第1节最优性条件 考虑非线性规划的某一可行点X0),对该点的任一方向D来说,若存在实数 ′>0使对任意∈[0,]均有 f(X+λD)<f(X0 就称方向D为X0)点的一个下降方向。 将目标函数八X)在点X处作一阶泰勒展开,可知满足条件 Vf(rO))D<O 的方向D必为X0)点的下降方向 如果方向D既是X0点的可行方向,又是这个点的下降方向,就称它 是该点的可行下降方向。假如X0点不是极小点,继续寻优时的搜索方向 就应从该点的可行下降方向中去找。显然,若某点存在可行下降方向, 它就不会是极小点。另一方面,若某点为极小点,则在该点不存在可行 下降方向。 清华大学出版社
第1节 最优性条件 λ' 0 λ[0, λ'] (0) (0) f X D f X ( + λ ) ( ) (0) T f X D ( ) 0 考虑非线性规划的某一可行点X(0)，对该点的任一方向D来说，若存在实数 ，使对任意 均有 就称方向D为X(0)点的一个下降方向。 将目标函数f(X)在点X(0)处作一阶泰勒展开，可知满足条件 的方向D必为X(0)点的下降方向。 如果方向D既是X(0)点的可行方向，又是这个点的下降方向，就称它 是该点的可行下降方向。假如X(0)点不是极小点，继续寻优时的搜索方向 就应从该点的可行下降方向中去找。显然，若某点存在可行下降方向， 它就不会是极小点。另一方面，若某点为极小点，则在该点不存在可行 下降方向。 清华大学出版社
第1节最优性条件 定理1设X*是非线性规划(7-3)式的一个局部极小点,目标函数f(X)在 X*处可微,而且 g(X)在X*处可微,当j∈J g,(X)在X*处连续,当了 则在X*不存在可行下降方向,从而不存在向量D同时满足: Vf(X)D<o lvg(x)D>0.j∈J 清华大学出版社
第1节 最优性条件 ( ) j g X j J ( ) j g X j J * T * T ( ) 0 ( ) 0, j f X D g X D j J 定理1 设X*是非线性规划(7-3)式的一个局部极小点，目标函数f(X)在 X*处可微，而且 在X*处可微，当 在X*处连续，当 则在X*不存在可行下降方向，从而不存在向量D同时满足： 清华大学出版社
第1节最优性条件 12库恩一塔克条件 假定X*是非线性规划(7-3)式的极小点,该点可能位于可行域的内部,也 可能处于可行域的边界上。若为前者,这事实上是个无约束问题,X*必 满足条件 f(X)=0 若为后者,情况就复杂得多了 下面讨论当极小点位于可行域边界的情形。 清华大学出版社
第1节 最优性条件 * f X( ) 0 = 1.2 库恩－塔克条件 假定X*是非线性规划(7-3)式的极小点，该点可能位于可行域的内部，也 可能处于可行域的边界上。若为前者，这事实上是个无约束问题，X*必 满足条件 若为后者，情况就复杂得多了。 下面讨论当极小点位于可行域边界的情形。 清华大学出版社
第1节最优性条件 不失一般性,设X*位于第一个约束条件形成的可行域边界上,即第 个约束条件是X点的起作用约束(8(Xx’)=0)。若X*是极小点,则 V(X)=0必与V/(x)在一条直线上且方向相反。 否则,在该点就一定存在可行下降方向(图7-2中的X*点为极小点;X点不满 足上述要求,它不是极小点,角度β表示了该点可行下降方向的范围)。 上面的论述说明,在上述条件下,存在实数x1≥0,使 Vf(X)-%g1(X)=0 清华大学出版社
第1节 最优性条件 * 1 g X( ) 0 = * 1 = g X( ) 0 * −f X( ) 1 0 * * 1 1 − = f X g X ( ) ( ) 0 不失一般性，设X*位于第一个约束条件形成的可行域边界上，即第 一个约束条件是X*点的起作用约束( )。若X*是极小点，则 必与 在一条直线上且方向相反。 否则，在该点就一定存在可行下降方向(图7-2中的X*点为极小点；X点不满 足上述要求，它不是极小点，角度β表示了该点可行下降方向的范围)。 上面的论述说明，在上述条件下，存在实数 ，使 清华大学出版社
第1节最优性条件 若X*点有两个起作用约束,例如说有 81(Xx')=0g2(X)=0 在这种情况下,Vf(X)必处于Vg(X)和Vg2(X)的夹角之内。 如若不然,在点必有可行下降方向,它就不会是极小点(图7-3)。由此可 见,如果是极小点,而且X点的起作用约束条件的梯度Vg(x) 和Vg:(X)线性无关,则可将V/(X)表示成v(x)和vgx) 的非负线性组合。也就是说,在这种情况下存在实数1≥0和n20,使 Vf(X)-nVg(X)-12Vg2(X)=0 清华大学出版社
第1节 最优性条件 * 1 g X( ) 0 = * 2 g X( ) 0 = * f X( ) * 1 g X( ) * 2 g X( ) * 1 g X( ) * 2 g X( ) * f X( ) * 1 g X( ) * 2 g X( ) 1 0 2 0 * * * 1 1 2 2 − − = f X g X g X ( ) ( ) ( ) 0 若X*点有两个起作用约束，例如说有 在这种情况下， 必处于 和 的夹角之内。 和 线性无关，则可将 表示成 和 的非负线性组合。也就是说，在这种情况下存在实数 和 ，使 如若不然，在X*点必有可行下降方向，它就不会是极小点(图7-3)。由此可 见，如果X*是极小点，而且X*点的起作用约束条件的梯度 清华大学出版社