基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取

工程科学学报 Chinese Journal of Engineering 基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取 张郑武冯志鹏陈小旺 Acoustic signal analysis of the resonance frequency region for planetary gearbox fault diagnosis based on high-order synchrosqueezing transform ZHANG Zheng-wu,FENG Zhi-peng,CHEN Xiao-wang 引用本文： 张郑武，冯志鹏，陈小旺.基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取川工程科学学报，2020,42(8： 1048-1054.doi:10.13374.issn2095-9389.2019.07.18.002 ZHANG Zheng-wu,FENG Zhi-peng,CHEN Xiao-wang.Acoustic signal analysis of the resonance frequency region for planetary gearbox fault diagnosis based on high-order synchrosqueezing transform[J].Chinese Journal of Engineering,2020,42(8):1048- 1054.doi:10.13374j.issn2095-9389.2019.07.18.002 在线阅读View online::htps/ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2019.07.18.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 迭代广义短时Fourier?变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 Application of iterative generalized short-time Fourier transform to fault diagnosis of planetary gearboxes 工程科学学报.2017,394：604 https::/loi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.04.016 基于多域流形的行星齿轮箱局部故障识别 Localized fault identification of planetary gearboxes based on multiple-domain manifold 工程科学学报.2017,395)：769htps:doi.org/10.13374j.issn2095-9389.2017.05.016 形态分量分析在滚动轴承故障诊断中的应用 Application of morphological component analysis for rolling element bearing fault diagnosis 工程科学学报.2017,396：909 https::/1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.06.014 基于全局优化支持向量机的多类别高炉故障诊断 Multi-class fault diagnosis of BF based on global optimization LS-SVM 工程科学学报.2017,39(1：39 https:1doi.org/10.13374.issn2095-9389.2017.01.005 基于周期势系统随机共振的轴承故障诊断 Bearing fault diagnosis by stochastic resonance method in periodical potential system 工程科学学报.2018.40(8：989 https:doi.org10.13374.issn2095-9389.2018.08.013 基于小波包的开关电流电路故障诊断 Fault detection in switched current circuits based on preferred wavelet packet 工程科学学报.2017,397)：1101htps:ldoi.org10.13374.issn2095-9389.2017.07.017

基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取 张郑武 冯志鹏 陈小旺 Acoustic signal analysis of the resonance frequency region for planetary gearbox fault diagnosis based on high-order synchrosqueezing transform ZHANG Zheng-wu, FENG Zhi-peng, CHEN Xiao-wang 引用本文: 张郑武, 冯志鹏, 陈小旺. 基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取[J]. 工程科学学报, 2020, 42(8): 1048-1054. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.18.002 ZHANG Zheng-wu, FENG Zhi-peng, CHEN Xiao-wang. Acoustic signal analysis of the resonance frequency region for planetary gearbox fault diagnosis based on high-order synchrosqueezing transform[J]. Chinese Journal of Engineering, 2020, 42(8): 1048- 1054. doi: 10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.18.002 在线阅读 View online: https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.18.002 您可能感兴趣的其他文章 Articles you may be interested in 迭代广义短时Fourier变换在行星齿轮箱故障诊断中的应用 Application of iterative generalized short-time Fourier transform to fault diagnosis of planetary gearboxes 工程科学学报. 2017, 39(4): 604 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.04.016 基于多域流形的行星齿轮箱局部故障识别 Localized fault identification of planetary gearboxes based on multiple-domain manifold 工程科学学报. 2017, 39(5): 769 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.05.016 形态分量分析在滚动轴承故障诊断中的应用 Application of morphological component analysis for rolling element bearing fault diagnosis 工程科学学报. 2017, 39(6): 909 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.06.014 基于全局优化支持向量机的多类别高炉故障诊断 Multi-class fault diagnosis of BF based on global optimization LS-SVM 工程科学学报. 2017, 39(1): 39 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.01.005 基于周期势系统随机共振的轴承故障诊断 Bearing fault diagnosis by stochastic resonance method in periodical potential system 工程科学学报. 2018, 40(8): 989 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2018.08.013 基于小波包的开关电流电路故障诊断 Fault detection in switched current circuits based on preferred wavelet packet 工程科学学报. 2017, 39(7): 1101 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2017.07.017

工程科学学报.第42卷.第8期：1048-1054.2020年8月 Chinese Journal of Engineering,Vol.42,No.8:1048-1054,August 2020 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.18.002;http://cje.ustb.edu.cn 基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频 带特征提取 张郑武，冯志鹏，陈小旺四 北京科技大学机械工程学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:chenxw@ustb.edu.cn 摘要建立了非平稳运行工况下行星齿轮箱共振频带内的声音信号解析模型，揭示了齿轮故障特征在声音信号共振频带 内的分布规律.根据共振频率不随转速变化的特点定位了齿轮箱共振频率，为在共振频带内提取齿轮故障特征奠定基础.针 对传统时频分析方法时频分辨率低的缺陷，研究了基于高阶同步压缩变换的时变故障特征提取方法.通过数值仿真和实验 信号分析，验证了所提出的声音信号模型与行星齿轮箱故障特征分布规律的正确性，以及利用高阶同步压缩变换方法提取共 振频带内行星齿轮箱故障特征的有效性. 关键词共振：同步压缩变换；非平稳：行星齿轮箱：故障诊断 分类号TG142.71 Acoustic signal analysis of the resonance frequency region for planetary gearbox fault diagnosis based on high-order synchrosqueezing transform ZHANG Zheng-wu,FENG Zhi-peng.CHEN Xiao-wang School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:chenxw@ustb.edu.cn ABSTRACT Planetary gearboxes have one or several planet gears rotating around the sun gear while revolving along their axle.This unique gear structure results in the simultaneous meshing of the planet gear with both sun and ring gears.Because of the high transmission ratio and large bearing capacity of its compact structure,planetary gearboxes have been extensively used in a variety of industrial applications.Therefore,planetary gearbox fault diagnosis is essential to ensure safe and efficient industrial manufacturing. Acoustic signal analysis provides an effective and noninvasive method for detecting potential faults in the planetary gearbox.However, the theoretical foundation of planetary gearbox fault signatures in acoustic signals is ambiguous.In this work,the planetary gearbox acoustic signal model of the resonance frequency region under the nonstationary state is structured by amplitude and frequency modulation,and the gear fault characteristics of the acoustic signals are explicitly derived.Given that resonance frequency is independent of rotational speed,the resonance frequency can be distinguished from speed-related frequency components.This lays the foundation for extracting the gear fault characteristics of the resonance frequency region.Moreover,the planetary gearbox often runs under time-varying speed conditions,and the fault frequency components are time-varying.To overcome the limitations of the traditional time-frequency analysis method in limited time-frequency resolution or cross-term interferences,the appropriate time-frequency ana- lysis method is essential.In this work,the high-order synchrosqueezing transform is exploited to identify the time-varying fault characteristics of the planetary gearbox acoustic signal.Owing to the step of squeezing the energy distributed along instantaneous 收稿日期：2019-11-19 基金项目：国家重点研发计划资助项目(2018YFC0810500):国家自然科学基金资助项目(51875034)：中央高校基本科研业务费资助项目 (FRF.TP.18-057A1):中国博士后科学基金资助项目(2019M650481)

基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频 带特征提取 张郑武，冯志鹏，陈小旺苣 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 苣通信作者，E-mail：chenxw@ustb.edu.cn 摘    要    建立了非平稳运行工况下行星齿轮箱共振频带内的声音信号解析模型，揭示了齿轮故障特征在声音信号共振频带 内的分布规律. 根据共振频率不随转速变化的特点定位了齿轮箱共振频率，为在共振频带内提取齿轮故障特征奠定基础. 针 对传统时频分析方法时频分辨率低的缺陷，研究了基于高阶同步压缩变换的时变故障特征提取方法. 通过数值仿真和实验 信号分析，验证了所提出的声音信号模型与行星齿轮箱故障特征分布规律的正确性，以及利用高阶同步压缩变换方法提取共 振频带内行星齿轮箱故障特征的有效性. 关键词    共振；同步压缩变换；非平稳；行星齿轮箱；故障诊断 分类号    TG142.71 Acoustic signal analysis of the resonance frequency region for planetary gearbox fault diagnosis based on high-order synchrosqueezing transform ZHANG Zheng-wu，FENG Zhi-peng，CHEN Xiao-wang苣 School of Mechanical Engineering, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 苣 Corresponding author, E-mail: chenxw@ustb.edu.cn ABSTRACT    Planetary gearboxes have one or several planet gears rotating around the sun gear while revolving along their axle. This unique gear structure results in the simultaneous meshing of the planet gear with both sun and ring gears. Because of the high transmission ratio and large bearing capacity of its compact structure, planetary gearboxes have been extensively used in a variety of industrial applications. Therefore, planetary gearbox fault diagnosis is essential to ensure safe and efficient industrial manufacturing. Acoustic signal analysis provides an effective and noninvasive method for detecting potential faults in the planetary gearbox. However, the theoretical foundation of planetary gearbox fault signatures in acoustic signals is ambiguous. In this work, the planetary gearbox acoustic signal model of the resonance frequency region under the nonstationary state is structured by amplitude and frequency modulation, and the gear fault characteristics of the acoustic signals are explicitly derived. Given that resonance frequency is independent of rotational speed, the resonance frequency can be distinguished from speed-related frequency components. This lays the foundation for extracting the gear fault characteristics of the resonance frequency region. Moreover, the planetary gearbox often runs under time-varying speed conditions, and the fault frequency components are time-varying. To overcome the limitations of the traditional time–frequency analysis method in limited time–frequency resolution or cross-term interferences, the appropriate time–frequency ana￾lysis method is essential. In this work, the high-order synchrosqueezing transform is exploited to identify the time-varying fault characteristics of the planetary gearbox acoustic signal. Owing to the step of squeezing the energy distributed along instantaneous 收稿日期: 2019−11−19 基金项目: 国家重点研发计划资助项目（2018YFC0810500）；国家自然科学基金资助项目（51875034）；中央高校基本科研业务费资助项目 （FRF-TP-18-057A1）；中国博士后科学基金资助项目（2019M650481） 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期：1048−1054，2020 年 8 月 Chinese Journal of Engineering, Vol. 42, No. 8: 1048−1054, August 2020 https://doi.org/10.13374/j.issn2095-9389.2019.07.18.002; http://cje.ustb.edu.cn

张郑武等：基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取 ·1049 frequency in frequency direction,time-frequency representation by synchrosqueezing transform achieves a high time-frequency reso- lution.The high-order interpretation of instantaneous frequency further improves the capability to capture the time-frequency details. The acoustic signal model and corresponding fault characteristics of the planetary gearbox in the resonance frequency region are verified by both numerical simulations and laboratory experiments.The gear defect within the planetary gearbox is successfully diagnosed via the high-order synchrosqueezing transform. KEY WORDS resonance;synchrosqueezing transform;nonstationary;planetary gearbox;fault diagnosis 行星齿轮箱故障诊断具有重要意义目 另外，行星齿轮箱非平稳声音信号的故障特 前，行星齿轮箱的故障诊断研究主要基于振动信 征提取仍是目前研究难题和热点之一.传统的时 号的测试分析，对声音信号鲜有涉及.声音信号蕴 频分析方法包括线性时频分析方法，如短时Fourier 含着机械设备自身的结构和运行状态等重要的信 变换和连续小波变换；以及双线性时频分布，如 息.行星齿轮箱运行过程中产生机械振动，并引发 Wigner--Ville分布、Cohen类分布等4均可用于分 空气振动向四周传播，从而产生声音信号.其中， 析时变信号.但短时Fourier变换和连续小波变换 齿轮啮合产生的冲击和振动是行星齿轮箱的主要 受Heisenberg不确定性原则的限制，无法同时获得 声源.相对于振动信号，声音信号可通过非接触的 良好的时间分辨率和频率分辨率s-1,Wigner-- 方式采集，具有安装简便、操作简单等优点可，尤 Ville分布虽然改善了时频分布的分辨率，但存在 其当处在高温、高腐蚀环境下振动传感器无法使 着交叉项干扰而不适于多分量信号分析).Auger 用时，仍能从声音信号中获得可靠的机械设备重 和Flandrin!别提出了时频重分配的方法，有效提高 要信息.Linl对机械系统声音信号进行小波降 了时频可读性，但存在计算量较大问题；Daubechies 噪，并成功提取了车辆发电机的故障特征；Rezaei 等提出了同步压缩变换方法，进一步提高了时 等利用多个声音传感器对不同转速和负载下的 频分析的可读性并保留了可逆特性，但难以抑制 滚动轴承声音信号进行了实验分析：Metwalley等阁 时间方向上的模糊现象2o-2,Pham和Meignen 将齿轮箱正常与故障状态下的声音信号时域、频域 以及Oberlin等2在同步压缩变换的基础上进一 特征进行比较，判断了齿轮故障的严重程度.Bayda和 步提出了高阶同步压缩变换方法，相比传统同步 Ba9将声音信号与振动信号进行比较分析，发现 压缩变换而言具有更精确的瞬时频率估计模型， 声音信号在早期故障的诊断方面具有优势 适合于分析快速变化的频率成分 然而，目前针对行星齿轮箱的声音信号特征 本文建立了行星齿轮箱近场声源声音信号在 提取理论方法还十分有限，行星齿轮箱具有特殊 共振频带内的齿轮故障调幅-调频模型，推导时变 的齿轮结构和运动形式，齿轮啮合点与故障接触 工况下的声音信号的时变频率结构：并利用高阶 位置具有周期性变化的特征，因此振动信号存在 同步压缩变换分析方法对声音信号进行故障特征 复杂的幅值-频率调制特性山进一步考虑声音 提取. 传播过程的影响，实际测得的声音信号结构更加 1声音信号共振频带调制模型 复杂，其频率结构及故障特征分布规律尚未明晰， 传统的齿轮箱故障特征建模与提取大都以齿 根据声源与传感器距离的不同，声场模型可 轮啮合频率或其倍频作为载波频率，集中在啮合 分为近场模型和远场模型.本文重点研究行星齿 频带进行故障提取.然而行星齿轮箱常在时变转 轮箱声音信号的近场模型.根据声学理论，声压方 速条件下运行，其啮合频率及调制边带随转速变 程可表示为： 化，容易与共振带交叉，增加故障特征的提取难 度.齿轮故障引起的冲击会激发行星齿轮箱共振， -rexp(jot) (1) 并对共振频率产生幅值调制和频率调制作用2-) 式中，p为声压，r为声源辐射半径，ω为声源角频 同时，作为载波频率的共振频率不随转速变化，在 率，co为声速，Co为常数，1为声音传播时间，j为虚 共振频带进行故障特征提取，能够有效避免频率 数单位，J6()为第0阶贝塞尔函数，可表示为： 交叉现象，为时变工况下的齿轮故障诊断提供新 的思路.因此，本文首先建立行星齿轮箱声音信号 侣=1-岩+岩°+ 的调幅一调频模型，并推导其故障特征分布规律 (2)

frequency in frequency direction, time–frequency representation by synchrosqueezing transform achieves a high time–frequency reso￾lution. The high-order interpretation of instantaneous frequency further improves the capability to capture the time–frequency details. The acoustic signal model and corresponding fault characteristics of the planetary gearbox in the resonance frequency region are verified by both numerical simulations and laboratory experiments. The gear defect within the planetary gearbox is successfully diagnosed via the high-order synchrosqueezing transform. KEY WORDS    resonance；synchrosqueezing transform；nonstationary；planetary gearbox；fault diagnosis 行星齿轮箱故障诊断具有重要意义[1−4] . 目 前，行星齿轮箱的故障诊断研究主要基于振动信 号的测试分析，对声音信号鲜有涉及. 声音信号蕴 含着机械设备自身的结构和运行状态等重要的信 息. 行星齿轮箱运行过程中产生机械振动，并引发 空气振动向四周传播，从而产生声音信号. 其中， 齿轮啮合产生的冲击和振动是行星齿轮箱的主要 声源. 相对于振动信号，声音信号可通过非接触的 方式采集，具有安装简便、操作简单等优点[5] ，尤 其当处在高温、高腐蚀环境下振动传感器无法使 用时，仍能从声音信号中获得可靠的机械设备重 要信息. Lin[6] 对机械系统声音信号进行小波降 噪，并成功提取了车辆发电机的故障特征；Rezaei 等[7] 利用多个声音传感器对不同转速和负载下的 滚动轴承声音信号进行了实验分析；Metwalley 等[8] 将齿轮箱正常与故障状态下的声音信号时域、频域 特征进行比较，判断了齿轮故障的严重程度. Bayda 和 Ball[9] 将声音信号与振动信号进行比较分析，发现 声音信号在早期故障的诊断方面具有优势. 然而，目前针对行星齿轮箱的声音信号特征 提取理论方法还十分有限. 行星齿轮箱具有特殊 的齿轮结构和运动形式，齿轮啮合点与故障接触 位置具有周期性变化的特征，因此振动信号存在 复杂的幅值−频率调制特性[10−11] . 进一步考虑声音 传播过程的影响，实际测得的声音信号结构更加 复杂，其频率结构及故障特征分布规律尚未明晰. 传统的齿轮箱故障特征建模与提取大都以齿 轮啮合频率或其倍频作为载波频率，集中在啮合 频带进行故障提取. 然而行星齿轮箱常在时变转 速条件下运行，其啮合频率及调制边带随转速变 化，容易与共振带交叉，增加故障特征的提取难 度. 齿轮故障引起的冲击会激发行星齿轮箱共振， 并对共振频率产生幅值调制和频率调制作用[12−13] . 同时，作为载波频率的共振频率不随转速变化，在 共振频带进行故障特征提取，能够有效避免频率 交叉现象，为时变工况下的齿轮故障诊断提供新 的思路. 因此，本文首先建立行星齿轮箱声音信号 的调幅−调频模型，并推导其故障特征分布规律. 另外，行星齿轮箱非平稳声音信号的故障特 征提取仍是目前研究难题和热点之一. 传统的时 频分析方法包括线性时频分析方法，如短时 Fourier 变换和连续小波变换；以及双线性时频分布，如 Wigner−Ville 分布、Cohen 类分布等[14] 均可用于分 析时变信号. 但短时 Fourier 变换和连续小波变换 受 Heisenberg 不确定性原则的限制，无法同时获得 良好的时间分辨率和频率分辨率[15−16] ， Wigner− Ville 分布虽然改善了时频分布的分辨率，但存在 着交叉项干扰而不适于多分量信号分析[17] . Auger 和 Flandrin[18] 提出了时频重分配的方法，有效提高 了时频可读性，但存在计算量较大问题；Daubechies 等[19] 提出了同步压缩变换方法，进一步提高了时 频分析的可读性并保留了可逆特性，但难以抑制 时间方向上的模糊现象[20−23] ； Pham 和 Meignen[24] 以及 Oberlin 等[25] 在同步压缩变换的基础上进一 步提出了高阶同步压缩变换方法，相比传统同步 压缩变换而言具有更精确的瞬时频率估计模型， 适合于分析快速变化的频率成分. 本文建立了行星齿轮箱近场声源声音信号在 共振频带内的齿轮故障调幅−调频模型，推导时变 工况下的声音信号的时变频率结构；并利用高阶 同步压缩变换分析方法对声音信号进行故障特征 提取. 1    声音信号共振频带调制模型 根据声源与传感器距离的不同，声场模型可 分为近场模型和远场模型. 本文重点研究行星齿 轮箱声音信号的近场模型. 根据声学理论，声压方 程可表示为： p = C0 J0 ( ω c0 r ) exp( jωt ) （1） p r ω c0 C0 J0 (·) 式中， 为声压， 为声源辐射半径， 为声源角频 率， 为声速， 为常数，t 为声音传播时间，j 为虚 数单位， 为第 0 阶贝塞尔函数，可表示为： J0 ( ω c0 r ) = 1− ( r 2 ω c0 )2 + 1 2 2 ( r 2 ω c0 )4 − 1 6 2 ( r 2 ω c0 )6 +··· （2） 张郑武等： 基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取 · 1049 ·

·1050 工程科学学报，第42卷，第8期 式(1)描述了声音传播过程中，声压与传播距 统动力学参数决定.因此，声音信号的幅值衰减因 离及声源频率的关系，声音信号中声源频率成分 子CoJo(wr/co)可近似为常数.结合行星齿轮箱振 保持不变，但幅值在传播过程中逐渐衰减，衰减形 动信号的调制形式，由振动产生的对外辐射的 式如式(2)所示.幅值衰减因子CoJ6(wr/co)可用来 声音信号可表示为： 描述声音信号的幅值衰减.当行星齿轮箱齿轮出 p(0=C×{1+a1cos2π∫f()d 现故障时，故障齿轮在运行过程中与其他齿轮啮 合产生冲击，激发齿轮箱共振.在系统阻尼作用 {1+acos[2m∫斤(0d+i]}× 下，共振迅速衰减，又在后续冲击激励下重复出 Acos2π∫fndr+a3sin2π∫f斤()dt+2+ 现，对共振频率产生幅值调制和频率调制作用.这 (3) 种重复出现的共振产生声音辐射，因此声音信号 其中，C为幅值因子，A代表共振信号强度，a1、a2 在共振频带包含齿轮故障特征信息.通常，近场声 为幅值调制系数，3为频率调制系数，1、2和3 源的声音信号采集时，声音传感器的位置相对于 为对应的初始相位.对(3)进行Fourier变换展开， 声源距离较近且固定不变，加之共振频率仅受系 得到声音信号内含有的特征频率结构为： P=AC足aagl6-后-mfiexpl6(m+今+受16[f-五-mf0-斤exp(2+s+小+ 6f-f后-mf斤(0+f创exp[j(m+-1)+216[f-后-m斤0-无(expi6mo+s】+ 5f-f-mf ()+f()]explj(m2++(6[f-fa-mfi()-fr()-fi()]explj(m2++ 6[f-f后-mfi(t)+f斤()+(]expj0m2+3-1】+6f-f后-mf斤()-f斤(i)+f(t]exp(m2+3+1】+ 6[f-f后-mf斤(i)+f斤()-f(t]expj(mp2+3-中1J} (4) 式中，m代表Bessel函数展开的阶数，fm为共振频 分析方法之一，其本质是加窗的Fourier变换.对 率，()为太阳轮旋转频率或行星架旋转频率（太 于一个有限能量信号x(①)，其STFT的表达式为： 阳轮或行星轮出现故障时由于传递路径的时变现 STFT,(.f)=Jx()g(I-r)e-2x/dr (5) 象产生的调制频率，因齿圈固定，当齿圈故障时此 项可略去)，()为故障特征频率，Jm()为第一类 其中，τ为时间单位，gt-)为窗函数.由于窗函数 Bessel函数，6()为Dirac函数 尺寸固定，其时频分辨能力固定，在Heisenberg不 根据(4)可总结出时变转速工况下行星齿轮 确定性的制约下，难以同时得到复杂多变的瞬时 箱齿轮故障时声音信号的时变故障频率特征：在 频率细节的最佳表达 太阳轮故障条件下，声音信号的共振频带内存 基于短时Fourier变换的同步压缩变换方法 在分布于共振频率f两侧的、间隔为太阳轮故障 (FSST)的关键思想是通过对瞬时频率进行精确估 特征频率f()和太阳轮旋转频率（①的组合的一 计，从而在频率方向上对时频能量进行重分配， 系列时变边带成分，即n±m()±nf()(其中 FSST方法中，瞬时频率可根据短时Fourier变换的 m,n=0,1,2代表公式4中的阶数，下同)：在行星 时频分布STFTx(t,f)计算为： 轮故障条件下，声音信号共振频带内存在与共 振频率后间隔为行星轮故障特征频率斤()和行 ,=2云0.argISTFT(.1=然{2sTeT.} \2njSTFTx(t,f) 星架旋转频率无()的组合的时变边带，即 (6) f±mf()±nf():在齿圈故障条件下，声音信号的 其中，R表示实数部分，基于此得到ST℉T频率 共振频带内存在与共振频率f间隔为齿圈故障特 重分配后的FSST结果为： 征频率f()的时变边带±mi().其中，故障特征 1 Tx(t,@)= 频率对称分布在共振频率f两侧，可根据声音信号 (OJSTFT(.6-(.df (7) 的时变边带对称中心定位共振频率，并可通过识 其中，g0)为窗函数，由(7)可知，通过将频率方向上 别时变边带信息，有效检测及定位齿轮故障 能量模糊压缩到瞬时频率脊线附近，可有效提高时 频聚集性，有利于准确识别变化的瞬时频率特征. 2高阶同步压缩变换 然而，虽然FSST提高了时频分布的频域聚集 短时Fourier变换(STFT)是最为常用的时频 性，但由于仅在频率方向上进行重分配，时域的能

C0 J0 (ωr/c0) 式（1）描述了声音传播过程中，声压与传播距 离及声源频率的关系，声音信号中声源频率成分 保持不变，但幅值在传播过程中逐渐衰减，衰减形 式如式（2）所示. 幅值衰减因子 可用来 描述声音信号的幅值衰减. 当行星齿轮箱齿轮出 现故障时，故障齿轮在运行过程中与其他齿轮啮 合产生冲击，激发齿轮箱共振. 在系统阻尼作用 下，共振迅速衰减，又在后续冲击激励下重复出 现，对共振频率产生幅值调制和频率调制作用. 这 种重复出现的共振产生声音辐射，因此声音信号 在共振频带包含齿轮故障特征信息. 通常，近场声 源的声音信号采集时，声音传感器的位置相对于 声源距离较近且固定不变，加之共振频率仅受系 C0 J0 (ωr/c0) 统动力学参数决定. 因此，声音信号的幅值衰减因 子 可近似为常数. 结合行星齿轮箱振 动信号的调制形式[12] ，由振动产生的对外辐射的 声音信号可表示为： p(t) = C × { 1+a1 cos[ 2π r ft(t)dt ]} { 1+a2 cos[ 2π r ff (t)dt+ϕ1 ]} × Acos[ 2π r fndt+a3 sin[ 2π r ff (t)dt+ϕ2 ] +ϕ3 ] （3） 其中，C 为幅值因子，A 代表共振信号强度，a1、a2 为幅值调制系数，a3 为频率调制系数，ϕ1、ϕ2 和 ϕ3 为对应的初始相位. 对（3）进行 Fourier 变换展开， 得到声音信号内含有的特征频率结构为： P(f) = AC ∑∞ m=−∞ Jm (a3) { δ [ f − fn −m ff (t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3) ] + a2 2 { δ [ f − fn −m ff (t)− ff (t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 +ϕ1) ] + δ [ f − fn −m ff (t)+ ff (t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 −ϕ1) ]}+ a1 2 { δ [ f − fn −m ff (t)− ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3) ] + δ [ f − fn −m ff (t)+ ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3) ]}+ a1a2 4 { δ [ f − fn −m ff (t)− ff (t)− ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 +ϕ1) ] + δ [ f − fn −m ff (t)+ ff (t)+ ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 −ϕ1) ] +δ [ f − fn −m ff (t)− ff (t)+ ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 +ϕ1) ] + δ [ f − fn −m ff (t)+ ff (t)− ft(t) ] exp[ j(mϕ2 +ϕ3 −ϕ1) ]}} （4） fn ft(t) ff (t) Jm (·) δ(·) 式中，m 代表 Bessel 函数展开的阶数， 为共振频 率， 为太阳轮旋转频率或行星架旋转频率（太 阳轮或行星轮出现故障时由于传递路径的时变现 象产生的调制频率，因齿圈固定，当齿圈故障时此 项可略去）， 为故障特征频率， 为第一类 Bessel 函数， 为 Dirac 函数. fn ff (t) ft(t) fn ±m ff (t)±n ft(t) m,n = 0,1,2··· fn ff (t) ft(t) fn ±m ff (t)±n ft(t) fn ff (t) fn ±m ff (t) fn 根据（4）可总结出时变转速工况下行星齿轮 箱齿轮故障时声音信号的时变故障频率特征：在 太阳轮故障条件下，声音信号的共振频带内存 在分布于共振频率 两侧的、间隔为太阳轮故障 特征频率 和太阳轮旋转频率 的组合的一 系 列 时 变 边 带 成 分 ， 即 （ 其 中 代表公式 4 中的阶数，下同）；在行星 轮故障条件下，声音信号共振频带内存在与共 振频率 间隔为行星轮故障特征频率 和行 星 架 旋 转 频 率 的 组 合 的 时 变 边 带 ， 即 ；在齿圈故障条件下，声音信号的 共振频带内存在与共振频率 间隔为齿圈故障特 征频率 的时变边带 . 其中，故障特征 频率对称分布在共振频率 两侧，可根据声音信号 的时变边带对称中心定位共振频率，并可通过识 别时变边带信息，有效检测及定位齿轮故障. 2    高阶同步压缩变换 短时 Fourier 变换（STFT）是最为常用的时频 x (t) 分析方法之一，其本质是加窗的 Fourier 变换. 对 于一个有限能量信号 ，其 STFT 的表达式为： STFTx(t, f) = w R x (τ)g(t−τ)e −j2π f τ dτ （5） 其中，τ为时间单位， g(t−τ) 为窗函数. 由于窗函数 尺寸固定，其时频分辨能力固定，在 Heisenberg 不 确定性的制约下，难以同时得到复杂多变的瞬时 频率细节的最佳表达. STFTx (t, f) 基于短时 Fourier 变换的同步压缩变换方法 （FSST）的关键思想是通过对瞬时频率进行精确估 计，从而在频率方向上对时频能量进行重分配， FSST 方法中，瞬时频率可根据短时 Fourier 变换的 时频分布 计算为： bωx (t, f) = 1 2π ∂t arg{STFTx (t, f)} = ℜ { ∂tSTFTx (t, f) 2πjSTFTx (t, f) } （6） 其中， ℜ{·} 表示实数部分，基于此得到 STFT 频率 重分配后的 FSST 结果为： Tx (t,ω) = 1 g(0) w R STFTx (t, f)δ ( ω−bωx (t, f) ) d f （7） 其中，g(0) 为窗函数，由（7）可知，通过将频率方向上 能量模糊压缩到瞬时频率脊线附近，可有效提高时 频聚集性，有利于准确识别变化的瞬时频率特征. 然而，虽然 FSST 提高了时频分布的频域聚集 性，但由于仅在频率方向上进行重分配，时域的能 · 1050 · 工程科学学报，第 42 卷，第 8 期

张郑武等：基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取 1051· 量溢出现象未得到有效解决，依然存在时频模糊 12中的阶数)递归求得 问题.为了克服这个不足，基于更精确的瞬时频率 类似于FSST2,FSSTN的表达式为： 估计的二阶同步压缩变换(FSST2)被提出2.FSST2 1 TN.f(t,@)=- [STFT:(t.f)6(@-@IN(t.f))df 首先定义一个二阶局部调制系数： g(0)J (13) x(t,f月= arox(t,f月 (8) aix(t,f月) 利用FSSTN方法，可以获得更加精确的瞬时 8fSTFTx(t.f) a,STFTx(t.f) 频率估计，从而有效抑制时频模糊现象，使时频分 ix(亿，f)=t- 2元jSTFTx(t,f力 .@Wx(t.f)= 2πiSTFT(t,f) 布的可读性进一步提高.根据实际应用需求，本文 (9) 采用四阶同步压缩变换(FSST4),即取N=4 该调制系数为FSST瞬时频率估计(6)对时间t的 3仿真信号分析 一阶导数.则二阶瞬时频率估计可表达为： (t.f)=@.(t.f+q(t.f(t-i(t.S) (10) 在本节中，通过对时变转速工况下行星齿轮 箱声音信号进行仿真分析，验证前文总结的时变 因而，信号x()的二阶同步压缩变换如下： 故障特征规律形式，并验证FSST4方法提取共振 1 T(-STFT,(.o-(ay 频带内故障特征的有效性.以太阳轮故障为例，由 (11) 式(3)可得声音信号模型如下： 其中，么，f为么，f)的实部 s0=Ch-cos[2∫f0d1+acos2m∫f0d+l FSST2被证明能够提高具有高斯幅值调制信 cos{2πfnd+Bsin2π∫天()dt+d+5() 号的时频分布的效果.Pham和Meignen24针对其 (14) 他更为复杂的快速变化频率信号，进一步提出了 式中，f为行星齿轮箱共振频率，(0为太阳轮旋 具有更为通用形式的高阶同步压缩变换方法 转频率，5()为太阳轮故障特征频率，取初始相位 (FSSTN).FSSTN基于信号的幅值与相位的泰勒 中=0=0，共振频率f=2000Hz,幅值调制系数 展开定义了新的瞬时频率估计： a=1.2,频率调制系数B=0.1幅值衰减因子C= n=aran+∑,n STFT() 0.98,加入信噪比为0dB的Gauss白噪声).令太 STFTx(t,f) 阳轮旋转频率f()=20+10sin(πt),太阳轮故障特 (12) 征频率为f()=10/30(0),信号的采样频率为6000Hz, 其中，STFT(,f表示第k次的STFT.(，么f的窗函 时间长度为3s 数为k-g,#M么，f可由k=2,…,N(N表示公式 仿真信号的分析结果如图1所示.图1(a)和 Amplitude 10 (③ 1.0 2200 (b) (c) 0.8 2100 0.6 0 2000 0 02 1900 1800 1800 1900200021002200 0.51.0152.02.5 Time/s Frequency/Hz Time/s Amplitude Amplitude Amplitude 2200 2200 2200 ka) (e) (① f((t) 2100 2100 2100 2000 2000 2000 1900 1900 1900 1800 1800 1800 0.51.01.52.02.5 0.51.01.52.02.5 0.51.01.52.02.5 Time/s Time/s Time/s 图1仿真信号.(a)波形：(b)Fourier颜谱：(c)STFT时频分布：(d)Wigner-Ville分布：(e)FSST:(f)FSST4 Fig.I Simulation signal:(a)waveform;(b)Fourier spectrum;(c)time-frequency representation(TFR)by STFT;(d)Wigner-Ville distribution,(e)time. frequency representation by FSST;(f)time-frequency representation by FSST4

量溢出现象未得到有效解决，依然存在时频模糊 问题. 为了克服这个不足，基于更精确的瞬时频率 估计的二阶同步压缩变换（FSST2）被提出[25] . FSST2 首先定义一个二阶局部调制系数： eqt,x (t, f) = ∂tωex (t, f) ∂t t˜ x (t, f) （8） t˜ x (t, f) = t− ∂f STFTx (t, f) 2πjSTFTx (t, f) , ωex (t, f) = ∂tSTFTx (t, f) 2πjSTFTx (t, f) （9） 该调制系数为 FSST 瞬时频率估计（6）对时间 t 的 一阶导数. 则二阶瞬时频率估计可表达为： ωe [2] f,x (t, f) = ωex (t, f)+eqt,x (t, f) ( t−t˜ x (t, f) ) （10） 因而，信号x (t) 的二阶同步压缩变换如下： T2, f (t,ω) = 1 g(0) w R STFTx (t, f)δ ( ω−bω [2] t,x (t, f) ) d f （11） bω [2] t,x (t, f) ωe [2] f,x 其中， 为 (t, f) 的实部. FSST2 被证明能够提高具有高斯幅值调制信 号的时频分布的效果. Pham 和 Meignen[24] 针对其 他更为复杂的快速变化频率信号，进一步提出了 具有更为通用形式的高阶同步压缩变换方法 （FSSTN）. FSSTN 基于信号的幅值与相位的泰勒 展开定义了新的瞬时频率估计： ωe [N] f,x (t, f) = ωex (t, f)+ ∑N k=2 eq [k,N] t,x (t, f)  − STFTt k−1 x (t, f) STFTx (t, f)   （12） STFTt k−1 x (t, f) k STFTx (t, f) t k−1g(t) eq [k,N] t,x (t, f) k = 2,··· ,N N 其中， 表示第 次的 的窗函 数为 ， 可由 （ 表示公式 12 中的阶数）递归求得. 类似于 FSST2，FSSTN 的表达式为： TN, f (t,ω) = 1 g(0) w R STFTx (t, f)δ ( ω−bω [N] t,x (t, f) ) d f （13） 利用 FSSTN 方法，可以获得更加精确的瞬时 频率估计，从而有效抑制时频模糊现象，使时频分 布的可读性进一步提高. 根据实际应用需求，本文 采用四阶同步压缩变换（FSST4），即取 N=4. 3    仿真信号分析 在本节中，通过对时变转速工况下行星齿轮 箱声音信号进行仿真分析，验证前文总结的时变 故障特征规律形式，并验证 FSST4 方法提取共振 频带内故障特征的有效性. 以太阳轮故障为例，由 式（3）可得声音信号模型如下： s(t)=C { 1−cos[ 2π r f (r) s (t)dt ]} {1+acos[ 2π r fs (t)dt+ϕ ]} cos{ 2π r fndt+ Bsin[ 2π r fs (t)dt+θ ]} +ξ (t) （14） fn f (r) s (t) fs (t) ϕ = θ = 0 fn = 2000 a = 1.2 B = 0.1 C = 0.98 ξ (t) f (r) s (t)= 20+10 sin(πt) fs (t)= 10/3 f (r) s (t) 式中， 为行星齿轮箱共振频率， 为太阳轮旋 转频率， 为太阳轮故障特征频率. 取初始相位 ，共振频率 Hz，幅值调制系数 ，频率调制系数 ，幅值衰减因子 ，加入信噪比为 0 dB 的 Gauss 白噪声 . 令太 阳轮旋转频率 ，太阳轮故障特 征频率为 ，信号的采样频率为6000Hz， 时间长度为 3 s. 仿真信号的分析结果如图 1 所示. 图 1（a）和 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1800 1900 2000 2100 2200 Amplitude/Pa Frequency/Hz (b) 10 5 0 −5 −10 0 1 2 3 Amplitude/Pa Time/s (a) 2200 2100 2000 1900 1800 0.5 1.5 1.0 2.0 2.5 Frequency/Hz Time/s (c) Amplitude 2200 2100 2000 1900 1800 0.5 1.5 1.0 2.0 2.5 Frequency/Hz Time/s (f) fn±fs (r)(t) fn±fs (t) f n±f s (r)(t)±fs (t) fn Amplitude 2200 2100 2000 1900 1800 0.5 1.5 1.0 2.0 2.5 Time/s Frequency/Hz (e) Amplitude 2200 2100 2000 1900 1800 0.5 1.5 1.0 2.0 2.5 Frequency/Hz Time/s (d) Amplitude 图 1 仿真信号. （a）波形；（b）Fourier 频谱；（c）STFT 时频分布；（d）Wigner−Ville 分布；（e）FSST；（f）FSST4 Fig.1 Simulation signal: (a) waveform; (b) Fourier spectrum; (c) time–frequency representation(TFR) by STFT; (d) Wigner–Ville distribution; (e) time￾frequency representation by FSST; (f) time-frequency representation by FSST4 张郑武等： 基于高阶同步压缩变换的行星齿轮箱声音信号共振频带特征提取 · 1051 ·