。24· Wa初 y:=6E1(6(7+a)-7y 应用瑞利法，并假设振动过程中，梁的左部任一点的最大速度，借下列方程给出： 或=总=806〔a(1+b)-s 式中y,为荷重和的最大速度，我们求出该部分的最大动能为： 52 23a28at7 29362+105b2-15621 (1) 按相同方式，考虑梁的右部，我]求出它的最大动能为： 8[《tg2+80-b0] 2g112a2 10a2 (u) 因而，对此问题，能量方程(1,13)成为： 、 (W+awa牛E四b》二 29 2 式中a和B代表(t)式和(u)式括号中的量。应用关系式。=卫y,我们得到下列振动角 频率公式： 31E7g P=Vw+aa0年6w)a () 例2参见图1.16中棱柱形悬臂梁，并假设W一0，试借瑞利法求出自由横向振动* 的近似周期。采取振动过程中梁的形状为梁的重量所引起的静力挠度曲线形状的假设。 解：对于梁上强度为w的均布荷重，在距固定端距离处的静力挠度将为： y=条(-2-6) (w) 其中9m=w4/8E1为自由端处的挠度。将(w)式代人方程(1.16)和(1.17)，并积分， 我们求出： (KE)x= 52w1 4050D2 (x) 和 (PE)=- l:y.= 5 a班 (9) 令（父）式与()式相等，得出： p=3.530V EI9 w 相应的振动周期为： 2元 w 3.530YE19 （2) 这种情况下，基本周期的精确值借方程()得出，我们看到瑞利近似法的误差约为 0.5%。 ·指上下振动。 一一译注
·25· 习题组1.4 1.4一1参见图1.16巾的悬臂梁，试用瑞利法求算W=0的极端情况下横向振动的周 期，亦即求端点处没有荷重的均匀梁的横向振动周期。假设振动过程中买的形状借下式给 出： =y（1-co52f） 正x 式中，为自由端处的挠度。注意这种假设的形状函数给出的近似周期的误差约为4%。 ,=6品 1.4一2如栗图1.15中梁的两端为嵌衙，而不是简支，试问在计算横向振动的固有周期 中，应加到跨中处重量形上其总重量的分数是多少？假设振动过程中梁的形状相当于荷重W 影响下的静力挠度曲线。 答：13/35。 1.4一3试用瑞利法计算重量为w1、弯曲刚度为E1的均匀梁自由横向振动的周期， ·假定该梁如前一习题一样为嵌图端。假设振动过程中，该梁保持与余弦曲线的全波相同的形 态。亦即，以梁的左端为原点，动力烧度曲线借下列方程来表达： 式中m为梁中央处的挠度。 :=g器 wli 1,4一4对早先习题1.1一6中所给的框架，假设每一竖直柱的重量为20磅/英尺，并铰 接于底端处。然后求弃对柱的质量作了修正的框架横向振动的固有周期。采用前面习题1.1 一6中所给的相同数据。 答：r=1.69秒。 B 1.4一5试问，在求算图中梁ABC 的横向振动的固有频率时，需要加到自由 端重量W上该梁均布重量的部分是多少？ 假设由于C处荷重产生的静力挠度曲线。 习题1.4-51 答：239/16801/7。 1.4一6假设图1.1a中的弹簧（第1.1节中已讨论），在其自身单位长度， 下悬挂着，并假设荷重W已移去，试用瑞利法估算弹簧的基本振型的角颜率。为此 用弹簧由于自身重量静止作用所产生的变位图式。 省，p-1.5V 1.4一7考感图1.5a中所示，并早在第1.1节中所讨论，惜两个串联的弹簧悬挂住的重 量W。令符号1，和w1代裴刚度为，的弹簣的长度和单位长度的重量，令I:和世2代表刚度为 2的弹簧的诸相应项。假设振动系统的形态为由于静力作用的重量W所引起的形状，试计算 由丁弹簧重量需要的修正项。 .r
.26· 答：0l经+3w:,k:(k1+:)+wl, 3(k1+k2) 1.4一8试确定加于图中1以 修正阶梯轴的质量惯性矩的表达式。 令符号1和i2代表轴的第1部分和第 2部分单位长度的质量惯性矩，令 ,1和，2代表它有们的旋转刚度。假设 扭转的变化相应于作用在盘上的静力 扭矩所引起的变化。 习题1.4-8 答：山b3,+311l,61(k+点)+， 3(k,1+k,2)9 1.4一9参见第1.2节中的习题1.29，试计算其图中飞轮边圈旋转振动的频率。对n 根径向辐条的质量作修正，假设每一辐条的重量为W,。 ngSoro 答：f=安aVw+7-r 1.4一10参见第1.2节中的例题2，试求算图1.10a中对径向辐条的质量作了修正的飞 轮旋转振动的频率。假设每一辐条沿其长度的均布质量为wr/9。 答：f=2xy .169B 〔W+(116/i105)wr)r3 1.5具有多个质量的梁和轴 作为瑞利法的推广，让我们考虑图1.18所示具有多个质量的无重量梁的分析。这种类型 的分析模型，可以与将梁的分布质量 “集中”于沿其长度上几个点处的概 W W 念联系起来，以近似表示其动力特 征。自然，一系列重量实际上可以考 虑为结构上存在一个荷重组那样。 对每一情况，令形、形：和W 代表图1.18中梁上的重量，而以91、 图1.18 y:和9，代表其相应静力位移。在弯曲 过程中储存于粱中的变形势能为： (P=名，：+合形：+安W, （c) 为了求算基太振型的角频率，我们可以写出该系统在其平衡位置时的动能为： (K.=20w好+20w,0+2g形，0 (b) 从第1.3节的方程，(1.14)，我们得到： 91=Py:9=Py2 y,=pys (c 这样，方程(b)可重新写为：
。27 (KEa三gW+W,经+W,) (d) 当令方程（·)与方程（d)相等，则得到下列表达p2的式子： p290+w9+w93 9(形：出1十用92+W343) (e) 一般来说，对于梁上n个质量，表达式(e)成为： 9∑w, p2= f。1 (1.20) w,好 i“1 它为前节中方程(1.18)的离散化形式。 方程(1.20)表明，为了估算具有几个质量的梁的振动频率或振动周期，只需要求重量 形、W2,…,形，和静力挠度1、92，…，。这后面诸量，借梁的挠度理论的方法 可以很容易地得到。如果该梁是变截面的或考虑杆件自身重量的影响，则需要将梁分成几个 部分，各部分的重量均应考虑为集中荷重。 附有几个刚体的轴的旋转振动，可以按类似于梁的形式来处理。为此，前节中方程 (1.19)的离散化形式为： a∑16 p2= (1.21) ∑1,69 je 在此表达式中，符号：代表第j个刚体由于静力扭矩组所产生的转动。对于第方个物体的这 种扭矩取数值上等于a1i,其中a=1弧度/秒2。 在导出方程(1.18)至(1.21)中的固有特性时，所用的势能和动能是根据该系统的平 衡位置。诸静力荷重通常不是自身平衡的，而需要适当的约束。然而，无约束系统的振动， 也可以借在已知墨位移点或估算零位移点处，应用假想约束，以瑞利法来研究。还应注意当 所施加的作用力与相应位移为相同指向时，方程(1.18)至(1.21)中所有分子项将为正。 这通常是为保证所计算的频率为真实频率的上界的情况。 例题1试月瑞利法计算图1.19所示其有两个质量的梁的基本振型的角频率。该梁的挠 曲刚度为EI,其分布质量路去不计。为了简化假设形1=形2=W。 解：在此情况下，假设振动过程中，梁保持类似于图1.19中所示，按相反方向作用的力 刊，和W2所引起的静力挠度的形状。其相应的静力挠度求得为： W,,W:18 5W13, y1= 48ET一÷ 3221一=96ET 92= e分+8= W,13 32E 将这些值代人方程(1.20)，我们得到： 、192E7g 257Ψ73
。28▣ W2 2 t/2 y 图1.19 例题2图1.20·代表三层楼的简化模型，其中诸楼板假设为刚性者，诸柱假设是无质 量的。试用瑞利法求出该建筑自由横向振动的近似的基本周期。为了简化，假设W:=W2= 形g=形，11=12=13=1，还假设每一柱的挠曲刚度为EI。 解：我们假设在横向振动过程中，该建筑保持类似于楷楼板重蟹形1、W,和形3为作用 于诸楼板处的水平力所产生的形式。为了求算诸楼板的横向挠度，我们首先考虑如图1,0b 中所示，由于第：层剪力H,作用，第：层楼顶面相对于其底面楼板产生的位移8：。由于每 一柱有一个大小为H:/2的剪力，并在其中间长度处有一个拐点，所以我们看到： 8,=2[H,12)2)° H.15 3EI J-2427 (f) 现在注意H,=W1=W,H2=W:+W2=2W和H。=W1+2+形3=3形，我们从方程 (f)得到： W!3 61=24EI 2W13 ò2=24ET 3形13 8a=24E1厂 y Wi 一 Hi W2 w3 i/2 3 54K4744274412224414462 H 6) (a) 图1.20 图1,20a中的静力挠度成为： 6W13 x1=d+82+01=24E1 5W13 x2=d,+82=24E1