桂林电子科技大学：《信号与系统》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 连续时间系统的复频域分析（4.1-4.4）

§4.2拉普拉斯变换一—LT .从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(.乘以衰减因子e(σ为大于零的任意实数)后 容易满足绝对可积条件,依傅氏变换定义 F(o)=(,em]= I- I(e I e-jd 1O t dt + f() -o+jo)t e dt= F(o+jo) 令:σ+ja=s,具有频率的量纲称为复频率 则 F(=r("dt

一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 ( ) =   = − t F j F f t   ( ) e 1 f t  t t t ( )e e d  −j +  − −   , : ( ), e ( ) 容易满足绝对可积条件 依傅氏变换定义 信号 f t 乘以衰减因子 − t 为大于零的任意实数 后 令: + j = s,具有频率的量纲, 称为复频率。 = F( + j) ( ) ( )   − − F s = f t t s t e d 则 1．拉普拉斯正变换 f t t t ( ) e d −( +j) +  − =   §4.2 拉普拉斯变换----LT

2.拉氏逆变换 F(o+jo)=f(e) dt=F()=f( e dt 对于f(e是F(+ja)傅里叶逆变换 (=(+ot 两边同乘以e f()= 1 ∫。1 Fo+Jo ioe(o+jo) d a 2丌 其中:s=a+j0;若o取常数,则ds=jdo 积分限:对→对: f() 1rr(de“as 2πiJa

2．拉氏逆变换 ( ) ( )   − − =  +     e d 2π 1 e t j t f t F j ( ) ( ) ( )      j e d 2π 1 j   − + = + t f t F    − +  −   j j : :   积分限：对 对s 对于 ( )e 是 ( j)的傅里叶逆变换  + − f t F t  t 两边同乘以e 其中:s = + j ; 若取常数，则d s = jd ( ) ( )  +  −  = j j e d 2π j 1   f t F s s s t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )    − −  − − + F + = f t t = F s = f t t t s t j e d e d  j   所以

3.拉氏变换对 F(0=4U()厂(0= 正变换 0=EL=2r6逆变换 记作:/(F()f(为原函数,F(S称为象函数 考虑到实际信号都是因果信号,即信号从O时刻加入: F(jo)= (e odz 相应的单边拉氏变换为 F(-40/Oe"di

3．拉氏变换对 考虑到实际信号都是因果信号，即信号从0时刻加入： ( )  ( ) ( )  ( )  ( ) ( )     = = = =   +  −  −  − − j j 1 e d 2π j 1 e d σ σ s t s t f t L f t F s s F s L f t f t t 逆变换 正变换 记作: f (t)  F(s) 相应的单边拉氏变换为 ( )  ( ) ( ) ( )  ( ) ( )       = = = =   +  −  −  − j j 1 0 e d 2 j 1 e d σ σ s t s t f t L f t F s s F s L f t f t t π f (t)称为原函数，F(s)称为象函数。 F(jω) f (t) t ω t e d j 0 −   所以 =

二.拉氏变换的收敛 收敛域:使F(s)存在的的区域称为收敛域。 记为ROC( region of convergence 实际上就是拉氏变换存在的条件; lim f(e =0( o>oo) 其中。由f(t)性质决定 收敛轴 注:在实际工程中,只要把a 收敛区 的值取的足够大,上式总是可 以满足的,所以它们的拉氏变 收敛坐标 换都是存大的。本书只讨论单 边拉氏变换,其收敛域必定存 定,故在后面的说明中,一般 不在说明和注明其收敛域

二．拉氏变换的收敛 ( ) 0 lim f (t)e 0 σ σ σ t t =  − → 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件； O σ jω σ0 收敛坐标 收敛轴 收敛区 其中σ0由f(t)性质决定。 注：在实际工程中，只要把σ 的值取的足够大，上式总是可 以满足的，所以它们的拉氏变 换都是存大的。本书只讨论单 边拉氏变换，其收敛域必定存 定，故在后面的说明中，一般 不在说明和注明其收敛域

例42-1考查因果信号f(t)=e(t)的拉氏变换及收敛域 (S+1)t 解F(s)= e u(te dt e s+lt s+1 0 上式积分只有在(Re[s]+1)>0即ReS]>-时收敛 如图42-2,此时 e()<>1 Re S+1 s O 图42-2

 j 0 图4.2-2 −1 例4.2-1 考查因果信号f (t) = e −t U(t)的拉氏变换及收敛域 F s e U t e dt −t −st  − 解 ( ) = ( ) 如图 ，此时 上式积分只有在（ ） 即 时收敛 4.2 2 Re[ ] 1 0 Re[ ] 1 − s +  s  −  − + − +  + = = −  0 ( 1) ( 1) 0 | s 1 e e dt s t s t Re[ ] 1 1 1 ( )  − + −  s s e U t t