●做儿单得·儿何原本 ~22)的书引用过《几何原本》的命题⑨，可见他早于阿基米德.另一位 学者帕波斯(Pappus,l1as,公元300~350前后)在《数学汇编》中提 到阿被罗尼奥斯(Apollonius,'Ao入10s,约公元前225)长期住在亚历 山大，和欧几里得的学生在一起，这说明欧几里得在亚历山大教过学 综上所述，欧几里得应该是公元前300年前后的人： 《概要》还记述了这样一则故事：托勒密上问欧儿里得说，除了他的 《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径.欧几里得回答道：“在 几何里，没有专为国王铺设的大道”(There is no royal road to geometry). 这句话成为传诵千古的学习箴言⑥.斯托比亚斯(Stobaeus,约500)i心述 另则故事，说一个学生才开始学习第一个命题，就问学了几何学之后 将得到些什么.欧儿里得说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获取实 利”中此可知欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研，不赞成投机 取巧的作风，也反对狭隘实用观点.帕波斯特别赞赏欧几里得的兼逊， 他从不掠人之美，也没有声称过哪些是白己的独创.而阿波罗龙奥斯则 不然，他过分突出白己，明明是欧几里得研究过的工作，他在《圆锥曲线 论》(Conics)中也没有归功于欧几里得⑦. 除了《几何原本》之外，欧几里得还有不少著作，可惜大都失传，唯 一保存下来的纯粹几何著作（希腊文）是《已知数》(The data,△e6oyEa), 体例和《几何原本》前6卷相似，包括94个命题，指出若图形中的某些 元素已知，则另外的·些元素也可以确定.《图形的分割》(On divisions of figures,.lepkaLpEB以iow)现存拉丁文与阿拉伯文本，论述用直线 )阿基米德《论球与倒柱》(On the sphrre and cylinder)I命题6明确指出引用 了《几何原木》的证明.见T.L.Heath,the words of Archimedes with the method of Archimodes(1912)p.9.汉本，1998. 原文见R.E.Moritz,On mthematics and mathematicians(1914)p.l52 ⑧另种说法认为这是门奈赫莫斯(Menaechuous)和亚历山大王的故事 T.L.Heath,Amanual of Greek mathematics(1931)p.203. 2
导言● 将已知图形分为相等的部分或成比例的部分.《光学》((Opia,'OicKa) 是早期的几何光学著作之一，研究透视问题，指出光的人射角等于反射 角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果等®，还有一些著作未能 确定是否属于欧几里得，而H已经散火」 (二)《几何原本》产生的历史背景 欧几里得的《儿何原本》是一部划时代的著作.其伟大的历史意义 在于它是用公理建立起演绎体系的最早典范.过去所积累下来的数学 知识，是零碎的、片断的，可以比作木石、砖瓦.只有借助于逻辑方法，把 这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在- 个严密的系统之中，才能建成巍峨的大厦.《几何原本》（以卜简称《原 本》)完成了这一艰巨的任务，它对整个数学的发展生了深远的影响 《原本》的出现不是偶然的，在它之前，已有许多希腊学者做了大贫 的前驱工作，从泰勒斯算起，已有二百多年的历史③.泰勒斯是希腊第 一个哲学学派一伊奥尼亚学派的创建者.伊奥尼亚地处小亚细亚西 岸，它比希腊其他地区更容易吸收巴比伦、埃及等古国积累下来的经验 和文化.在那里，氏族贵族政治为商人的统治所代替，商人具有强烈的 活动性和冒险性，这有利于思想自由而大胆地发展，城邦内部的斗争帮 助摆脱传统的信念，希腊没有特殊的祭司阶层，也没有必须遵守的教 条，因此有相当程度的思想自由.科学和哲学开始从宗教分离开来.泰 勒斯早牛是一个商人，通过商业旅游，很快就学握了占代流传下来的知 识，并加以发扬他企图摆脱宗教，从白然现象中去寻找真理.对-一切科 学问题不满足于知其然，咋且还要探索所以然的道理.他对数学的最大 贡献开始了命题的证明.所谓证明，就是借助·些公理或真实性业经确 3这些著作的内容.参见T.L.Heath,A history of Greek mathematics(1921)jI 章、 ⑨欧几里得以前希腊数学的各个学派，在下列书中做了较好的描述：Gog Johnston Allman(1824 ~1904),Greek geometry from Thales to Euclid(1889)
●欧几里得·儿何原本 定的命题来论证某一命题的真实性.这为建立几何的演绎体系迈出了 可贵的第一步，在数学史上是一个不寻常的飞跃 接着是毕达哥拉斯(Pythagoras,6 aYopas.公元前580？~500？)学 派，活动于意大利半岛南部·带.这个学派企图用数来解释一切，进一 步将数学从具体应用中抽象出来，建立白己的理论体系.他们发现了勾 股定理、不可通约量，并知道五种正多面体的仔在，这些后来都成为《原 本》的重要内容.这个学派的另特点是将算术和儿何紧密联系起来， 为《原本》算术的儿何化提供了榜样. 希、波战争以后，雅典成为人文荟萃的中心.雅典的智人(Sophist1, 译诡辩)学派提出儿何作图的大问题：【.一等分任意角；2.倍立方 求作一立方体，使其体积等于已知立方休的两倍；3.化圆为方 一求作一止方形，使其积等于已知圆.问题的难处，是作图只许 用直尺和圆规.希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的 限制下从理论上去解决这此问题.这是儿何学从实际应用向演绎体系 靠近的又-步.作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯(Ocnopedes 0xm⑥，约公元前465年)提出的，后来《原本》用公设的形式规定下 来0，于是成为希腊几何的金科玉律. 智人学派的安蒂半(Antiphon,'Ar中aw,约公元前430年)为了解 决化圆为力问题，提出颇有价值的“穷竭法”(method of exhaustion)心，孕 有着近代极限论的思想.后来经过欧多克索斯(Eudoxus,.Ecs,公元 ⑩《原本》卷【给山5个公设，头3条就是对作附的规定： (1)两点间可连一直线；(2)线段可总延长；(3)以任意点为心，任意彤离 可作·圆.根据这儿条公设，作图就只能用克尺圆规 D.E.Smith,History of mathematics,vol.I(1923)p.84
子言● 前408？~355？)的改进，使其严格化，成为《原本》中重要的证明方 法D 埃利亚（意大利半岛南端）学派的芝诺(Zno,Znxw,约公元前450 年)提出四个悖论⑧，迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题.无穷 历来是争论的焦点，在《原本》中，饮几里得实际上是回避了这一矛盾 例如《原本》第X卷20命题说：“素数的个数比任意给定的素数都多”， 而不用我们现在更简单的说法：素数无穷多. 原子论学派的德漠克利特(Democritus,△oro,约公元前410 年)用惊子法得到的结论：锥体体积是问底等高柱体的1/3，后来也是 《原本》中的重要命题. 柏拉图学派的思想对欧几甩得无疑：生过深刻的影响，欧儿里得 早年也许就是这个学派的成员.公心前387年左：，柏拉图在雅典创办 哲学学园(Academia)心，他非常重视数学，但片面强调在训练智力方面 的作用，而忽视其实用价值.他主张通过几何的学习培养逻辑思维能 力，因为几何能给入以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体 的图形之中.他在学园门前大：“不懂几何者免进”（纸s aYEWJL E toros toto poi rnu oteyr,Lct no one ignorant of geometry enter my door)的，是尽人皆知的半 柏拉图的门徒亚里士多德(Aristotel,'AAxoTOrEA?,公元前384~ 322)是形式逻辑的奠基者.他的逻辑思想为日后将儿何整理在严密的 ⑩详细分析见C.H.Fdwards,The historical de:velopment of the caleulus.另见lan Mueller,philosophy of mathemalis and deductive structure in Fuclid's lemens (19813D.230. ③参见架宗Li《世芥数学史简编(1980)pp.103~105. 在雅典近郊，原是运动场，后政为d林，因希英雄阿卡德莫斯(A mus)而得名，后世“学院"（英adey,俄aK3TeMHS等）一词由此而来. 0见注15]p.292
●做几华得·儿何原本 体系之中创造了必要的条件 这个学派另一个重要人物饮多克索斯创立了比例论.过去毕达哥 拉斯学派的比例论只适用于可通约量，欧多克索斯打破了这个限制，用 公理法建立理论，使得比例也适用于不可通约量.《原本》第V卷比例 论大部分采白欧多克索斯的工作. 公元前4世纪，希腊儿何学已经积累了大量的知识，逻辑学理论渐 臻成熟，由来已久的公理化思想更是大势所趋这时，形成一个严整的 儿何结构已是“山雨欲来风满楼”了， 建筑师没有创造木石砖瓦，但利用现有的材料来建成大厦也是一 项不平凡的创造.公理的选择，定义的给出，内容的编排，方法的运用特 别是命题的严格证明都需要有高度的智慧并婴付出巨大的劳动心，从 事这宏伟工作的并不是个别的学者，在欧几里得之前已有好儿个数学 家做过这种综合整理上作.其中有希波克拉底(Hippocrates,'p学， 约公元前460)，勒俄(Iew或Leom,公元前4世纪)，修迪奥斯(Theudius, 公元前4世纪)等®.但经得起历史考验的，只有欧几里得的《原本》 种，其余的同类著作均已散失，在漫长的岁月里，欧儿里得《原本》历尽 沧桑而没有被淘汰，表明它有顽强的生命力.它的公理化思想和方法 将继续照耀着数学前进的道路： {三)版本和流传 欧几里得本人的《原本》手稿早已失传，现在看到的各种版本都是 根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的.古希腊的海伦 I1eron,'a,约62)，波菲里奥斯(Porphyrius,1 oop u pios,232?~ @坎儿里得以前希腊几何学家的坪论建设参见And,Szlw.The beginnings of Greek mathematics(1978).W.R.Knorr.The anricnt tradition of gcomnetrie problems(1986). T.1.Heath,The thirteen books of Euclid's Elements vol.I(1908)p.116