第20卷 3.22对参数J的讨论 (1)参数J对结果的影响 取Q=0.1,L=12,V=0,改变J的值,得到如图5结果。可以看出,区域内人口流动 性越强,病毒蔓延得越快,传染的人越多,疫情越严重。 (2)在迭代过程中改变J对结果的影响 时间(天) 图5区域内人们的流动程度J对疫情的影响 图6自愈率V对疫情的影响 取Q=0.1,L=12,V=0,t=18前J=0.2,因为时间原因,这里仅给出t=18后J=0 2和J=0.1的患病人数峰值:Max[Ln(t)+l(t)]J=0.2=8.6104Max[(t)+l1(t)]J 0.1=4.8104 可以看出,区域内人们流动程度J的减小也使患病人数大大减少,疫情得以缓解。 3.23对参数V的讨论 取Q=0.2,L=10,J=0,改变自愈率V的值,得到如图6结果。从图中可以看出,当 自愈率很小时,SARS将大规模传播。随着自愈率ⅴ的增大,患病人数减少,高峰期推迟,V 超过一个值V后,SARS不能传播开。如图得V=0.78。 3.2.4接种疫苗的作用 在初始人群中以一定的比率引入已接种疫苗的成员,将这个比率称为疫苗接种率W 这些已接种疫苗的成员既不能被别人传染,更不能传染别人,实际上是R类成员。按照与 我们原模型相同的规则,只是在初始化时赋以R类成员初值WN即可。取Q=0.1,L= 10,J=0.1,V=0,改变W值,可得到不同的W对SARS传播情况的影响。 如图7所示,在不同的疫苗接种率W下,SARS传播的规模相差很大,疫苗接种率W 每提高5个百分点,相应的患病人数峰值就有大幅度的下降,高峰期也延迟相当一段时间。 值得注意的是,当W为20%时,患病人数非常少,SARS病毒根本不能够大范围的传播开 来。这一结果说明接种疫苗不仅仅是使单个成员免于病毒的感染,更是切断了病毒进一步 传播的途径,因而能够出现SARS病毒从一开始就不能传播开的情况。所以说接种疫苗能 够从根本上杜绝SARS的大范围传播。 从图7我们观察到W有一个临界值,当超过该值时,患病人数基本为零。下面我们讨 论不同流动性的区域对这一临界W值的要求。仍取Q=0.1,L=10,V=0,仅改变J,对 于每组参数组合,都有相应的临界W值,当大于该值时患病人数非常少(我们取患病人 峰值小于50为标准)。结果如图8所示。也就是说,要想完全杜绝病毒的传播,流动性越强 的区域所要求人群的疫苗接种率越高。越是经济发达的大城市越是需要大范围接种疫苗。 3.3对北京疫情的分析 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
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考虑自愈的SARS的传播模型 ▲ AAAM ▲盘 图7引人接种疫苗人群对疫情的影响 图8区域成员间流动性丿与疫苗接种率W的关系 3.3.1对实际数据的拟合 综合以上提到的所有因素,下面拟合北京的疫情发展情况。取N=107,K=20,P=0 02,M=30,H=10。北京市第一例SARS出现在3月1日,以此为坐标起点。政府自4月 25日起公布数据,近似认为从此时(t=56)开始采取措施,用l1(t)的累计值拟合公布数字 (从采取措施起参数发生变化,未取采措施前采用I(t)+1(t)的值拟合公布数字)。调整 参数拟合实际数据,我们取J=0.1,V=0.6,得到图9结果。 时间(天 图9对北京疫情的分析(实际数据从4月25日开始) 图10提前或延迟采取措施的影响 3.3.2提前和推迟采取措施对结果的影响 保持上述参数不变,仅使起点除外的所有分段点时间统一减(加)5,即可得到提前(推 迟)5天采取措施的结果(如图10)。可以看出,仅仅推迟5天采取措施,就会使患病人数峰 值从2523增加到3642,疫情最终得以控制的时间(即曲线开始趋于水平的时间)往后推迟 而提前5天采取措施则能使患病人数峰值减至1702,疫情得到控制的时间有所提前。也就 是说,采取措施的及时程度对SARS疫情的影响很大,政府部门能否尽早认识到问题的严重 性,尽早釆取果断措施对SARS疫情的发展起到了至关重要的作用。 3.4模型评价及改进 3.4.1模型评价 1)本模型首先釆用SwN模型构建区域结枃,较好的模拟了现实中人们之间接触情 况,为问题的进一步的解决建立了较为合理的基础; (2)本模型在模拟SARS的实际传播过程时,同时吸收了 Sznajd和元胞自动机模型中 的合理之处,摈弃了其中不符合本题实际问题的成分。做到了既从每个成员影响他人的角 度考虑问题,又能实现同步更新,认为一个成员下一时刻的状态是受到当前与其接触的多个 成员影响累加的结果,这些都是非常符合现实情况的 3.4.2模型改进 (1)可以采用 Scale-free Network模型(16),它更能反映现实中人们之间联系的先取连接 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
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程数学学报 性( Preferential Connectivity),也就是说,实际中每个节点的度并不都是相同的,而是存在 些关键节点,和它们相连的节点数比其他节点多。可以对这些关键节点进行研究,比如,这 些关键节点如果患病或者接种疫苗会对结果产生什么影响; (2)在运用SWN模型时,对于和一个节点相连的2K个节点,到该节点的路径权值应 该是不相同的,即和某成员有联系的2K个成员有亲密硫远的差别,他们被传染上SARS的 概率是不同的。我们可以使节点与其原邻居节点之间的路径权值取d,与非原邻居节点之 间的路径权值取d2,自然的,d0>d; 参考文献 [1] Watts, D J, and Strogatz, S H, Collective dynamics of"small-world"networks[J], Nature 393(1998) 440-442 [2] Dietrich Stauffer, Sociophysics: the Sznajd model and its applications[ J], Computer Physics Communica tions146(2002),93-98 [3]G. Ch. Sirakoulis, I. Karafyllidis, A. Thanailakis, A cellular automation model for the effects of popula tion movement and vaccination on epidemic propagation[ J], Ecological Modeling, 133(2000),209-223 唐焕文贺明峰,数学模型引论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,2001 5]姜启源数学模型(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1993 [6] Jan Medlock, Mark Kot, Spreading disease: integro-differential equations old and new[J],Mathematical Biosciences,184(2003),201-222 [7]http://news.sina.com.cn/o/2003-09-14/1200748765s.shtml[eb/ol] Francesc Comellas, Michael Sampels, Deterministic small-world networks [J], Physica A 309(2002) 231-2352002 [9] Barrat and Weigt, On the properties of small-world network models [J], Europhysics Journal B,1 (2000),547-560, [10] L. A.N. Amaral, A. Scala, M. Barthe le my, and H. E. Stanley Classes of small-world networks [J],PNAs,vol.97no.21(2000),11149-11152 [11] M.E. J. Newman and D. J. Watts, Scaling and percolation in the small-world network model[J] Phys.Rev.E,60(1999),7332-7342 [12] Jonathan M. Read, Matt J. Keeling, Disease evolution on networks: the role of contact structure[J] Proe,R,Soc,Lond.B,270(2003),699.708 [13] H. Andersson, T. Britton, Epidemics: Stochastic models and their statistical analysis[J], Springer Lec ture Notes in Statistics, Vol. 151(2000), Springer, New York [14] Damian H. Zanette*, Marcelo Kuperman, Effects of immunization in small-world epidemics[J], Physi caA309(2002),445-452 [15] Octavio Miramontes, Bartolo Luque, Dynamical small-world behavior in an epidemical model of mobile [16] Romualdo Pastor-Satorras and Alessandro Vespignani, Epidemic Spreading in Scale-Free Networks[J] Physical Review E, 86(2001),3200-3203 (下转44页 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
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工程数学学报 第20卷 参考文献 [1】姜启源数学模型[M].北京:高等教育出版社,1993 [2】赵达纲,朱迎善.应用随机过程[M].北京:机械工业出版社,1993 [3]闻新等. Matlab神经网络应用设计[M].北京:科学出版社,2000 [4]shiYaolin.StochasticdynamicmodelofSarsspreading[j].wwwscience.com,2003:9 The Study of the Spread of SARS XIAO Hong-jiang, WU Tong, LI Ming-ke Advisor: HE Zu-guo Beijing University of Posts and Telecommunications, Beijing 100876) Abstract: This article compares the model in the attachment 1, and exams its method called Half -Imitation Circulation-Calculation". The advantage of the model is isease its high precision in the aspect of imitation, and its reasonable change of the value of"K. At the same time, we point out that its main drawback is that it de- pends on the data excessively and is not able to predict the situation for longer time. In the second question, we bring up four models which are based on four different core methods: (1)the model based on differential and dif- ference equation; (2)the controling- model based on filter: (3 )the model of neural network; (4)the simulation model based on Branching Process, In Model 2, we conclude that SARS will last 99 days in Beijing; the earlier it is controlled, the better it wilt become; and SARS will not break out preodically In the third question, we are en- ghted by the"consequense function"in economics, so we bring in three different influential functions to draw out an influential model of the foreign visitors". Then we draw a conclusion that the city of Beijing will lose 1, 382 110 foreign visitors due to SARS. Finally, we give a short composition to be printed on the local newspapers Keywords: filter; neural network; branching process 上接28页) Modeling the sars Epidemic Considering Self-cure Li Bei, XU Haixuan, GUo Jiajia Dalian University of Technology, Dalian 116024, China Abstract: In this paper, a SEluliR (susceptible, exposed, unisolated infectious, isolated infectious, recovered) odel with self-cure is built to model the SaRS epidemic. The problem is solved with two methods: one is ordi nary differential equation which we then come to a conclusion that self-cure indeed exists in the sars transmis- sion; the other is computer simulation based on the small-work network which we also absorb the basic ideas of he Sznajd and the cellular automation model, and then we discuss some parameters and the effects of vaccina last we analyze the epidemic situation in Beijing and estimate the results if control measures are taken 5 s later or Keywords: SARS; Self ary differential equation; Small- World Network: the Sznajd model; the ce lar automation model: simulation 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
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第20桊第7期 工程数学学报 JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS Dec.2003 文章编号:10053085(2003)07002906 SARS传播的数学原理及预测与控制 邹宇庭,郑晓练,缪旭晖 指导教师:谭忠 (厦门大学,福建厦门361005) 编者按:本文建立了SARS传播的具有负反馈的差分方程模型。用两个参数分别刻画疾病传播能力和对 疾病采取有效控制措施的能力,并用标准差趋于稳定来判定数据拟合的合理性,是本文的突出优 点。文章将这一方法用于北京,广州,山西和香港,均获得较好效果。 摘要:众所周知,SARS对中国社会带来了重大的影响。我们以北京地区4月到6月有关SARS的数据 为参考资料,就病毒的实际传播特征引入了电子线路中的负反馈的概念,建立了SARS传播的负 反馈系统,并在分析该系统参数实际意义的情况下,建立时间序列的模型。该模型将传染率定义 为时间的函数,以拟合数据和实际数据之间的总残差最小为目标,利用 matlab中的 fminsearch函 数模拟得到最优的模型参数。该模型可以较好的预测SARS的发展趋势,且可以就此趋势提出如 何控制SARS传播的措施。继而,本文通过模拟出在不同日期提前或滞后5天实施隔离政策所引 展趋势变化的曲线,分析了卫生部门实施隔离政策的日期对SARS发展趋势的影响。 在SARS对经济影响的这个问题上,本文适当选取医疗业具有代表性的17支股票,构造了医 疗板块指数,以此测度医疗业的经济表现。在传统的CAPM模型中,我们引入了虚拟变量,利用 oLS技术进行估计分析,检验出SARS这一事件对医药业的经济影响是正影响。该影响反映在医 疗版指数的日收益上,但这个影响是由SARS引起的,会随着SARS的结束而结束。 关键词:SARS;负反馈系统;时间序列模型;资本资产定价模型 分类号:AMS(2000)62M10 中图分类号:O212.3 文献标识码:A 1数学模型的分析与建立 1.1假设与符号说明 1)统计数据是可靠的;2)病人处于潜伏期时不传染他人;3)采取的所有控制措施对于阻 止SARS病毒的传播都是有效的。In到第n天为止累计确诊的病人数;Da:到第n天为止 累计的死亡人数;Sn;第n天的疑似病人数;Cn:到第n天为止治愈病人数;d:死亡率;g:治 愈率;S1:新谱病人与新增疑似病人的比值;S2:疑似病人转化为正常人的比率;K0:区域内 的自反馈参量;Fn:反馈变量;K:反馈系数。 1.2现在我们分析问题并建立相应的数学模型: 社会的反应往往是一个渐变的过程,会随疫情的变化而变化,是一个负反馈过程,比如 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
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