考虑自愈的SARS的传播模型 N——我们所研究区域的人口总数; S——易感类,该类成员没有染上SARS,也没有免疫能力,可以被传染上SARS E—潜伏期类,该类成员已经感染了SARS病毒,但尚处于潜伏期,还不是SARS患 者,不能把病毒传染给S类成员 J—患病未被发现类,该类成员已经成为真正的SARS患者,能够把病毒传染给S 类成员; 不感类数变数.皮为5重款点想53这二已 有免疫力,不再对其它成员产生任何影响 H——潜伏期天数; L—传染期天数; P—SWN模型中每条连接边“断键重连”的概率; J—SWN模型中每个节点被选中进行再次“断键重连”的选中概率 S类成员接触I类成员后被感染SARS的概率 2微分方程模型 2.1模型建立 我们把一个封闭区域内的人群完备的分成5类:S类、E类、I类、L1类和R类,设第t 天时五类成员的人数分别为S(t)、E 为N考虑自意因素,则各类成员之同[0[E0 的流动情况如下图所示 其中:a是患病人群每天接触并传染 lu(t) 易感人群的比例系数 g是SARS感染者的日发病率,是 R(t) SARS感染者的日自愈率; z是患病人群每天被隔离的比率,c 是免疫率; 借鉴以往微分方程建立传染病模型的思想4-61,我们得到如下的关于SARS传播的 SEⅠl,R微分方程模型 S+E+L+I+R=N E=Ol,s-gE-uE S≥0,E≥0,Ln≥0,I1≥0,R≥0 gE-zI其中, Ii=zl R=c:+ 2.2模型求解及结果分析 2.2.1参数意义及确定 (1)σ是患病人群每天接触并传染易感人群的比例系数 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
工程数学学报 第20卷 易知σ=λq。其中,λ为一天内一个患病者与他人的接触率,λ 每人每天平均接触人数 为一个易感者接触一个患病者后被感染的概率 (2)g是SARS感染者的日发病率,是SARS感染者的日自愈率 假定每个SARS感染者的实际潜伏期天数服从区间[1,H]上的均匀分布。也就是 说,SARS感染者以均等的概率在这H天之中的任何一天发病或者自愈。(H为 潜伏期天数上限)容易得到:g+μ= (3)z是患病人群每天被隔离的比率,反映了社会的警觉程度及政府措施的力度。 (4)c是免疫率,也就是患病人群每天病死率和治愈率之和。 易知:c=每天追愈和病死的人数,可以根实际数据得到。(由每天数据计算出当 天c值,其平均值即为所求) 2.2.2模型求解及结果分析 我们先做出公布的实际数据与时间的函数图象,然后调用 Matlab软件中的ode45函数 得到方程的解。对比这两组图,可以发现实际和理论存在着一定的差异。所以,我们必须通 过不断调整非确定性参数(a,g,p,z)来使实际图象和理论图象趋于一致。需要注意的是 公布的SARS日累计患病人数是I,(t)+R(t)-pE(t)的值,不包括未被发现的SARS患 病者In(t)的值。 (1)与公布数据的比较 我们以香港数据为例。查得香港总人口为670万,把N=6.7×106代入微分方程组约 束条件,并取初值I(0)=1,S(0)=N-1,E(0)=1(0)=R(0)=0(即认为起初有一个人 突然得病)。根据实际数据计算c=0.014。根据相关资料取H=10。在香港这样一个大都 市中,平均每人每天接触约几百人,而总人口为670万,且根据概率的定义q值应该在0 1之间,故a的数量级应为10-5。调整参数得到如图1结果 心在心 001200 图1对香港疫情的分析(实际数据从4月25日开始) 图2假设不存在自愈对结果的影响 可以看出方程的解较好的符合了实际数据。此时各参数的值为:a=0.000082,g=0. 000,.=0.099,z=0.4,C=0.014。a值基本符合我们的估计,结果是合理的。同时得到 g≤μ,也就是说绝大多数SARS感染者是自愈的,只有一小部分SARS感染者病发成为真 正的SARS患者,这与钟南山院士最新的研究成果也是一致的 (2)自愈现象对结果的影响 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
考虑自愈的SARS的传播模型 如果不考虑自愈的情况,即μ=0(此时g=0.1),仍以香港为例(c=0.014)。我们采取 极其严厉的措施,取z=100%(此时基本上每个SARS感染者一旦发病就立即被隔离)。在 这种最不利于SARS传播的情况下调整σ值,在a的意义允许的范围内,即使将其调到非常 小(a=0.0000002),仍然得到如图2所示结果。即:如果不存在自愈,则SARS流行时间的 跨度成倍增加起初疫情发展缓慢,后来突然爆发,患病人数激增至2.1×106,也就是说,在 如此严厉的隔离措施作用下,最终仍然有三分之一的成员都染上了SARS。这一结果显然 是与实际不符的,这正说明了自愈现象是确实存在的,而且对结果影响相当大。 (3)对其他地区数据的拟合 我们利用对香港的分析方法对其他城市的SARS传播进行分析。以台湾为例(台湾人 口为2270万),得到以下结果,此时参数取值为a=0.00001128,g=0.0001,=0 0999,z=0.4,c=0.045。(图略) 从图中可以看出我们的模型不仅适合香港的情况也可以很好的描述台湾的疫情传播。 对于不同地区,只要选取合适的参数都可以用该模型来分析。 3基于 Small-World Network的模拟模型 鉴于微分方程模型只能得到一个总量上的宏观描述,我们考虑人群内部的具体接触情 况,从模拟SARS具体传播过程的角度出发,提出了一个新的模型:即基于 Small-World Net work,并吸收 Sznajd和元胞自动机( cellular automation)模型思想的的模拟模型, 3.1模型建立及算法设计 1.1人群接触情况的描述 用 Small-World Network模型模拟现代社会网络8-11,把社会中的人们看成网络的节 点,把人们之间的接触关系表示为节点间的连接边,在流行病预测、及防范、控制策略等的研 究1-15上取得了不少成果。 我们从一个含N个节点的环状规则网络开始,每个节点向与它最邻近的K个节点连 出K条边。对于每一个节点,都使它与沿顺时针方向的K2个邻居节点以概率P“断键重 连”(即断开与原邻居节点的连接,而与另一个随机挑选的非邻居节点连接),并且保证没有 重复的边出现。这是对人群接触的静态描述。 在已经构造好的SWN网络基础上,每隔一段时间后,使所有节点都以概率J被选中 让选中的节点仍以概率P进行再次“断键重连”。注意不能与处于隔离期和免疫期(死亡者 无法接触,而病愈者人们则会自动疏远)的节点相连。这是对人群接触的动态描述,J度量 了网络内部节点间的流动程度。 3.1.2模型建立 设潜伏期上限为H天,假定SARS感染者等可能的在这H天中的任一天发病或自愈 根据概率知识计算得到,处于潜伏期第T天的SARS感染者转变的概率为-+1,设每 天转变的SARS感染者中自愈的概率为V,自然的,发病的概率为1-V。 设第t天时五类成员的人数分别为S(t)、E(t)、L(t)、I1(t)、R(t),该地区总人口为 N。一个易感者接触一个患病者后被感染的概率为Q,SARS患者从发病到被发现所经历 的平均时间,也就是传染期天数为L,SARS患者从被发现到最终治愈或死亡所需要的平均 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
第20卷 天数为M,则各类成员之间的流动情况如右图 所示: 概平Q 3.1.3算法 1-V 根据对SARS传播的具体分析,我们按照 以下步骤建立SARS传播的模拟模型: 第一步,构建一个总节点数为N,每个节 点的度为K,节点断键重连的概率为P,流动 程度为J的SWN网络 第二步,初始化所有节点的状态{ STATE,EFT,IFT,TRT},随机地选一个节点为Ln 类,其他节点均为S类;( STATE为节点的状态;EFT、IFT、TRT分别为潜伏、传染、治疗时 间,即为节点变成E、I、l1类后经历的时间) 第三步,在当前时刻t下遍历所有节点: 1)如果节点为I类,则 a)遍历该L类节点所有的邻居节点,若邻居节点为S类,则这个S类节点以概率Q 转变成E类,同时EFT变为1; b)IFT变成IFT+1,若此时IFT>L,则该节点转变成L类,同时TRT变为1; 2)如果节点为E类,则 a)该节点以概率一上+被选中,选中的节点以概率V转变成R类否则转变成 In类(同时IFT变为1); b)EFT变成EFT+1 3)如果节点为I1类,则TRT变成TRT+1,若此时TRT>M,则该节点转变成R类 4)在此遍历过程中,S、E、Ln类节点均以概率J被选中选中的节点以概率P断键重连 5)当前时刻t变成t+1; 6)回到第三步,或结束程序 3.2结果及分析 3.2.1对参数Q、L的讨论 时间(天) (1)L=10 (2)Q=0.1 图3SARS的实际传播率Q传染期天数L对疫情的影响 (1)Q、L对结果的影响 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
第7期 考虑自愈的SARS的传播模型 根据1中对构建SWN网络的要求:N》K》In(N)》1,我们取N=105,K=20。取P 0.02,M=30,H=10,将SARS的实际传染率Q传染期天数L、区域内人们的流动程度 J、SARS感染者的自愈率v作为可调参数。用当前实际患病人数L(t)+l(t)来表示 SARS传播的实际情况。 取J=0,V=0(即暂不考虑人员流动性及自愈),固定Q、L中的一个,讨论另一个取不 同值时对结果的影响。图4(1)、(2)为分别改变Q、L的情形。 图3(1)可以看出,当L一定的时候随着Q的增加,患病高峰期逐渐提前,患病人数 的峰值逐渐增大。也就是说,如果病毒实际传播性较强,Q值较大,该区域内一旦有人患 病,病毒很快地就传播开来。值得注意的是,Q有一个阀值Q,只有Q>Q时该传染病才 会在该区域内开始流行,否则该传染病就不能流行。如图,在L=10时,我们得到Q=0 从图3(2)可以看出,当Q一定的时候,随着L的增加,患病人数的峰值缓慢增大。也 就是说,SARS患者传染期L的增加将加剧SARS的传播。我们发现L也有一个阀值Lc, 如果L>L2,则SARS将大规模流行,否则就不能流行。如图,当Q=0.1时,L=7。 综上可得: ①患病人数的峰值随着Q的增大而迅速增大,而随着L的增大,患病人数峰值并没有 非常明显的改变。也就是说,患病人数峰值对Q的改变比对L的改变更加敏感 ②Q的减小将使高峰期推迟,而L对高峰期影响不大; ③Q、L都存在一个阀值,当其值小于阀值时,SARS不会大范围传播,当大于阀值时将 大规模流行; (2)在迭代过程中Q、L变化对结果的影响 时间(天) (1)Q改变L不变 (2)L改变Q不变 图4一段时间后采取措施对疫情的影响 初期人们对SARS并没有任何防范,Q和L的值都很大,一段时间后采取措施使得Q 和L减小。Q和L的值减小的越多,代表相应的措施力度越大。我们仍取J=0,V=0:取 L=12,,分别取0.09、0.11、0.13、0.15,保留=0.2的曲线作为对比,不同的对应的曲线见 图4(1);取Q=0.2,分别取3、6、7、8、10,保留=12的曲线作为对比,不同的对应的曲线见 图4(2);从图4(1)中可以看出,L不变Q减小时,在Q=0.1附近出现突变:Q<0.1时 患病人数在采取相应措施后立刻减少,并很快减到0;而Q>0.1时患病人数在采取措施 后仍然继续增加,只是上升的速度有所减缓,患病人数峰值有所减小,且高峰期推迟出现。 从图4(2)中可以看出,Q不变L减小时,在L’=5附近出现突变,L“>5时采取相应措施 能使患病人数峰值有所减小,但对高峰期影响不大。 2 01995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved