《田间试验统计》 第九章 多因素试验资料的统计分析

rb>(r-x ∑T C=02+6532+ C=1.57 (96) SSA=处理组合SS,-SSA-SSB=2967-6.37-1.57=2173 (9.7) 以上SS=A因素平方和,SSE=B因素平方和,SSAB=AB互作平方和。 (3)方差分析表和F测验:将上述结果列于表918。这里对A和B两因素皆取固定模 型,区组则取随机模型,因此各项变异来源的M均可用对误差项MS的比进行F测验。取 显著水平a=0.05 表918水稻品种与密度二因素试验的方差分析 表918的F测验说明:区组间、密度间差异不显著,而品种间与品种×密度间的差异都 显著。由此说明,不同品种有不同的生产力,而不同品种又要求有相应不同的密度。所以需 进一步测验品种间与品种×密度间的差异显著性 (4)多重比较 ①品种间比较:此处以各品种的小区平均数(将表9.17上的各个TA值除以rb=9)进行 新复极差测验。假设为:Ho:41=442=4B对H4:4An、Ha2、43不相等。算得 .51 rbV3×3 =0.238(kg) 查附表8,p=2时,SSR0,16=300,SSR001J6=413:p=3时,SSR00516=3.15,SR0o,6=434 因此有 p=2,LSR005=0.238×3.00=0.71kg,LSRo1=0.238×413=0.98(kg) p=3,LSR05=0.238×3.15=0.75(kg),LSR001=0.238×434=1.03(kg) 其测验结果列于表919。表9.19说明:A3和A2无显著差异,但A3和A1的差异达α=0.01 水平,A2和A1的差异达a=005水平。因此,就品种的平均效应而言,A3和A都是比较好 的。但A2的生育期比A3短,对安排后作有利。故在季节矛盾不突出时,选用A3、A2皆可 否则,宜选用A2。 ②品种×密度的互作:由于品种×密度的互作是极显著的,说明各品种所需求的最适密 度可能不相同。因此,可分别计算各品种不同密度的简单效应,以分析互作的具体情形。将 表9.16各个TAB值除以r=3,即得各品种在不同密度下的小区平均产量(kg67m2)于表920 对表920各个差数作新复极差测验,有A1品种Hb:HB1=B2=HB3,A2品种Ho B1=B2=4B3和A3品种Ho:HB1=HB2=4B3算得

6 6.37 3 3 61 69 71 ( ) 2 2 2 2 2 − =  + + − =  =  − = C C rb T SS rb x x A A k (9.5) 1.57 3 3 70 65 66 ( ) 1 2 2 2 2 2 − =  + + − =  =  − = C C ra T SS ra x x b B B l (9.6) SS AB = 处理组合SSt − SS A − SSB = 29.67 − 6.37 −1.57 = 21.73 (9.7) 以上 SSA=A 因素平方和，SSB=B 因素平方和，SSAB=AB 互作平方和。 （３）方差分析表和 F 测验：将上述结果列于表 9.18。这里对 A 和 B 两因素皆取固定模 型，区组则取随机模型，因此各项变异来源的 MS 均可用对误差项 MS 的比进行 F 测验。取 显著水平  = 0.05。 表 9.18 水稻品种与密度二因素试验的方差分析 表 9.18 的 F 测验说明：区组间、密度间差异不显著，而品种间与品种×密度间的差异都 显著。由此说明，不同品种有不同的生产力，而不同品种又要求有相应不同的密度。所以需 进一步测验品种间与品种×密度间的差异显著性。 （４）多重比较 ①品种间比较：此处以各品种的小区平均数（将表 9.17 上的各个 TA 值除以 rb=9）进行 新复极差测验。假设为：H0：  A1 =  A2 =  A3 对 HA：  A1、 A2 、  A3 不相等。算得 0.238( ) 3 3 0.51 2 kg rb s SE e =  = = 查附表 8，p=2 时，SSR0.05,16=3.00，SSR0.01,16=4.13；p=3 时，SSR0.05,16=3.15，SSR0.01,16=4.34。 因此有 3, 0.238 3.15 0.75( ), 0.238 4.34 1.03( ) 2, 0.238 3.00 0.71( ), 0.238 4.13 0.98( ) 0.05 0.01 0.05 0.01 p LSR k g LSR k g p LSR k g LSR k g = =  = =  = = =  = =  = 其测验结果列于表 9.19。表 9.19 说明：A3 和A2 无显著差异，但A3 和A1 的差异达  =0.01 水平，A2 和 A1 的差异达  =0.05 水平。因此，就品种的平均效应而言，A3 和 A2 都是比较好 的。但 A2 的生育期比A3短，对安排后作有利。故在季节矛盾不突出时，选用 A3、A2 皆可； 否则，宜选用 A2。 ②品种×密度的互作：由于品种×密度的互作是极显著的，说明各品种所需求的最适密 度可能不相同。因此，可分别计算各品种不同密度的简单效应，以分析互作的具体情形。将 表 9.16 各个TAB值除以 r=3，即得各品种在不同密度下的小区平均产量(kg/6.7m2 )于表 9.20。 对表 9.20 各个差数作新复极差测验，有 A1 品种 H0： ,  B1 =  B2 =  B3 A2 品种 H0：  B1 =  B2 =  B3 和 A3 品种 H0：  B1 =  B2 =  B3 算得：

51 Se= =0.412(kg) 表920品种在不同密度下的小区平均产量及其差异显著性 并有: p=2,LSR0516=124(kg),LSRo11-1.70(kg) 1.30(kg),L 用上述尺度测验表920的各个差数,结果A1、A2品种都以B1为优,并与B2、B3有显著 差异:而A3品种则以B3为优,并与B2、B1有显著差异。这种不同情况就是品种和密度存在 互作的反应。所以A3品种应选B3密度,而A2、A品种则应选B1密度 要比较全部九个处理组合间差异的显著性,可以将表920中(1)、(2)、(3)按数量高 低合成一张表,然后计算p=2至9的LSR值,这里从略 2.二因素随机区组试验的线性模型和期望均方 因素随机区组试验每一观察值x的线性模型为 XJM=H+B,+Ak+B,+(AB)u+E (9.8) 上式中,μ为总体平均:β,为区组效应;Ek为随机误差,具有N(0,2);Ak、B 以及(AB)分别为A因素主效、β因素主效及AB交互作用效应 方差分析时三种模型的期望均方列于表922。 、三因素随机区组试验资料 1.三因素随机区组试验结果的分析 设有A、B、C三个试验因素,各具a、b、c个水平,作随机区组设计,设有r个区组 则该试验共有mabc个观察值,其各项变异来源及自由度的分解见表923。 由表923可见,三因素随机区组试验和单因素随机区组试验比较起来,仅在于前者的 处理间变异被再分解为7项,其中主效3项,一级互作3项,二级互作1项。各项都有其相 应的自由度和平方和,并且这些项的自由度之和与平方和之和一定等于处理项的自由度和平 方和,即: 处理组合DF1=DFA+DF+DFC+DFAB+DFAC+DFBC+ DFABC 处理组合SS=SS4+SSB+SSCc+SS4B+SSAC+SSBC+SSBC 99和910式中的下标为因素,如:DFA=A因素自由度,DFB=B因素自由度,…,SSBC=A BXC的平方和等。关于各项平方和的计算,将在例中说明。 [例94]

7 0.412( ) 3 0.51 2 kg r s SE e = = = 表 9.20 品种在不同密度下的小区平均产量及其差异显著性 并有： p=2，LSR0.05,16=1.24(kg)，LSR0.01,16=1.70(kg) p=3，LSR0.05,16=1.30(kg)，LSR0.01,16=1.79(kg) 用上述尺度测验表 9.20 的各个差数，结果A1、A2品种都以 B1 为优，并与B2、B3有显著 差异；而A3 品种则以B3为优，并与 B2、B1有显著差异。这种不同情况就是品种和密度存在 互作的反应。所以 A3品种应选 B3密度，而 A2、A1 品种则应选 B1密度。 要比较全部九个处理组合间差异的显著性，可以将表 9.20 中（1）、（2）、（3）按数量高 低合成一张表，然后计算 p=2 至 9 的 LSR 值，这里从略。 2．二因素随机区组试验的线性模型和期望均方 二因素随机区组试验每一观察值 jkl x 的线性模型为 jkl j Ak Bl AB kl jkl x =  +  + + + ( ) +  （9.8） 上式中，  为总体平均；  j 为区组效应； jkl  为随机误差，具有 N（0， 2  ）；Ak、Bl 以及(AB)kl分别为 A 因素主效、  因素主效及 AB 交互作用效应。 方差分析时三种模型的期望均方列于表 9.22。 二、三因素随机区组试验资料 1．三因素随机区组试验结果的分析 设有 A、B、C 三个试验因素，各具 a、b、c 个水平，作随机区组设计，设有 r 个区组， 则该试验共有 rabc 个观察值，其各项变异来源及自由度的分解见表 9.23。 由表 9.23 可见，三因素随机区组试验和单因素随机区组试验比较起来，仅在于前者的 处理间变异被再分解为 7项，其中主效 3 项，一级互作 3 项，二级互作 1 项。各项都有其相 应的自由度和平方和，并且这些项的自由度之和与平方和之和一定等于处理项的自由度和平 方和，即： 处理组合 DFt=DFA+DFB+DFC+DFAB+DFAC+DFBC+DFABC (9.9) 处理组合 SSt=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC (9.10) 9.9 和 9.10 式中的下标为因素，如：DFA=A 因素自由度，DFB=B 因素自由度，…，SSABC=A ×B×C 的平方和等。关于各项平方和的计算，将在例中说明。 [例 9.4]

图92棉花三因素随机区试验的田间排列和产量(kg/22m2) (1)结果整理:将上述结果按区组和处理组合作两向分组整理成表925,再按任两个因 素作两向分组整理成表926(1)、9.26(2)、9.26(3)。 表中T、TABC、TA、TB、Tc依次分别为各区组、处理组合、品种、播期、密度的总和数 T为全试验总和数。各个总和数包含的小区数目,必为总小区数目(abc)除以该总和数的下 标所具有的水平。例如:每个T包括abo=abc2×2×3=12个小区;每个TABC包括 rabclabc=r=3个小区,每个TA包括rbla=rbc=3×2×3=18个小区;……等等。记住这个规 则,有助于后面的分析计算 (2)自由度和平方和的分解:自由度的分解可根据表923直接填入表927。以下分解 平方和:求得 2522 矫正数C= rbc3×2×2×3 由表9.25可求得 总SS=∑x2-C=122+122+…+72-C=39600 组 处理组合SS1 = 2TABC=392+342+…+192-c=320 误差SS.=39600-1.16-382.00=12.84 由表9.26(1)可求得 ∑T 3×2×3 ∑T2 C=2500 rac 3×2×3 ∑T4B 1012+732+402+38C-25600-2500=1877 3×3 由表9.26(2)或可求得 C=0.50 3×2×2 rabC-ss-SS 672+602+…+392 -C-256.00-0.50=80.16 由表926(3)可求得

8 图 9.2 棉花三因素随机区试验的田间排列和产量（kg/22.2m2） （1）结果整理：将上述结果按区组和处理组合作两向分组整理成表 9.25，再按任两个因 素作两向分组整理成表 9.26(1)、9.26(2)、9.26(3)。 表中 Tr、TABC、TA、TB、TC依次分别为各区组、处理组合、品种、播期、密度的总和数。 T 为全试验总和数。各个总和数包含的小区数目，必为总小区数目（abc）除以该总和数的下 标所具有的水平。例如：每个 Tr 包括 abc/r=abc=2×2×3=12 个小区；每个 TABC 包括 rabc/abc=r=3 个小区，每个 TA包括 rabc/a=rbc=3×2×3=18 个小区；……等等。记住这个规 则，有助于后面的分析计算。 （2）自由度和平方和的分解：自由度的分解可根据表 9.23 直接填入表 9.27。以下分解 平方和：求得 1 764.00 3 2 2 3 252 2 2 =    = = rabc T 矫正数C 由表 9.25 可求得 396.00 1.16 382.00 12.84 382.00 3 39 34 19 1.16 2 2 3 83 82 87 x 12 12 7 396.00 2 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 2 = − − = − = + + + − =  = − =   + + − =  = =  − = + + + − = e ABC t r T SS C C r T SS C C abc T SS SS C C 误差 处理组合 区组 总   由表 9.26(1)可求得： 256.00 25.00 18.77 3 3 101 73 40 38 25.00 3 2 3 141 111 256.00 3 2 3 174 78 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − − − =  + + + = − − −  = − =   + − =  = − =   + − =  = C C SS SS rc T SS C C rac T SS C C rbc T SS A B AB AB B B A A 由表 9.26(2)或可求得 0.50 3 2 2 83 83 86 2 2 2 2 − =   + + − =  = C C rab T SS C C 256.00 0.50 80.16 3 2 67 60 39 2 2 2 2 − − − =  + + + = − − −  = C C SS SS rab T SS A C AC AC  由表 9.26(3)可求得

∑TBC B-SS 2+…+38c 25.00-0.50=1.50 3×2 由9.10式可求得 38200-256.00-2500-0.50-18.77-80.16-1.50=007 至此,各项变异来源的平方和皆已分解完成,将它们填入表927。 以上各项变异来源的平方和计算,都是应用前面己有的公式。实际上,在某些特定情况 下,计算效应和互作的平方和,可以使用一些简式。这些情况有: ①当某因素只有两个水平时,其效应平方和为 上式的T1和72分别为该因素的水平1总和数和水平2总和数,N为全试验观察值数目, 如本例,据9.11式可由表926(1)求得 (174-78)2 =256.00 3×2×2×3 14l-l1 3×2×2×3 ②当两个因素都只有两水平时,其互作平方和为 (两因素两向表的对角和之差)2 (9.12) 如本例,据9.12式由表926(1)可求得 (101+38)-(73+4 =18.77 3×2××2×3 ③当一因素为2水平,另一因素c≥3水平时,其互作平方和为 ∑d2(∑ (9.13) N/c 上式的d为具有2水平的因素的各个简单效应,即2个水平的差数。如本例,据9.13式可由 表926(2)和表926(3)分别算得

9 25.00 0.50 1.50 3 2 48 45 38 2 2 2 2 − − − =  + + + = − − −  = C C SS SS ra T SS B C BC BC  由 9.10 式可求得 SS ABC = 382.00 − 256.00 − 25.00 − 0.50 −18.77 − 80.16 −1.50 = 0.07 至此，各项变异来源的平方和皆已分解完成，将它们填入表 9.27。 以上各项变异来源的平方和计算，都是应用前面已有的公式。实际上，在某些特定情况 下，计算效应和互作的平方和，可以使用一些简式。这些情况有： ①当某因素只有两个水平时，其效应平方和为： N T T SS 2 1 2 ( − ) = （9.11） 上式的 T1 和T2 分别为该因素的水平 1 总和数和水平 2 总和数，N 为全试验观察值数目， 如本例，据 9.11 式可由表 9.26（1）求得 25.00 3 2 2 3 (141 111) 256.00 3 2 2 3 (174 78) 2 2 =    − = =    − = B A SS SS ②当两个因素都只有两水平时，其互作平方和为 N SS 2 (两因素两向表的对角和之差) = （9.12） 如本例，据 9.12 式由表 9.26(1)可求得 18.77 3 2 2 3 [(101 38) (73 40)]2 =    + − + SS AB = ③当一因素为 2 水平，另一因素 c≥3 水平时，其互作平方和为 N d N c d SS 2 2 ( ) /  =  = （9.13） 上式的 d 为具有 2 水平的因素的各个简单效应，即 2 个水平的差数。如本例，据9.13式可由 表 9.26(2)和表 9.26(3)分别算得

d rabc/c rabc =80.16 3×2×2 3×2×2×3 3×2×2 3×2×2×3 (3)方差分析和F测验:在此三个试验因素皆取固定模型,所以各项均方都可与误差 项均方相比而得出F值于表927。F测验表明,在该试验中显著的项目只有主效A(品种)、 B(播期)和一级互作A×B(品种×播期)、A×C(品种×密度),其余皆不显著。由于F 值的大小表示着效应或互作变异的大小,故在上述显著的效应和互作中,其对产量作用的大 小次序为A>A×C>B>AXB (4)效应和互作的显著性测验:本例以亩产量为单位进行测验。 ①品种效应:表9.261)的每个TA是bc=3×2×3=18个小区的产量,故 c=6667 18×2221.67 A品种亩产量=174×167=2906(kg) 因此 A2品种亩产量=78×167=130.3(kg) 相差 3(kg) 为测验差数1603kg亩的显著性,在此有H4-以4=0对H44-H4≠0。显著 水平取α=005。算得亩产量的标准误 58 539×295=159(kg) 所以应接受H4,即A1品种的产量显著高于A2a 实际上,当因素或互作的-=1时,t测验、q测验、SR测验的假设和结果都完全相同, 而且也和F测验的假设和结果完全相同。所以,以后遇到这种情况,都可以根据F测验结果 直接作出判断,而不需再作测验 ②播期效应:表9.26(1)的每个TB值是mc=3×2×3=18个小区的产量,故c167。因此 B谷雨播亩产量=141×1.67=2354(k B2立夏播亩产量=111×167=1854(kg) 相 差 由表9.27的F测验已知,此500kg亦为显著,故播期应选用谷雨播。 ③品种×播期的互作:表926(1)在B1下d4-42=61,在B2下d4-42=35,其差异即 为互作值

10 1.50 3 2 2 3 30 3 2 2 13 7 10 80.16 3 2 2 3 96 3 2 2 51 37 8 ( ) / 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 =    −   + + = =    −   + + =  −  = − − BC A A A A AC SS rabc d rabc c d SS （3）方差分析和 F 测验：在此三个试验因素皆取固定模型，所以各项均方都可与误差 项均方相比而得出 F 值于表 9.27。F 测验表明，在该试验中显著的项目只有主效A（品种）、 B（播期）和一级互作 A×B（品种×播期）、A×C（品种×密度），其余皆不显著。由于 F 值的大小表示着效应或互作变异的大小，故在上述显著的效应和互作中，其对产量作用的大 小次序为 A>A×C>B>A×B。 （4）效应和互作的显著性测验：本例以亩产量为单位进行测验。 ①品种效应：表 9.26(1)的每个 TA 是 rbc=3×2×3=18 个小区的产量，故 174 1.67 290.6( ) 1.67 18 22.2 666.7 1 A kg cf =  = =  = 品种亩产量 因此 160.3(kg) 78 167 130.3(kg) 2 相差 A 品种亩产量 =  = 为测验差数 160.3kg/亩的显著性，在此有 : 0 0 1 2 H  A −  A = 对 : 0 1 2 HA  A −  A  。显著 水平取  = 0.05 。算得亩产量的标准误 5.39 2.95 15.9(kg) 18 0.58 1.67 5.39(kg) 0.05,22 =  = =   = LSR SE 所以应接受 HA，即 A1 品种的产量显著高于 A2。 实际上，当因素或互作的 v=1 时，t 测验、q 测验、SSR 测验的假设和结果都完全相同， 而且也和 F 测验的假设和结果完全相同。所以，以后遇到这种情况，都可以根据 F 测验结果 直接作出判断，而不需再作测验。 ②播期效应：表 9.26(1)的每个TB 值是 rac=3×2×3=18 个小区的产量，故 cf=1.67。因此 有 50.0(kg) 111 1.67 185.4(kg) 141 1.67 235.4(kg) 2 1 相 差 立夏播亩产量 谷雨播亩产量 =  = =  = B B 由表 9.27 的 F 测验已知，此 50.0kg 亦为显著，故播期应选用谷雨播。 ③品种×播期的互作：表 9.26（1）在B1 下 61 1 2 d A −A = ，在 B2下 35 1 2 d A −A = ，其差异即 为互作值