希望预见数学的将来，适当 的途径是研究这门科学的历史和现状。 萨 顿（美，1884-1956 年)：学习数学史倒不一定产生更出色的数学家，但 它产生更温雅的数学家，学习数学史能丰富他们的思想，抚慰他们的心灵，并且 培植他们高雅的质量。 数学史的分期： 1、数学的起源与早期发展（公元前 6 世纪前） 2、初等数学时期（公元前 6 世纪—16 世纪） (1) 古代希腊数学（公元前 6 世纪—6 世纪） (2) 中世纪东方数学（3 世纪—15 世纪） (3) 欧洲文艺复兴时期（15 世纪—16 世纪） 3、近代数学时期（或称变量数学建立时期，17 世纪－18 世纪） 4、现代数学时期（1820 年至今） (1) 现代数学酝酿时期（1820—1870） (2) 现代数学形成时期（1870—1940） (3) 现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950—现在） 二、教学工作安排 授课形式：讲解与自学相结合，分 15 讲。 第一讲：数学的起源与早期发展； 第二讲：古代希腊数学； 第三讲：中世纪的东西方数学 I； 第四讲：中世纪的东西方数学 II； 第五讲：文艺复兴时期的数学；
第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立： 第七讲：18世纪的数学：分析时代： 第八讲：19世纪的代数： 第九讲：19世纪的几何与分析1： 第十讲：19世纪的几何与分析Ⅱ： 第十一讲：20世纪数学概观1： 第十二讲：20世纪数学概观山： 第十三讲：20世纪数学概观Ⅲ： 第十四讲：数学与社会 第十五讲：中国现代数学的开拓 作业：每一讲写600字左右的读书笔记，40%记入学期总成绩。 考查：每位同学选取一名数学家，以这数学家为主题写一篇数学史讲稿（约 3000字)，并把讲稿内容制作成PowerPoint文档（约15分钟，5一8张文档）， 60%记入学期总成绩。 要求：讲稿用A4纸单面打印，连同PowerPoint文档于2010年12月28日 (第18周星期二)上交。 三、主要参考书 1、[美]克莱因.古今数学思想.牛津大学出版社，1972（中译本：北京大学 数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1979~1981,4卷本)： 2、张奠宙.20世纪数学经纬.上海：华东师范大学出版社，2002： 3、吴文俊主编.世界著名数学家传记（上、下册）.北京：科学出版社，1995： 4、程民德主编.中国现代数学家传(5卷本).南京：江苏教育出版社，1994 -2002: 5、中国大百科全书编辑委员会.中国大百科全书（数学卷）.北京：中国大 百科全书出版社，1988： 6、王元，严士健，石钟慈，谈德颜编译数学百科全书(5卷本)·北京 科学出版社，1994-2000： 7、郭金彬，孔国平.中国传统数学思想史.北京：科学出版社，2004： 8、徐品方，张红.数学符号史.北京：科学出版社，2006。 2
2 第六讲：牛顿时代：解析几何与微积分的创立； 第七讲：18 世纪的数学：分析时代； 第八讲：19 世纪的代数； 第九讲：19 世纪的几何与分析 I； 第十讲：19 世纪的几何与分析 II； 第十一讲：20 世纪数学概观 I； 第十二讲：20 世纪数学概观 II； 第十三讲：20 世纪数学概观 III； 第十四讲：数学与社会 第十五讲：中国现代数学的开拓 作业：每一讲写 600 字左右的读书笔记，40%记入学期总成绩。 考查：每位同学选取一名数学家，以这数学家为主题写一篇数学史讲稿（约 3000 字），并把讲稿内容制作成 PowerPoint 文档（约 15 分钟，5－8 张文档）， 60%记入学期总成绩。 要求：讲稿用 A4 纸单面打印，连同 PowerPoint 文档于 2010 年 12 月 28 日 （第 18 周星期二）上交。 三、主要参考书 1、[美]克莱因. 古今数学思想. 牛津大学出版社，1972（中译本：北京大学 数学系数学史翻译组译，上海科学技术出版社，1979~1981，4 卷本）； 2、张奠宙. 20 世纪数学经纬. 上海：华东师范大学出版社，2002； 3、吴文俊主编. 世界著名数学家传记（上、下册）. 北京：科学出版社，1995； 4、程民德主编. 中国现代数学家传（5 卷本）. 南京：江苏教育出版社，1994 －2002； 5、中国大百科全书编辑委员会. 中国大百科全书（数学卷）. 北京：中国大 百科全书出版社，1988； 6、王元，严士健，石钟慈，谈德颜编译. 数学百科全书（5 卷本）. 北京： 科学出版社，1994－2000； 7、郭金彬，孔国平. 中国传统数学思想史. 北京：科学出版社，2004； 8、徐品方，张红. 数学符号史. 北京：科学出版社，2006
第一讲数学的起源与早期发展 主要内容：数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数学。 1、数与形概念的产生 从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。人 从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表明人类记数最 原始、最方便的工具是手指 如，手指计数（伊朗，1966），结绳计数（秘鲁，1972）（美国自然史博物馆 藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人称之为基普)，文字5000年（伊 拉克，2001)（楔形数字），西安半坡遗址出士的陶器残片。 早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度 玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一种文明， 分布在今墨西哥的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯和萨尔瓦多西部) 等。 世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足以 证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。 2、河谷文明与早期数学 2.1古代埃及的数学 背景：古代埃及简况 埃及文明上溯到距今6000年左右，从公元前3500年左右开始出现一些小国 家，公元前3000年左右开始出现初步统一的国家。 古代埃及可以分为5个大的历史时期：早期王国时期（公元前3100一前2688 年)、古王国时期（前2686一前2181年）、中王国时期（前2040一前1768年）、 新王国时期（前1567-前1086年入、后期王国时期（前1085一前332年）。 (1)古王国时期：前2686一前2181年。埃及进入统一时代，开始建造金 字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。 (2)新王国时期：前1567一前1086年。埃及进入极盛时期，建立了地跨 亚非两洲的大帝国。 直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止
3 第一讲 数学的起源与早期发展 主要内容：数与形概念的产生、河谷文明与早期数学、西汉以前的中国数学。 1、数与形概念的产生 从原始的“数”到抽象的“数”概念的形成，是一个缓慢、渐进的过程。人 从生产活动中认识到了具体的数，导致了记数法。“屈指可数”表明人类记数最 原始、最方便的工具是手指。 如，手指计数（伊朗，1966），结绳计数（秘鲁，1972）（美国自然史博物馆 藏有古代南美印加部落用来记事的绳结，当时人称之为基普），文字 5000 年（伊 拉克，2001）（楔形数字），西安半坡遗址出土的陶器残片。 早期几种记数系统，如古埃及、古巴比伦、中国甲骨文、古希腊、古印度、 玛雅（玛雅文明诞生于热带丛林之中，玛雅是一个地区、一支民族和一种文明， 分布在今墨西哥的尤卡坦半岛、危地马拉、伯利兹、洪都拉斯和萨尔瓦多西部） 等。 世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系，足以 证明数学起源的多元性和数学符号的多样性。 2、河谷文明与早期数学 2.1 古代埃及的数学 背景：古代埃及简况 埃及文明上溯到距今 6000 年左右，从公元前 3500 年左右开始出现一些小国 家，公元前 3000 年左右开始出现初步统一的国家。 古代埃及可以分为 5 个大的历史时期：早期王国时期（公元前 3100－前 2688 年）、古王国时期（前 2686－前 2181 年）、中王国时期（前 2040－前 1768 年）、 新王国时期（前 1567－前 1086 年）、后期王国时期（前 1085－前 332 年）。 （1）古王国时期：前 2686－前 2181 年。埃及进入统一时代，开始建造金 字塔，是第一个繁荣而伟大的时代。 （2）新王国时期：前 1567－前 1086 年。埃及进入极盛时期，建立了地跨 亚非两洲的大帝国。 直到公元前 332 年亚历山大大帝征服埃及为止
埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史，建立了国家，有了相当发达的农 业和手工业，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建 造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。 吉萨金字塔（公元前2600年）（刚果，1978），它显示了埃及人极其精确的 测量能力，其中它的边长和高度的比例约为圆周率的一半。 古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，来自现实生活的数学问题集。 莱茵德纸草书(1858年为苏格兰收藏家莱茵德购得，用僧侣文写成，现藏 伦敦大英博物馆，主体部分由84个数学问题组成，其中还有历史上第一个尝试 “化圆为方”的公式)。 莫斯科纸草书(1893年由俄因贵族戈列尼雪夫在埃及购得，也用僧侣文写 成，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆，包含了25个数学问题)。 埃及纸草书（民主德国，1981）。 数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次方程，正方形、矩形、 等腰梯形等图形的面积公式，近似的圆面积，锥体体积等。 公元前4世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希腊 数学所取代。 2.2古代巴比伦的数学 背景：古代巴比伦简况 两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今6000年之前，几乎和埃及人同 时发明了文字“楔形文字”。 (1)古巴比伦王国：公元前1894一前729年。汉穆拉比（在位前1792一 前1750)统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的《汉 穆拉比法典》。 (2)亚述帝国：前8世纪一前612年，建都尼尼微（今伊拉克的摩苏尔市）。 (3)新巴比伦王国：前612一前538年。尼布甲尼撒二世（在位前604一前 562年)统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇观之 一的巴比伦“空中花园”。世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花园、 阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神铜像， 他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，是古代西方人眼中的全部世界 4
4 埃及人创造了连续 3000 多年的辉煌历史，建立了国家，有了相当发达的农 业和手工业，发明了铜器、创造了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识，建 造了巍峨宏伟的神庙和金字塔。 吉萨金字塔（公元前 2600 年）（刚果，1978），它显示了埃及人极其精确的 测量能力，其中它的边长和高度的比例约为圆周率的一半。 古埃及最重要的传世数学文献：纸草书，来自现实生活的数学问题集。 莱茵德纸草书（1858 年为苏格兰收藏家莱茵德购得，用僧侣文写成，现藏 伦敦大英博物馆，主体部分由 84 个数学问题组成，其中还有历史上第一个尝试 “化圆为方”的公式）。 莫斯科纸草书（1893 年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，也用僧侣文写 成，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆，包含了 25 个数学问题）。 埃及纸草书（民主德国，1981）。 数学贡献：记数制，基本的算术运算，分数运算，一次方程，正方形、矩形、 等腰梯形等图形的面积公式，近似的圆面积，锥体体积等。 公元前 4 世纪希腊人征服埃及以后，这一古老的数学完全被蒸蒸日上的希腊 数学所取代。 2.2 古代巴比伦的数学 背景：古代巴比伦简况 两河流域（美索不达米亚）文明上溯到距今 6000 年之前，几乎和埃及人同 时发明了文字“楔形文字”。 （1）古巴比伦王国：公元前 1894－前 729 年。汉穆拉比（在位前 1792－ 前 1750）统一了两河流域，建成了一个强盛的中央集权帝国，颁布了著名的《汉 穆拉比法典》。 （2）亚述帝国：前 8 世纪－前 612 年，建都尼尼微 （今伊拉克的摩苏尔市）。 （3）新巴比伦王国：前 612－前 538 年。尼布甲尼撒二世（在位前 604－前 562 年）统治时期达到极盛，先后两次攻陷耶路撒冷，建成世界古代七大奇观之 一的巴比伦“空中花园”。世界古代七大奇观指埃及金字塔、巴比伦空中花园、 阿苔密斯神殿、摩索拉斯陵墓、宙斯神像、亚历山大灯塔、罗德岛太阳神铜像， 他们是分布于西亚、北非和地中海沿岸的古迹，是古代西方人眼中的全部世界
而中国的长城距他们太远了。记录者古希腊哲学家费隆·拜占廷说过：“心眼所 见，永难磨灭”。 公元前6世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前538年灭亡了新巴比 伦王国： 了解古代美素不达米亚文明的主要文献是泥版，迄今己有约50万块泥版出 土。苏美尔计数泥版（文达，1982）。 现在泥版文书中大约有300多块是数学文献：以60进制为主的楔形文记数 系统，长于计算，发展程序化算法的熟练技巧（开方根），能处理三项二次方程， 有三次方程的例子，三角形、梯形的面积公式，棱柱、方锥的体积公式。 泥版楔形文，普林顿322（现在美国哥伦比亚大学图书馆，年代在公元前1600 年以前，数论意义：整勾股数)。 巴比伦泥板和彗星（不丹，1986）。 2.3西汉以前的中国数学 黄河壶口瀑布（中国，2002） 《史记·夏本纪》大禹治水（公元前21世纪）中提到“左规矩，右准绳”， 表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”。 考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。 1952年在陕西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻画的符号中， 有一些符号就是表示数字的符号。 在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是记录数字的文字，表明中国己经使用 了完整的十进制记数，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万。殷 墟甲骨上数学（商代，公元前1400一前1100年，1983一1984年间河南安阳出土）。 算筹(1971年陕西千阳县西汉墓出土)是中国古代的计算工具，它的起源 大约可上溯到公元前5世纪，后来写在纸上便成为算筹记数法。至迟到春秋战国 时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数（约公元前30年）。怎样用算筹记 数呢？公元3一4世纪成书的《孙子算经》记载说：“凡算之法，先识其位，一纵 十横，百立千僵，千十相望，万百相当。 为了避免涂改，在唐代以后，我国又创用了一种商业大写数字，又叫会计体： 壹、贰、参、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万
5 而中国的长城距他们太远了。记录者古希腊哲学家费隆·拜占廷说过：“心眼所 见，永难磨灭”。 公元前 6 世纪中叶，波斯国家逐渐兴起，并于公元前 538 年灭亡了新巴比 伦王国。 了解古代美索不达米亚文明的主要文献是泥版，迄今已有约 50 万块泥版出 土。苏美尔计数泥版（文达，1982）。 现在泥版文书中大约有 300 多块是数学文献：以 60 进制为主的楔形文记数 系统，长于计算，发展程序化算法的熟练技巧（开方根），能处理三项二次方程， 有三次方程的例子，三角形、梯形的面积公式，棱柱、方锥的体积公式。 泥版楔形文，普林顿 322（现在美国哥伦比亚大学图书馆，年代在公元前 1600 年以前，数论意义：整勾股数）。 巴比伦泥板和彗星（不丹，1986）。 2.3 西汉以前的中国数学 黄河壶口瀑布（中国，2002） 《史记·夏本纪》大禹治水（公元前 21 世纪） 中提到“左规矩，右准绳”， 表明使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”。 考古学的成就，充分说明了中国数学的起源与早期发展。 1952 年在陕西西安半坡村出土的，至今六七千年的陶器上刻画的符号中， 有一些符号就是表示数字的符号。 在殷墟出土的商代甲骨文中，有一些是记录数字的文字，表明中国已经使用 了完整的十进制记数，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万。殷 墟甲骨上数学（商代，公元前 1400－前 1100 年，1983－1984 年间河南安阳出土）。 算筹（1971 年陕西千阳县西汉墓出土）是中国古代的计算工具，它的起源 大约可上溯到公元前 5 世纪，后来写在纸上便成为算筹记数法。至迟到春秋战国 时代，又开始出现严格的十进位制筹算记数（约公元前 300 年）。怎样用算筹记 数呢？公元 3－4 世纪成书的《孙子算经》记载说：“凡算之法，先识其位，一纵 十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” 为了避免涂改，在唐代以后，我国又创用了一种商业大写数字，又叫会计体： 壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万