基于随机数结构面分维数估算的改进投影覆盖法

工程科学学报，第40卷，第9期：1043-1049,2018年9月 Chinese Journal of Engineering,Vol.40,No.9:1043-1049,September 2018 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2018.09.004:http://journals.ustb.edu.cn 基于随机数结构面分维数估算的改进投影覆盖法 陈世江”，朱万成》，王创业”，郭国潇”，杨志东) 1)内蒙古科技大学矿业研究院，包头0140102)东北大学资源与土木工程学院，沈阳110819 ☒通信作者，E-mail:chenshijiang2003@163.com 摘要岩石结构面的定量化描述对于理解结构面的力学性质至关重要，投影覆盖分形描述法是结构面定量化表征的主要 方法之一·然而，投影覆盖法计算结构面分形维数时存在三角形单元划分的缺陷。从概率分析角度考虑，将随机数应用于三 角形单元的划分中，提出了基于随机数估算结构面分维数的投影覆盖法.应用改进投影覆盖法计算了红砂岩结构面的分维 数，获得了120个分维值，并将其作为一个分维数样本：然后分析了此样本的分布特征，并将样本均值作为结构面分维数的精 准值.实例分析证明，采用改进投影覆盖法所获分维数样本是来自正太分布总体：投影覆盖法计算的分维数几乎是改进投影 覆盖法所获结果的极限值：基于随机数进行三角形单元划分更符合实际结构面形貌特征，从而计算的分维数更精准 关键词岩石结构面：分形维数：投影覆盖法：随机分析 分类号TG142.71 Improved projective covering method for fractal dimensions of rock discontinuities based on stochastic analysis CHEN Shi-jiang,ZHU Wan-cheng,WANG Chuang-ye,GUO Guo-xiao,YANG Zhi-dong 1)Institute of Mining Research,Inner Mongolia University of Science and Technology,Baotou 014010,China 2)School of Resources and Civil Engineering,Northeastern University,Shenyang 110819,China Corresponding author,E-mail:chenshijiang 2003@163.com ABSTRACT The strength,deformability,and flow properties of rock discontinuities are strongly affected by the surface characteris- tics.Therefore,a quantitative description of the topography of the discontinuities is very important.The projective covering method PCM)is useful in calculating the fractal dimensions to measure the irregularity and roughness of fracture surfaces.However,there is a defect in the division of a grid cell into two triangles,which is,for every grid cell,only one dividing scheme is used to calculate the fractal dimensions with the projective covering method,despite the availability of two schemes.Moreover,it has been confirmed that when a small grid cell is divided by a different triangulation division scheme,differing fractal dimensions are calculated.To obtain a grid cell division method whose result is consistent with the surface morphology of the studied fracture surface,which comprises thou- sands of grid cells,improved projective covering method (IPCM)was propose based on stochastic analysis.In this method,a random number was generated by the random function and its parity was judged.If the number was odd,the small grid cell was divided using one scheme.Otherwise,it was divided by the other scheme.With this method,the fractal dimensions of the discontinuity of a red- sandstone was calculated and 120 fractal dimensions were obtained,which formed a sample space.Secondly,the distribution character- istics of the sample space was determined,and the average of the sample was regarded as the accurate fractal dimensions of the red- sandstone discontinuity.The analysis shows that the sample of fractal dimensions follows a normal distribution,the calculated results by the projective covering method are the maximum or minimum values of the fractal dimensions estimation,and because the result of the 收稿日期：2017-09-08 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51564038,51464036)：内蒙古自治区自然科学基金资助项目(2015MS0548):内蒙古科技大学优秀青 年基金资助项目(2016YQI04)

工程科学学报，第 40 卷，第 9 期: 1043--1049，2018 年 9 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 40，No． 9: 1043--1049，September 2018 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2018． 09． 004; http: / /journals． ustb． edu． cn 基于随机数结构面分维数估算的改进投影覆盖法 陈世江1) ，朱万成2) ，王创业1) ，郭国潇1) ，杨志东1) 1) 内蒙古科技大学矿业研究院，包头 014010 2) 东北大学资源与土木工程学院，沈阳 110819 通信作者，E-mail: chenshijiang_2003@ 163． com 摘 要 岩石结构面的定量化描述对于理解结构面的力学性质至关重要，投影覆盖分形描述法是结构面定量化表征的主要 方法之一． 然而，投影覆盖法计算结构面分形维数时存在三角形单元划分的缺陷． 从概率分析角度考虑，将随机数应用于三 角形单元的划分中，提出了基于随机数估算结构面分维数的投影覆盖法． 应用改进投影覆盖法计算了红砂岩结构面的分维 数，获得了 120 个分维值，并将其作为一个分维数样本; 然后分析了此样本的分布特征，并将样本均值作为结构面分维数的精 准值． 实例分析证明，采用改进投影覆盖法所获分维数样本是来自正太分布总体; 投影覆盖法计算的分维数几乎是改进投影 覆盖法所获结果的极限值; 基于随机数进行三角形单元划分更符合实际结构面形貌特征，从而计算的分维数更精准． 关键词 岩石结构面; 分形维数; 投影覆盖法; 随机分析 分类号 TG142. 71 收稿日期: 2017--09--08 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51564038，51464036) ; 内蒙古自治区自然科学基金资助项目( 2015MS0548) ; 内蒙古科技大学优秀青 年基金资助项目( 2016YQL04) Improved projective covering method for fractal dimensions of rock discontinuities based on stochastic analysis CHEN Shi-jiang1)  ，ZHU Wan-cheng2) ，WANG Chuang-ye1) ，GUO Guo-xiao1) ，YANG Zhi-dong1) 1) Institute of Mining Ｒesearch，Inner Mongolia University of Science and Technology，Baotou 014010，China 2) School of Ｒesources and Civil Engineering，Northeastern University，Shenyang 110819，China Corresponding author，E-mail: chenshijiang_2003@ 163． com ABSTＲACT The strength，deformability，and flow properties of rock discontinuities are strongly affected by the surface characteris￾tics． Therefore，a quantitative description of the topography of the discontinuities is very important． The projective covering method ( PCM) is useful in calculating the fractal dimensions to measure the irregularity and roughness of fracture surfaces． However，there is a defect in the division of a grid cell into two triangles，which is，for every grid cell，only one dividing scheme is used to calculate the fractal dimensions with the projective covering method，despite the availability of two schemes． Moreover，it has been confirmed that when a small grid cell is divided by a different triangulation division scheme，differing fractal dimensions are calculated． To obtain a grid cell division method whose result is consistent with the surface morphology of the studied fracture surface，which comprises thou￾sands of grid cells，improved projective covering method ( IPCM) was propose based on stochastic analysis． In this method，a random number was generated by the random function and its parity was judged． If the number was odd，the small grid cell was divided using one scheme． Otherwise，it was divided by the other scheme． With this method，the fractal dimensions of the discontinuity of a red￾sandstone was calculated and 120 fractal dimensions were obtained，which formed a sample space． Secondly，the distribution character￾istics of the sample space was determined，and the average of the sample was regarded as the accurate fractal dimensions of the red￾sandstone discontinuity． The analysis shows that the sample of fractal dimensions follows a normal distribution，the calculated results by the projective covering method are the maximum or minimum values of the fractal dimensions estimation，and because the result of the

·1044 工程科学学报，第40卷，第9期 dividing scheme using stochastic analysis method is more consistent with the surface morphology,the fractal dimensions obtained by im- proved projective covering method are more accurate. KEY WORDS rock discontinuities:fractal dimensions:projective covering method;stochastic analysis 岩石结构面的粗糙度对其力学性质有重要的影 响.诸如结构面的剪切强度、节理裂隙的渗流特 D=2-nA,6A]-2-B (2) In 6 性均与结构面的粗糙度有着密切的关系。因此，岩 式中，B为4r(⑧)/Am,]双对数曲线的斜率 石结构面粗糙度定量化表征是该领域研究的热点. 根据上述粗糙表面分形维数计算模型，采用改 分形维数是岩石结构面粗糙度定量化描述的主 进投影覆盖法计算岩石结构面分形维数的步骤 要方法之一在结构面的分维数估算中，最具代表 如下. 性的主要有三角形棱柱表面积法、投影覆盖 (1)获取岩石结构面三维形貌数据，该数据反 法6刀、立方体覆盖法圆、体积估算法回.近年来， 映的是结构面各点的高度信息，而某点高度是该点 立方体覆盖法得到了改进，发展了改进的立方体覆 与结构面内最低点的落差： 盖法@、差分立方体覆盖法和相对差分立方体覆 (2)将结构面划分成8-1×8-1(8=1/2,1/4… 盖法 1/2”)个小网格： 这些方法中，投影覆盖法是较早提出的估算结 (3)采用随机函数生成随机数，并判断随机数 构面分形维数方法，是三角形棱柱表面积法的改进， 的奇偶性，若为奇数，小网格则采用图1(a)的三角 避免了因棱柱中心点高度与实际位置的不吻合导致 形连接方案进行面积计算，否则，采用图1(b),每个 面积估算的不准确：但此方法也存在面积估算的问 三角形的面积按照海伦公式进行计算： 题.李业学等、Kwasny分别针对这一问题，深 a ) 入研究了投影覆盖法中小网格面积的精准计算方 法.上述两位学者改进结果，实质是任意边长三角 形面积的海伦公式计算法 然而，到目前为止，投影覆盖法仍存在不足.即 正方形小网格中三角形划分方案不同，分维数计算 结果也不相同，这一点已被证实.为此，本文将 图1小网格中三角形划分方案图.(a)方案1：(b)方案2 随机数应用于投影覆盖法正方形小网格三角形的划 Fig.I Triangulation of an elementary surface:(a)scheme 1:(b) 分中，采用一种随机连接方法对每一个小网格表面 scheme 2 面积进行计算，从而使整个结构面中成千上万个小 网格划分结果与实际结构面形貌更加吻合.采用随 (4)用两个三角形的面积表示小网格的面积 机连接方法获取分形维数，每次计算，其结果都会有 A,(⑧)，在8-1×8-1尺度下，进一步计算结构面的总 差别.因此，为了获取准确的分维值，首先经多次计 面积 算获得分维数样本空间：然后采用统计分析方法，用 N(8) Ar(8)= (3) 样本均值表示所研究结构面的最终分维精准值.此 分维计算方法称为改进投影覆盖法(improved pro- 式中，N(⑥)是在尺度8下，小网格的总个数 jective covering method),简称PCM. (5)计算点对{nAr(⑧)/Am],ln}值； (6)重复(2)~(5)步骤，可计算出不同尺度下 1PCM方法计算步骤及程序 点对{nA,（⑧)/Am],ln}的值，根据数据点的分 1.1IPCM方法计算步骤 布，划分尺度空间，在不同尺度空间中用最小二乘法 根据分形理论，粗糙表面面积A,(δ)与测量尺 对{nA,(⑧)Am],lnδ}点对进行拟合，即可获得 度6存在如下关系6-)： 斜率B,则结构面分形维数可按公式(2)进行计算； Ar(6)=AT82-D (1) (7)重复上述(2)~(6)步，进行多次计算，形成 式中，Am表示粗糙表面的直观面积，D为粗糙表面 一个样本空间，依据概率与数理统计中分布拟合检 的分形维数，D∈2,3). 验的方法对分维数样本进行检验：当检验结果认为 对式(1)两边取对数得 样本数据是来自某一分布的总体时，将此样本均值

工程科学学报，第 40 卷，第 9 期 dividing scheme using stochastic analysis method is more consistent with the surface morphology，the fractal dimensions obtained by im￾proved projective covering method are more accurate． KEY WOＲDS rock discontinuities; fractal dimensions; projective covering method; stochastic analysis 岩石结构面的粗糙度对其力学性质有重要的影 响［1--4］． 诸如结构面的剪切强度、节理裂隙的渗流特 性均与结构面的粗糙度有着密切的关系． 因此，岩 石结构面粗糙度定量化表征是该领域研究的热点． 分形维数是岩石结构面粗糙度定量化描述的主 要方法之一． 在结构面的分维数估算中，最具代表 性的主 要 有 三 角 形 棱 柱 表 面 积 法［5］、投 影 覆 盖 法［6--7］、立方体覆盖法［8］、体积估算法［9］． 近年来， 立方体覆盖法得到了改进，发展了改进的立方体覆 盖法［10］、差分立方体覆盖法和相对差分立方体覆 盖法［11］． 这些方法中，投影覆盖法是较早提出的估算结 构面分形维数方法，是三角形棱柱表面积法的改进， 避免了因棱柱中心点高度与实际位置的不吻合导致 面积估算的不准确; 但此方法也存在面积估算的问 题． 李业学等［12］、Kwa ＇ sny ［13］分别针对这一问题，深 入研究了投影覆盖法中小网格面积的精准计算方 法． 上述两位学者改进结果，实质是任意边长三角 形面积的海伦公式计算法． 然而，到目前为止，投影覆盖法仍存在不足． 即 正方形小网格中三角形划分方案不同，分维数计算 结果也不相同，这一点已被证实［14］． 为此，本文将 随机数应用于投影覆盖法正方形小网格三角形的划 分中，采用一种随机连接方法对每一个小网格表面 面积进行计算，从而使整个结构面中成千上万个小 网格划分结果与实际结构面形貌更加吻合． 采用随 机连接方法获取分形维数，每次计算，其结果都会有 差别． 因此，为了获取准确的分维值，首先经多次计 算获得分维数样本空间; 然后采用统计分析方法，用 样本均值表示所研究结构面的最终分维精准值． 此 分维计算方法称为改进投影覆盖法( improved pro￾jective covering method) ，简称 IPCM． 1 IPCM 方法计算步骤及程序 1. 1 IPCM 方法计算步骤 根据分形理论，粗糙表面面积 AT ( δ) 与测量尺 度 δ 存在如下关系［6--7］: AT ( δ) = AT0 δ 2 － D ( 1) 式中，AT0表示粗糙表面的直观面积，D 为粗糙表面 的分形维数，D∈［2，3) ． 对式( 1) 两边取对数得 D = 2 － ln ［AT ( δ) /AT0］ ln δ = 2 － β ( 2) 式中，β 为［AT ( δ) /AT0，δ］双对数曲线的斜率． 根据上述粗糙表面分形维数计算模型，采用改 进投影覆盖法计算岩石结构面分形维数的步骤 如下． ( 1) 获取岩石结构面三维形貌数据，该数据反 映的是结构面各点的高度信息，而某点高度是该点 与结构面内最低点的落差; ( 2) 将结构面划分成 δ － 1 × δ － 1 ( δ = 1 /2，1 /4… 1 /2n ) 个小网格; ( 3) 采用随机函数生成随机数，并判断随机数 的奇偶性，若为奇数，小网格则采用图 1( a) 的三角 形连接方案进行面积计算，否则，采用图 1( b) ，每个 三角形的面积按照海伦公式进行计算; 图 1 小网格中三角形划分方案图． ( a) 方案 1; ( b) 方案 2 Fig． 1 Triangulation of an elementary surface: ( a) scheme 1; ( b) scheme 2 ( 4) 用两个三角形的面积表示小网格的面积 Ai ( δ) ，在 δ － 1 × δ － 1尺度下，进一步计算结构面的总 面积 AT ( δ) = ∑ N( δ) i = 1 Ai ( δ) ( 3) 式中，N( δ) 是在尺度 δ 下，小网格的总个数． ( 5) 计算点对{ ln ［AT ( δ) /AT0］，ln δ} 值; ( 6) 重复( 2) ～ ( 5) 步骤，可计算出不同尺度下 点对{ ln ［AT ( δ) /AT0］，ln δ} 的值，根据数据点的分 布，划分尺度空间，在不同尺度空间中用最小二乘法 对{ ln ［AT ( δ) /AT0］，ln δ} 点对进行拟合，即可获得 斜率 β，则结构面分形维数可按公式( 2) 进行计算; ( 7) 重复上述( 2) ～ ( 6) 步，进行多次计算，形成 一个样本空间，依据概率与数理统计中分布拟合检 验的方法对分维数样本进行检验; 当检验结果认为 样本数据是来自某一分布的总体时，将此样本均值 · 4401 ·

陈世江等：基于随机数结构面分维数估算的改进投影覆盖法 ·1045· 作为所研究结构面分形维数的精准计算值。否则， 恢复为其周围表面颜色.然后将其转换为灰度图 将增加样本数，重新进行样本分布拟合检验. (灰度值在0~255)，用灰度值表示红砂岩断面的起 1.2PCM方法计算程序 伏高度.经实际量测，该结构面最高点与最低点落 PCM方法计算程序如图2所示. 差为42mm,而其图像最大灰度值与最小灰度值的 获取结构面形貌数据 差为198.因此，图像灰度值缩小原来的42/198后 作为结构面粗糙信息，用于后续的分形计算. 按尺度δ划分网格 生成随机数 奇 奇，偶？ 门偶 按图1(a划分小网 按图1)划分小网 格并计算其面积 格并计算其面积 Y 图3天然红砂岩结构面 计算结构面总面积4，ò 量 Fig.3 Discontinuity of red-sandstone 记录点对lnA,oVA..Ino) 2.1结构面分形维数分析计算 V 2.1.1样本数据获取 否 达到预设点对个数 按照图2计算程序，计算图3结构面的分形维 数D,共计算了120次，获得了此结构面的120个随 是 机分维值，见表1.在改变网格尺度拟合分维的过程 拟合分维数D,记录个数n 亚 中发现，不同尺度范围拟合的分维结果是不同的，这 n<N 一点与Xie等6的结果是一致的.实际上，此红砂 样本容量N 岩断面具有多重分形特征.因此，根据拟合点分布 ↓n=W 形成维数样本空间 增加 情况，将尺度空间划分为两段，即大尺度空间(32~ 512mm)和小尺度空间(2~32mm). 维数样本分布拟合检验 本容量 2.1.2分形维数分布拟合检验 依据概率与数理统计中分布拟合检验的方 否 服从某一分布 法叨对所研究结构面分形维数样本进行检验.由 是 表1数据知，大尺度空间下，分形维数最小与最大值 用此样本均值作为计算结果 分别为2.008214、2.008223；现取区间2.0082135， 2.0082235],并将此区间等分为10个小区间，组距 图2PCM方法计算程序 Fig.2 Design procedure of IPCM method △为0.000001.小尺度空间下，分形维数最小与最 大值分别为2.463480、2.463763；现取区间 2实例计算及数据分析 2.4634775,2.4637655],并将此区间等分为9个小 区间，组距A为0.000032.分形维数组限一频数、频 采用PCM法，按照上述步骤计算了一个天然 率计算结果，见表2 红砂岩结构面的分形维数.该结构面规格长×宽为 依据表2数据，自左向右依次在各个小区间上 1024mm×1024mm,如图3所示.按照文献方 法的，获取此结构面三维形貌信息数据.首先用数 作出以听/△为高的小矩形，f为频数：m为样本容 码相机(Canon EOS80D)正对着红砂岩断面获取其 量，这里n为120.这样，可分别得到大小尺度空间 图像信息，图像大小为1024像素×1024像素，此时 下分形维数样本数据分布直方图，见图4. 1个像素为1mm.总体来看，浅色为凹陷部分（除擦 从图4分形维数样本分布直方图看，中间高、两 痕外)，深色为凸起部分.为了更好地用图像颜色表 端低，比较对称；从形态上看，该样本是来自正态分 示岩石断面的粗糙信息，采用图像处理技术将擦痕 布总体.现作X拟合检验，检验统计量X为

陈世江等: 基于随机数结构面分维数估算的改进投影覆盖法 作为所研究结构面分形维数的精准计算值． 否则， 将增加样本数，重新进行样本分布拟合检验． 1. 2 IPCM 方法计算程序 IPCM 方法计算程序如图 2 所示． 图 2 IPCM 方法计算程序 Fig． 2 Design procedure of IPCM method 2 实例计算及数据分析 采用 IPCM 法，按照上述步骤计算了一个天然 红砂岩结构面的分形维数． 该结构面规格长 × 宽为 1024 mm × 1024 mm，如 图 3 所 示． 按 照 文 献 方 法［15］，获取此结构面三维形貌信息数据． 首先用数 码相机( Canon EOS 80D) 正对着红砂岩断面获取其 图像信息，图像大小为 1024 像素 × 1024 像素，此时 1 个像素为 1 mm． 总体来看，浅色为凹陷部分( 除擦 痕外) ，深色为凸起部分． 为了更好地用图像颜色表 示岩石断面的粗糙信息，采用图像处理技术将擦痕 恢复为其周围表面颜色． 然后将其转换为灰度图 ( 灰度值在 0 ～ 255) ，用灰度值表示红砂岩断面的起 伏高度． 经实际量测，该结构面最高点与最低点落 差为 42 mm，而其图像最大灰度值与最小灰度值的 差为 198． 因此，图像灰度值缩小原来的 42 /198 后 作为结构面粗糙信息，用于后续的分形计算． 图 3 天然红砂岩结构面 Fig． 3 Discontinuity of red-sandstone 2. 1 结构面分形维数分析计算 2. 1. 1 样本数据获取 按照图 2 计算程序，计算图 3 结构面的分形维 数 D，共计算了 120 次，获得了此结构面的 120 个随 机分维值，见表 1． 在改变网格尺度拟合分维的过程 中发现，不同尺度范围拟合的分维结果是不同的，这 一点与 Xie 等［16］的结果是一致的． 实际上，此红砂 岩断面具有多重分形特征． 因此，根据拟合点分布 情况，将尺度空间划分为两段，即大尺度空间( 32 ～ 512 mm) 和小尺度空间( 2 ～ 32 mm) ． 2. 1. 2 分形维数分布拟合检验 依据概率与数 理 统 计 中 分 布 拟 合 检 验 的 方 法［17］对所研究结构面分形维数样本进行检验． 由 表 1 数据知，大尺度空间下，分形维数最小与最大值 分别为 2. 008214、2. 008223; 现取区间［2. 0082135， 2. 0082235］，并将此区间等分为 10 个小区间，组距 Δ 为 0. 000001． 小尺度空间下，分形维数最小与最 大 值 分 别 为 2. 463480、2. 463763; 现 取 区 间 ［2. 4634775，2. 4637655］，并将此区间等分为 9 个小 区间，组距 Δ 为 0. 000032． 分形维数组限--频数、频 率计算结果，见表 2． 依据表 2 数据，自左向右依次在各个小区间上 作出以 fi n Δ 为高的小矩形，fi 为频数，n 为样本容 量，这里 n 为 120． 这样，可分别得到大小尺度空间 下分形维数样本数据分布直方图，见图 4． 从图 4 分形维数样本分布直方图看，中间高、两 端低，比较对称; 从形态上看，该样本是来自正态分 布总体． 现作 χ 2 拟合检验，检验统计量 χ 2 为 · 5401 ·

·1046· 工程科学学报，第40卷，第9期 表1红砂岩结构面不同尺度空间的120个分维数 Table 1 Fractal dimensions (120)on different scales of discontinuity of red-sandstone 大尺度空间维数 小尺度空间维数 2.0082182.0082192.0082182.0082192.0082182.008219 2.4636822.4635552.4636982.4635902.4636182.463637 2.0082202.0082172.0082192.0082202.0082182.008217 2.4635782.4635972.4636172.463579 2.4637632.463624 2.0082222.0082152.0082152.0082192.0082152.008216 2.4635972.4635862.4636052.4635942.4636362.463683 2.0082182.008219 2008222 2.0082192.0082212.008221 2.4636762.4635832.463560 2463495 2.4635622.463546 2.0082192.008220 2.008218 2.0082192.0082192.008217 2.46356 2.4636312.463561 2.463705 2.4635702.463668 2.0082192.008223 2.0082192.0082172.0082202.008219 2.4636372.4636482.463612 2.4635802.4636122.463569 2.0082202.008217 2.008219.2.008215 2.0082202.008220 2.4636122.4635442.463640 463690 2.463589 2.463552 2.0082192.008219 2.008217 2.0082182.0082212.008219 2.4636212.4635912.463560 2.463646 2.4636212.463639 2.0082202.008217 2.0082192.008218 2.0082192.008219 2.4636422.463647 2.463658 2. 46361 4 2.463607 2.463579 2.0082182.008216 2.0082212.0082172.0082202.008221 2.4635572.4635512.463690 2.463559 2.463549 2.463552 2.0082142.008220 2.008218 2.008218 2.008221 2.008216 2.463695 2.463728 2.463559 2. 463627 2.463645 2.463665 2.0082152.008219 2.0082182.0082192.0082212.008219 2.4635912.4636122.463600 2.4635722.463615 2.463604 2.0082182.008218 2.0082192.008215 2.008222 2.008218 2.4635402.4636642.463561 2.463700 2.463635 2.463595 2.0082182.008216 2.0082212.0082172.0082182.008216 2.4635202.4636192.463570 2.4637202.463621 2.463614 2.0082182.008219 2.008218 2.008220 2.008217 2.008218 2.4636082.463653 2.463480 2.463528 2.463499 2.463720 2.0082172.008220 2.0082182.0082182.0082142.008217 2.4635682.4635242.463526 2.4636382.463685 2.463561 2.0082162.008222 2008218 2.0082162.0082192.008217 2.4635932.4637222.463583 2.463585 2.463667 2.463607 2.0082192.0082182.0082182.008219 2.0082152.008218 2.4636122.4635862.463608 2.4636122.463592 2.463578 2.0082182.0082192.0082172.008219 2.008218 2.008216 2.4635392.4635612.463639 2.463675 2.4637012.463514 2.0082142.0082182.008216 2.0082192.0082172.008215 2.4635952.4635852.463546 2.463675 2.463597 2.463600 表2分形维数落在某一区间的频数、频率统计 Table 2 Statistics of frequency on fractal dimensions 区间 大尺度空间 小尺度空间 编码，i 组限 频数f 频率 组限 频数f 频率 1 2.0082135~2.0082145 0.025 2.4634775~2.4635095 3 0.025 2 2.0082145~2.0082155 0.067 2.4635095-2.4635415 0.058 2.0082155~2.0082165 9 0.075 2.4635415~2.4635735 24 0.200 2.0082165~2.0082175 15 0.125 2.4635735-2.4636055 27 0.225 5 2.0082175~2.0082185 29 0.242 2.4636055~2.4636375 26 0.217 6 2.0082185-2.0082195 31 0.258 2.4636375-2.4636695 15 0.125 > 2.0082195-2.0082205 12 0.100 2.4636695-2.4637015 12 0.100 e 2.0082205~2.0082215 0.067 2.4637015-2.4637335 5 0.042 9 2.0082215-2.0082225 4 0.033 2.4637335~2.4637655 1 0.008 10 2.00822252.0082235 0.008 (4) f(D)=1e器，-0<D<+ (5) n吧： 2TO 式中，k为样本总体两两不相交的子集的个数：P为 式中，以、σ分别为总体的均值和方差，在此假设检验 第i个子集概率的估计值. 中均未知.由最大似然估计法得大尺度空间下、σ 假设H。:总体服从正太分布，则D的概率密 的估计值分别为2=2.0082183，G=0.0000018:小 度为 尺度空间下u、σ的估计值分别为=2.4636080

工程科学学报，第 40 卷，第 9 期 表 1 红砂岩结构面不同尺度空间的 120 个分维数 Table 1 Fractal dimensions ( 120) on different scales of discontinuity of red-sandstone 大尺度空间维数 小尺度空间维数 2. 008218 2. 008219 2. 008218 2. 008219 2. 008218 2. 008219 2. 463682 2. 463555 2. 463698 2. 463590 2. 463618 2. 463637 2. 008220 2. 008217 2. 008219 2. 008220 2. 008218 2. 008217 2. 463578 2. 463597 2. 463617 2. 463579 2. 463763 2. 463624 2. 008222 2. 008215 2. 008215 2. 008219 2. 008215 2. 008216 2. 463597 2. 463586 2. 463605 2. 463594 2. 463636 2. 463683 2. 008218 2. 008219 2. 008222 2. 008219 2. 008221 2. 008221 2. 463676 2. 463583 2. 463560 2. 463495 2. 463562 2. 463546 2. 008219 2. 008220 2. 008218 2. 008219 2. 008219 2. 008217 2. 46356 2. 463631 2. 463561 2. 463705 2. 463570 2. 463668 2. 008219 2. 008223 2. 008219 2. 008217 2. 008220 2. 008219 2. 463637 2. 463648 2. 463612 2. 463580 2. 463612 2. 463569 2. 008220 2. 008217 2. 008219 2. 008215 2. 008220 2. 008220 2. 463612 2. 463544 2. 463640 2. 463690 2. 463589 2. 463552 2. 008219 2. 008219 2. 008217 2. 008218 2. 008221 2. 008219 2. 463621 2. 463591 2. 463560 2. 463646 2. 463621 2. 463639 2. 008220 2. 008217 2. 008219 2. 008218 2. 008219 2. 008219 2. 463642 2. 463647 2. 463658 2. 463614 2. 463607 2. 463579 2. 008218 2. 008216 2. 008221 2. 008217 2. 008220 2. 008221 2. 463557 2. 463551 2. 463690 2. 463559 2. 463549 2. 463552 2. 008214 2. 008220 2. 008218 2. 008218 2. 008221 2. 008216 2. 463695 2. 463728 2. 463559 2. 463627 2. 463645 2. 463665 2. 008215 2. 008219 2. 008218 2. 008219 2. 008221 2. 008219 2. 463591 2. 463612 2. 463600 2. 463572 2. 463615 2. 463604 2. 008218 2. 008218 2. 008219 2. 008215 2. 008222 2. 008218 2. 463540 2. 463664 2. 463561 2. 463700 2. 463635 2. 463595 2. 008218 2. 008216 2. 008221 2. 008217 2. 008218 2. 008216 2. 463520 2. 463619 2. 463570 2. 463720 2. 463621 2. 463614 2. 008218 2. 008219 2. 008218 2. 008220 2. 008217 2. 008218 2. 463608 2. 463653 2. 463480 2. 463528 2. 463499 2. 463720 2. 008217 2. 008220 2. 008218 2. 008218 2. 008214 2. 008217 2. 463568 2. 463524 2. 463526 2. 463638 2. 463685 2. 463561 2. 008216 2. 008222 2. 008218 2. 008216 2. 008219 2. 008217 2. 463593 2. 463722 2. 463583 2. 463585 2. 463667 2. 463607 2. 008219 2. 008218 2. 008218 2. 008219 2. 008215 2. 008218 2. 463612 2. 463586 2. 463608 2. 463612 2. 463592 2. 463578 2. 008218 2. 008219 2. 008217 2. 008219 2. 008218 2. 008216 2. 463539 2. 463561 2. 463639 2. 463675 2. 463701 2. 463514 2. 008214 2. 008218 2. 008216 2. 008219 2. 008217 2. 008215 2. 463595 2. 463585 2. 463546 2. 463675 2. 463597 2. 463600 表 2 分形维数落在某一区间的频数、频率统计 Table 2 Statistics of frequency on fractal dimensions 区间 编码，i 大尺度空间 小尺度空间 组限 频数，fi 频率 组限 频数，fi 频率 1 2. 0082135 ～ 2. 0082145 3 0. 025 2. 4634775 ～ 2. 4635095 3 0. 025 2 2. 0082145 ～ 2. 0082155 8 0. 067 2. 4635095 ～ 2. 4635415 7 0. 058 3 2. 0082155 ～ 2. 0082165 9 0. 075 2. 4635415 ～ 2. 4635735 24 0. 200 4 2. 0082165 ～ 2. 0082175 15 0. 125 2. 4635735 ～ 2. 4636055 27 0. 225 5 2. 0082175 ～ 2. 0082185 29 0. 242 2. 4636055 ～ 2. 4636375 26 0. 217 6 2. 0082185 ～ 2. 0082195 31 0. 258 2. 4636375 ～ 2. 4636695 15 0. 125 7 2. 0082195 ～ 2. 0082205 12 0. 100 2. 4636695 ～ 2. 4637015 12 0. 100 8 2. 0082205 ～ 2. 0082215 8 0. 067 2. 4637015 ～ 2. 4637335 5 0. 042 9 2. 0082215 ～ 2. 0082225 4 0. 033 2. 4637335 ～ 2. 4637655 1 0. 008 10 2. 0082225 ～ 2. 0082235 1 0. 008 χ 2 = ∑ k i = 1 f 2 i np^ i － n ( 4) 式中，k 为样本总体两两不相交的子集的个数; p^ 为 第 i 个子集概率的估计值． 假设 H0 : 总体服从正太分布，则 D 的概率密 度为 f( D) = 1 槡2πσ e － D － μ 2σ2 ，－ ∞ ＜ D ＜ + ∞ ( 5) 式中，μ、σ 分别为总体的均值和方差，在此假设检验 中均未知． 由最大似然估计法得大尺度空间下 μ、σ 的估计值分别为 μ^ = 2. 0082183，σ^ = 0. 0000018; 小 尺度空间下 μ、σ 的估计值分别为 μ^ = 2. 4636080， · 6401 ·

陈世江等：基于随机数结构面分维数估算的改进投影覆盖法 ·1047· 300000[a 8000Td 7000 250000 6000 200000 5000 FE150000A ·4000 100000 3000 2000 50000 1000 0 0 2 345678910 3 4567 分形维数区间编码，i 分形维数区间编码，i 图4红砂岩结构面分维数分布直方图.()大尺度空间：(b)小尺度空间 Fig.4 Histograph of 120 samples of fractal dimensions:(a)large-scale space:(b)small-scale space G=0.0000546.若H。为真，D的概率密度的估计分 A:,如表3所示.按照式(6)和式(7)，并查标准正态 别为 分布函数表即可得概率P(A:)的估计，即P:=P D=2.0082183 (4),计算结果见表3.表3中参数p:应都不小于 f(D)=- P2x0.00000182, 2m×0.0000018 5;若小于，则适当地进行合并子集A,.根据表3 -e<D<+0 (6) 计算结果，大尺度空间下x=127.8-120=7.8, D-2.4636080 f(D)= 1 eˉ2x0.00005462 xs(k-r-1)=X6s(4)=9.488>7.8:小尺度空间 /2m×0.0000546 下x2=124.24-120=4.24,xas(k-r-1)=Xas -0<D<+e (7) (4)=9.488>4.24.故可以认为，在水平0.05下接 在大小尺度空间下，将在H。下D可能取值区间 受H。,即可认为大小尺度空间下分形维数数据均来 (-0,∞)分别分为10和9个小区间，并取子集 自正太分布总体 表3计算实例的X2检验计算表 Table 3 Statistics of parameters ofy distribution test about the studied surface 区间 大尺度空间 小尺度空间 编码，i A 叩 f片/n呼 A n呼/np 1 -<D≤2.0082145 30.01742.09 -<D≤2.4635095 30.03594.31 16.97 7.49 2 2.0082145<D≤2.008215580.04205.04 2.4635095<D≤2.463541570.07539.04 2.0082155<D≤2.008216590.099311.92 6.80 2.4635415<D≤2.4635735240.153118.37 31.36 4 2.0082165<D≤2.0082175150.1713 20.56 10.94 2.4635735<D≤2.4636055270.215825.90 28.15 5 2.0082175<D≤2.0082185290.213825.66 32.77 2.4636055<D≤2.4636375260.225327.04 25.00 6 2.0082185<D≤2.0082195310.204824.5839.10 2.4636375<D≤2.4636695150.165419.85 11.34 7 2.0082195<D≤2.0082205120.140216.82 8.56 2.4636695<D≤2.4637015120.085610.27 14.02 8 2.0082205<D≤2.008221580.085010.20 2.4637015<D≤2.463733550.03293.95 9 2.0082215<D≤2.008222540.0163 1.96 12.66 2.4637335<D<x 10.0107 1.28 6.88 10 2.0082225<D<0 10.00991.19 ∑=127.8 ∑=124.24 2.1.3研究结构面分形维数精准值的确定 通过上述分析，不论是大尺度空间还是小尺 3PCM与PCM计算结果对比分析及分析 度空间，红砂岩结构面分形维数抽样结果服从正 PCM和PCM计算程序均在VC++开发平台 态分布：现将此样本均值作为红砂岩结构面分形 上通过相关程序代码得以实现.为了进一步分析直 维数的精准计算值.即红砂岩结构面大、小尺度空 接采用投影覆盖法计算结构面分维数的不足，分别 间下的分维数精准计算值分别为2.0082183和 计算了图1两种单一连接方式下红砂岩结构面的分 2.4636080. 形维数，计算结果见图5

陈世江等: 基于随机数结构面分维数估算的改进投影覆盖法 图 4 红砂岩结构面分维数分布直方图 . ( a) 大尺度空间; ( b) 小尺度空间 Fig． 4 Histograph of 120 samples of fractal dimensions: ( a) large-scale space; ( b) small-scale space σ^ = 0. 0000546． 若 H0为真，D 的概率密度的估计分 别为 ^ f( D) = 1 槡2π × 0. 0000018e － D － 2. 0082183 2 × 0. 00000182， － ∞ ＜ D ＜ + ∞ ( 6) ^ f( D) = 1 槡2π × 0. 0000546e － D － 2. 4636080 2 × 0. 00005462， － ∞ ＜ D ＜ + ∞ ( 7) 在大小尺度空间下，将在 H0下 D 可能取值区间 ( － ∞ ，∞ ) 分别分为 10 和 9 个小区间，并取子集 Ai，如表 3 所示． 按照式( 6) 和式( 7) ，并查标准正态 分布函数表即 可 得 概 率 P ( Ai ) 的估 计，即 p^ i = ^ P ( Ai ) ，计算结果见表 3． 表 3 中参数 np^ i 应都不小于 5; 若小于，则适当地进行合并子集 Ai ［17］． 根据表 3 计算结果，大尺度空间下 χ 2 = 127. 8 － 120 = 7. 8， χ 2 0. 05 ( k － r － 1) = χ 2 0. 05 ( 4) = 9. 488 ＞ 7. 8; 小尺度空间 下，χ 2 = 124. 24 － 120 = 4. 24，χ 2 0. 05 ( k － r － 1) = χ 2 0. 05 ( 4) = 9. 488 ＞ 4. 24． 故可以认为，在水平 0. 05 下接 受 H0，即可认为大小尺度空间下分形维数数据均来 自正太分布总体． 表 3 计算实例的 χ 2 检验计算表 Table 3 Statistics of parameters of χ 2 distribution test about the studied surface 区间 编码，i 大尺度空间 小尺度空间 Ai fi p^ i np^ i f 2 i / np^ i Ai fi p^ i np^ i f 2 i / np^ i 1 － ∞ ＜ D≤2. 0082145 3 0. 0174 2. 09 16. 97 － ∞ ＜ D≤2. 4635095 3 0. 0359 4. 31 7. 49 2 2. 0082145 ＜ D≤2. 0082155 8 0. 0420 5. 04 2. 4635095 ＜ D≤2. 4635415 7 0. 0753 9. 04 3 2. 0082155 ＜ D≤2. 0082165 9 0. 0993 11. 92 6. 80 2. 4635415 ＜ D≤2. 4635735 24 0. 1531 18. 37 31. 36 4 2. 0082165 ＜ D≤2. 0082175 15 0. 1713 20. 56 10. 94 2. 4635735 ＜ D≤2. 4636055 27 0. 2158 25. 90 28. 15 5 2. 0082175 ＜ D≤2. 0082185 29 0. 2138 25. 66 32. 77 2. 4636055 ＜ D≤2. 4636375 26 0. 2253 27. 04 25. 00 6 2. 0082185 ＜ D≤2. 0082195 31 0. 2048 24. 58 39. 10 2. 4636375 ＜ D≤2. 4636695 15 0. 1654 19. 85 11. 34 7 2. 0082195 ＜ D≤2. 0082205 12 0. 1402 16. 82 8. 56 2. 4636695 ＜ D≤2. 4637015 12 0. 0856 10. 27 14. 02 8 2. 0082205 ＜ D≤2. 0082215 8 0. 0850 10. 20 2. 4637015 ＜ D≤2. 4637335 5 0. 0329 3. 95 9 2. 0082215 ＜ D≤2. 0082225 4 0. 0163 1. 96 12. 66 2. 4637335 ＜ D ＜ ∞ 1 0. 0107 1. 28 6. 88 10 2. 0082225 ＜ D ＜ ∞ 1 0. 0099 1. 19 Σ = 127. 8 Σ = 124. 24 2. 1. 3 研究结构面分形维数精准值的确定 通过上述分析，不论是大尺度空间还是小尺 度空间，红砂岩结构面分形维数抽样结果服从正 态分布; 现将此样本均值作为红砂岩结构面分形 维数的精准计算值． 即红砂岩结构面大、小尺度空 间下的分维数精准计算值分别为 2. 0082183 和 2. 4636080． 3 IPCM 与 PCM 计算结果对比分析及分析 IPCM 和 PCM 计算程序均在 VC + + 开发平台 上通过相关程序代码得以实现． 为了进一步分析直 接采用投影覆盖法计算结构面分维数的不足，分别 计算了图 1 两种单一连接方式下红砂岩结构面的分 形维数，计算结果见图 5． · 7401 ·