数字信号处理 第三章
数字信号处理 第三章
3.1高敢傅立叶变换的定义 DFT的定义 设x(n)是一个长度为M的有限长序列,则定义的N点离散傅立 叶变换为 N-1 X(k)=DFTx(n)=∑x(m)W k=0,1N-1 其逆变换为 x(n)=DFX()=1∑X(k)W n=0,1,,N-1 式中 2xN为DT变换区间长度
3.1 离散傅立叶变换的定义 DFT的定义 设x（n) 是一个长度为M的有限长序列，则定义的N点离散傅立 叶变换为 其逆变换为： 式中 N为DFT变换区间长度。 0,1,..., 1 ( ) [ ( )] ( ) 1 0 = − = = − = k N X k DFT x n x n W N n kn N 0,1,..., 1 ( ) 1 ( ) [ ( )] 1 0 = − = = − = − n N X k W N x n IDFT X k N k k n N N j N W e 2 − =
证明IDFT的唯一性 1-y- DFT[X(k)=∑ [∑x(m)W mk -nk N ∑x(m)[∑Wm"] k=0 由于 1,m=n+MN,M为整数 ∑W (m-n)k 0,m≠n+MN,M为整数 所以在变换区间上满足: DFT(k)F=XO),0≤n≤N
证明IDFT的唯一性 由于 所以在变换区间上满足： − = − = − − − = − = = = 1 0 1 0 ( ) 1 0 1 0 [ ] 1 ( ) [ ( ) ] 1 [ ( )] N m N k m n k N n k N N k N m m k N W N x m x m W W N IDFT X k + = + = − = − 0 , 1 1 , 1 0 ) ， 为整数 （ ， 为整数 m n MN M m n MN M W N N k m n k N IDFT[X (k)]＝x(n), 0 n N −1
例3.1.1见教材pp-69 DFT和Z变换的关系:设序列x(n)的长度为N, Z变换为 X(-)=Zx()2=∑x(m)zn DFT为: X(k)=DFT[x(n)=∑x(m)W,0≤k≤N-1 两者比较可知 X(k)=X(-)k,0≤k≤N-1 x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 A(k)=X(e") 2丌,5 0≤k≤N-1 X(k)为x(n)的傅立叶变换在区间【O,2π】上的N点等间隔采样
• 例3.1.1 见教材pp-69 DFT和Z变换的关系：设序列x(n)的长度为N， Z变换为： DFT为： 两者比较可知： x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。 X(k) 为x(n)的傅立叶变换在区间【0，2π】上的N点等间隔采样。 − = − = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n n X z ZT x n x n z ( ) [ ( )] ( ) ,0 1 1 0 = = − − = X k DFT x n x n W k N N n k n N ( ) ( ) , 0 1 2 = − = X k X z j N k k N z e ( ) = ( ) 2 , 0 −1 = X k X e k N k N j
DFT的隐含周期性 X()和xk)均为有限长序列,但由的周期性 使得X(k)隐含周期性,且周期为N。对住意整数m,总有: WN=X(m,k,m,N均为整数 所以有 X(k+mN)=∑xmy (k+mNn n=0 ∑x(mW=Y(k) 同理可以得到 x(n+mN=x(n)
DFT的隐含周期性 x (n) 和X(k)均为有限长序列，但由于 的周期性， 使得X(k)隐含周期性，且周期为N。对任意整数m，总有： 所以有： 同理可以得到： kn WN WN k =WN (k+m N) ,k,m,N均为整数 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 ( ) 1 0 x n W X k X k mN x n W k n N N n k m N n N N n = = + = − = + − = x(n + mN) = x(n)