求f(t)eo的傅氏变换： FTIf(t)e"]=[f(t)e-"e-dt =[f(t)e-dt 它是o+jo的函数，记o+j0=s为复频率 显然，可表示成F(o+jo)=∫f(t)eo+o'dt 记为 F(s)=[f(t)e-"dt FT[f(t)ea]=F(s)=f(t)e"dt
6 = − − − − f t e f t e e dt t t jt F T[ ( ) ] ( ) − − + = f t e dt ( j )t ( ) 它 是 + j的函数，记 + j = s为复频率 1、 求 f t e 的傅氏变换： t ( ) − 显然，可表示成 F( j ) f t e dt j t + = − + − ( ) ( ) = − − F s f t e dt s t 记为 ( ) ( ) = = − − − f t e F s f t e dt t s t [ ( ) ] ( ) ( ) F T
FTIf(t)e"]=F(s)=ff(t)edt 其反变换.为f0e”F(oe”dn e“不是o的函数，故-2元了rs)eota"dn F(s)=[f(t)e"dt 2 上两式称一对拉普拉斯变换式，正变换、反变换。 F(s)=L[f(t)],f(t)=L[F(s)] f(t)←→F(s) 拉氏变换扩大了信号的变换范围
7 − − = f t e F s e d t j t ( ) 2 1 ( ) − + = e f t F s e d t ( j )t ( ) 2 1 不 是 的函数，故 ( ) = − − F s f t e dt s t ( ) ( ) 上两式称一对拉普拉斯变换式，正变换、反变换。 其反变换，为 f t ( ) j F s e d s s t j j ( )= − + 1 2 F(s) [ f (t)], f (t) [F(s)] - 1 记 = L = L f (t) F(s) 拉氏变换扩大了信号的变换范围。 = = − − − f t e F s f t e dt t s t [ ( ) ] ( ) ( ) F T
拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别厅 FT: 时域函数f) 频域函数F(o) 变量t 变量0 (变量t、o都是实数) LT: 时域函数f) 复频域函数F(s) 变量t 变量s(复频率) t（实数) S=0+j0(复数) 即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系； 拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系
8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别： FT: 时域函数f(t) 频域函数 F( j) 变量 t 变量 LT: 时域函数f(t) 复频域函数 F(s) （变量 t、 都是实数） 变量 t 变量s(复频率） t（实数） s = + j (复数） 即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系； 拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系
2、单边拉氏变换 由于1.实际信号都是有始信号，即t<0时，f(t)=0 或者只需考虑t≥0的部分；2.我们观察问题总有一个 起点。此时 F(s)=f(t)e-"dt 积分下限用0目的是把=0时出现的冲激包含进去， 这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用 已知的初始状态f(0),但反变换的积分限并不改变。 以后重点讨论单边拉氏变换
2、 单边拉氏变换 9 由于1.实际信号都是有始信号，即 t 0时，f (t) = 0 或者只需考虑 的部分；2.我们观察问题总有一个 起点。此时 t 0 = − − 0 F(s) f (t)e dt s t 积分下限用 目的是把 时出现的冲激包含进去， 这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用 已知的初始状态 ，但反变换的积分限并不改变。 0 − t = 0 f (0 − ) 以后重点讨论单边拉氏变换
10 由于我们重点讨论单边拉氏变换，所以有f(t)和f(t)u(t) 的拉氏正变换F(s)是一样的。 反之，已知F(s)求拉氏反变换式，也无法求得到<0 时的f()表达式。 如1和u(t)的拉氏变换是一样的。 单边拉氏变换的优点： ()不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入 响应或全响应
10 由于我们重点讨论单边拉氏变换，所以有 和 的拉氏正变换 是一样的。 f (t) f (t)u(t) F(s) 反之，已知 求拉氏反变换式，也无法求得到 时的 表达式。 F(s) f (t) t 0 如 1 和 u(t) 的拉氏变换是一样的。 单边拉氏变换的优点： (1)不仅可以求解零状态响应，而且可以求解零输入 响应或全响应