i 29 3W13 x4=d=24E1 将这些值代人方程(1.20)，连同W1=W2=W3=W,我们得到： D2=- 24E1g 5W13 和 T=.2n =2x√w。 24EI9 例题3假定第二个等于W的重量，加于第1.1节中卓先所讨论的图1.5a中弹簧k,和k 的接合点处，·试借瑞利法近似地确定该系统基本振型的角频率。 解：由于两个静止作用的重量，接合点移动2W/k:值，而端点移动2W1k:十W11值， 如果我们对这些位移采用一个为k:k2的共同分母，那么第一个值成为W(2k2)/k1,第二个 值成为W(22+,)/k,2。将这些项代人方程(1.20)得出： p2= 克1k9[(2k2)+(2k2+k:) W(2:)十(2k2+k1)2) 因而， k1k29(k,+4k2) p-V球（好干4k:+8 例题4，假想一个质量惯性矩为2I的第二个盘，加于图1,8内轴的长度中间处（觅第1,2 节)*。试用瑞利法估算旋转振动基本振型的角频率。 解：为了得到旋转位移，我们在该轴长度中间处作用数值上等于2Ia的扭矩，在端点处 作用数值上等于Ia的扭矩。这些扭矩在长度巾间处产生旋转位移3Ia/2.,在端点处产生旋 转位移31a/2k,+Ia/2k,=2Ia/k,(这里k,表示整个轴的旋转刚度)。将这些顶代入方程 (1.21),产生， p2=aC2I(31a/2,)+1(2Iak,)】 2I(31a/2k,)2+1(21a/k,) 因此， p=V路=0.7671 171 习题 组1.5 1.5一1一根均匀弯曲刚度的悬臂梁，带 有两个相等的荷重形，如图所示。试用瑞利法 计算自由横向振动的基本周期。其数据如下面 所给：W=1000磅，1=96英寸，E1=450× 112 2 10°磅-（英寸）2。 习题1,5…1 答：￥三0.271秒。 1.52一根具有挑臂的简支梁，带有荷重W、2W及W,如图所示。该梁的均匀弯曲 刚度E1=5×105蹄-（英寸）2，其分布质量与诸荷重相比非常小。试用瑞利法计算自由横向 ·即1/2处。·一译注
年30· 振动的基本局期。假设形=50磅，a=36英 寸。 2W 答：t=0.269秒。 1.5-3假设图1.18中的重量W1、形，和 形。代表一梭柱形梁集中于跨中处和四分之 一点处的分布重量。令每一个重量的大小为 习题1.5一2 w/4,试借瑞利法计算基本周期的近似值。 ,答 0.037V1g 1,5一4图中表示一根均匀截面悬臂梁的集中质量分析模型。试用瑞利法估算基本周 期。 w 答：t=1.84VE19 74 ∥4 wlf8 14 4 14 14 14 /4 14 习题1.5-4 习题1.5一5 1.5一5图中表示一根为固定端的均匀轴的集中惯量分析模型。试估算它旋转振动的第 一振型的角频率。 答：p=3.35V GJ 1.5一6考虑习题1.5一4中的系统，代表横截面积为A的棱柱形杆轴向振动的集中质量 分析模型。试用瑞利法，估算它轴向振动的第一振型的角频率*。 答：p=1.57/EA9 w/2 1.6强迫振动：稳态 在第1.1节中，我们研究了弹簧~质量系统的自由振动，并看到它的运动取决于初始条 件和它的物理特性k和W/9,这些特性确定它的固有频率。如果该系统受到别的影响，例 如随时间变化的力或指定的支承运动，那么动力反应变得较复杂。在许多实际情况中，我们 碰到作用于质量上的周期干扰力，对于这种情况的系统的反应称为强迫振动。 作为强迫振动的例子，考患弹簧悬挂着垂是为W的马达（图]，21），该马达被限于仅在竖 直方向移动。按第1.1节所讨论，该系统的固有角频率为p=Vk9订。现在假定马达以一 等角速率⊙开动着，还假定它的转子稍有不平衡，如图1.21中借A处一个偏心质量来表示。 这种不平衡将产生一个旋转离心力P,此力也将使该系统产生强迫摄动。除重力和弹簧力 ·此习题提到轴向振动，疑有误。—译注
31+ 外，我们现在要考虑旋转的力向量的竖直分量Psin⊙t。因而，运动方程成为， gx=W-(W+kx)+Psinot (a) 其中Psinot一项称为谐和施力函数。将下面 诸符号引进方程(a): kg p2= 和 Pg q-W (b) 我们得到： x+p2r=qsinot (1.22) 借假设x与sin@t成比例，得到该方程的特 解，亦即取： =Cssinot (c) 这里C,为一常数，它的大小必须选择使之满 1,21 足方程(].22)。将(c)代入该方程，我们求出： .9 C3=p2-o2 这样，所需要求的特解为： x-p-0 gsinof (d) 将此特解加到齐次方程(1.1)的通解（方程1,2）上，我们得到： gsinof x=C:cospt+C:sinpt+p (1.23) 此式包含两个积分常数，并代表方程 (1.22)的全解。 方程(1.23)中的前两项代表前 面所讨论的自由振动，第三项取决于 于扰力，它代表该系统的强迫振动。 可以看到，这后一种振动与干扰力具 有相同的周期T=2x/⊙。将符号(6) 用于方程(d)中，并且不去管自由 振动*，我们得到借下式定义的所调 稳态强迫振动： x-(骨-siao-7F） (1.24) 图1.22 因子(P/k)sin@t为千扰力Psin®t静力作用下所产生的变位，因子1/(1-@2/p)考虑此 ·自由振动连同强迫振动一起的影响将在下一节中讨论。 一译注
·32· 力的动力作用。这后一量的绝对值通常称为放大因子： B|-dypl (c) 我们看到B取决于颜事比⊙/P,该比值借系统自由振动的固有频率，去除干扰力的外加频， 率来得到。图1,22中，将放大因子B的值对频率比点绘了出来。可以看到，对于该比⊙/卫 为很小值时，亦即千扰力的频率与自由振动的频率相比为很小的情况时，那么放大因子近似 地为1，其挠度大致与力Psinot静力作用的情况相同。 当该比⊙/P接近于1时，放大因子和强迫振动的振幅迟速增大，对于ω=P时亦即干扰力 的频率与该系统的自由振动频率完全~致时，该因子和该振幅成为无穷大。这是为共振的条 件。强迫振动的振幅得到无穷大值，表示如果脉动力在原时间和原方向作用于报动系统上， 只要没有能量耗散，那么振幅无限地增大。在实际问题中，由于阻尼，我们总是会有能量耗 散的，能量耗数对强迫振动振幅的影响将在后面讨论（见第1,9节）。 当干扰力的频率增大超过自由振动的频率时，放大因子又成为有限者。它的绝对值随着 切/P比的增大而减小，当此比成为非常大时则接近于零。这样，当一高频率的脉动力作用于 物体上时，它产生非常小的振幅的撮动，在许多情况下，该物体可以考虑是保特不动的*。 考虑1/(1-切2/p)式的正负号，可以看到在⊙<P的所有情况下，此式为正，而且振 动着的质量的位移与干扰力沿相同方向。反 之，在⊙>P的所有情况下，该式为负·质量的 位移与该力成相反方向。在第一种情况下，其 振动说成与激发*同相，而在后一种情况下， 其反应说成不同相。 在上面讨论中，干扰力采取与sinot成比 例，如果采取与c0s@t成比例，则得到相同的 VNVV 结论。另外，借周期支承运动（或地面运动） 也可能产生强迫振动。例如，考虑图1.23中弹 簧悬挂的重量，假定弹簧的上端给一顺竖直方 向的简谐运动： x=dsinwt (f) 图1,23 如果我们从x。=0时的平衡位置度量所悬挂重量W的位移工，那么在任一瞬间t处弹簧的伸 长量为x一xg十8，弹簧中相应的力则为（父一xg)+W。这样，所悬挂重量的运动方程成 为： =w-[+(-] (9) 将x的（f)式代进去，并应用下列符号： kg pi=-W kgd 和 9o=W (h) 我们得到： z+p2x=qosinot (1.25) ·即可以考感为不会引起强迫振动。一译注 ”这里的“涨发”就是指干扰力。一译注
·33 它在数学上与前面所得的方程(1,22)祖同。因而，可以得出结论：对弹簧的上端给一简请 运动dsin⊙t相当于直接作用一千扰力(d)sinot,所有前面有关方程(l.22)的解的结论 也适用一这种情况。最后我们得出结论：我们又将得到，借下式定义的稳态强迫振动： x=(dsinut)(1-d7pr） (1.26) 方程(1.26)中dsi⊙t项，可以考虑为代表当支承位移很缓慢地（或静止地）发生时 质量的运动，因子1/(1一⊙2/p)考虑支承运动的频率非零这一事实。因而，对于任何这样 的问题，为了计算该系统的稳态反应，我们贝需要考虑由于支承的静力位移所引起质量的位 移。 有些情况下，讨论地面加速度要比讨论地面位移较为方便，因为有一种称为加速度计的 度量仪器已用来得出有关地面运动的资料。例如，地凝的地面运动，就是用典型地测娶和记 录地面加速度的三个正交分量（南一北、东一西和竖直方向的分量）来表达。所以，我们将 以给定的周期地面加速度，、代替周期位移重新研究地面运动问题。 现在假设图1.23中，弹簧的土端承受下列谐和加速度的条件： x=asinof (i) 对此问题，方程(9)的重新排列形式为： 9x+k(x-x)=0 (i) 为了将（；)式用于方程(j),需要下列坐标变换： x‘=x-xg 3=2-31 (k) 式中符号x代表质量对地面的柜对位移。从(k)式将x一x,和x代人方程()，并重新 排列，我们得到： x·+x=一W 9Te (1) 应用下列符号： p=9 和 9g=-a (n） 并将方程（：)代入方程(1），我们求出： 主·+p2x=qisine@t (1.27) 它在数学上与方程(1：22)和(1,25)相同。 方程(1.27)的解，仿照前面诸情况所熟悉的形式，我们可以得出结论：按相对坐标， 系统的反应〔如用(k)式所定义]与用等于一(W/g)asin⊙t的干扰力的作用所得相同。在这 种情况下，系统相对于运动支承的稳态强迫振动，借下式给出： (1.28) 除非可以得到初始地面位移和速度，否则质量的绝对运动是不可能计算出的。然而，这二事 实通常是不重要的，因为相对运动确定结构中的力（在此情况下结构为一简单弹簧）。 例题1试确定图1.8中的轴，由于殊动扭矩Msinot所产生的强迫扭转振动的振幅。 ,假设同一轴的自由扭转振动的频率f=10周/秒，施力频率@=10π弧度/秒，由于扭矩M(如 果静止地作用于轴上)所产生的扭转角等于0,01弧度