·34- 解：在这种情况下，运动方程（见第1,2节）为： 币+p26=M sinot 式中为扭角，卫2=k,/I。强迫振动为： M M 6-7p-sint=虎，-07 p)sinof (0) 注意，M/k,=0.01和p=2π=20r,我们得到所需要求的振幅： 0.01 n= =0.0133弧度 (1-） 例愿2一个车轮以一水平等速度v沿一波形面上滚动，如图1.24所示。试确定借一弹 簧附于车轮轴上的荷重W强迫竖直振动的振 辐。假设在荷重W作用下弹簧的静力位移为 W 8:=3.86英寸，)=60英尺/秒，波形面借方 程9=dsinax/l来定义，其中d=1英寸，1= 36英寸。 解：考虑荷重W在弹簧上的竖直振动，我 们发现这种振动的角频率的平方为P2=9/8,: =100秒2。由于被形面，，滚动车轮的中心O 成竖直振动。 图1,24 假设在初始时刻(t=0),车轮的接触点位于x=0处，并令x一v1,我们以方程 y=dsin九vt/1来确定这种竖直振动。现在用方程(1.26)代人d=1英寸，w=πv/1= 20π秒1和p2兰100秒，得到荷重W的强迫振动，这种强迫振动的振幅为1/(4π2一1)= 0.026英寸。，在所给速率V=60英尺/秒时，车轮的竖直振动仅传给荷重W很小部分。如果我 们取轮的速率”为其系大小的子，我们得到®=5m,强迫振动的振幅成为11（π24-1）= 0.68炎寸。借进一步降低速度”，最后我们进入共振条件（当巴=P)，在此条件时，荷 重W将产生强烈的振动（在此讨论中略去了车轮的质量）。 例了参见第1.1节例题3中支撑着的平台，并假设地面沿x方向产生诸和加速度〔如 方程（i)所给)。试确定该平台强追振动的稳态振幅，如果a=200英寸/秒2和⊙=40弧度/ 秒。 解：方程(1,28)给出系统相对于地面的稳态反应，这个运动的振幅为： xx=k91-o21p2} (P) 从所参考的例题，我们得到W=38,600磅，k=250,000磅/英寸。所以， 9_(250,000)(386)=2500秒2 p=订= (38,600) 按相对坐标，等效静止作用力的振幅为： Wa_(38,600)(200）二20,000磅 g (386) 在这种情况下，放大因子为：
·35 日=1-07p=1-a601250j=2.78 1 最后，从方程（P)得到按相对坐标的强迫振动振幅为： x=（20:0820878》=0.222英寸 (250,000) 张拉钢丝中，由于此位移量所引起的应力变化为： 1V2kx.xV2(250,000)(0.222) 。。 4A .(4)(1/v2) =27,750磅/英寸 例题4假定竖直脉动力Psin@t,直接作用于图1.1a中弹簧上距支承距离C的位置 处。试问，面是W将产生什么样的稳态反应？ 解：考虑弹箭由两段组成，如图1.5a所示。长度为c的区段具有以k1定义的弹簧常 数，另一区段具有以2表示的弹簧常数。从第1.1节中的例题2，我们得到下列关系式： k=7 kik: :+k2 (9) 在任何时刻，通过无质量弹簧传给质录的力的值为： k kik:Psinot F(t)k:Psinot=kik: (r) 方程(，)中第二个因子，代表当施力函数静止作用时，该质量的位移。引进下列符号： P 小t=k: ($) 我们可将方程(r)写为 F(t)=kA,sinot (t) 此等效施力函数可以用来代替方程(1.24)中的Psinot,得出稳态反应： z=《4 inut)(1-d7pr） (u) 从此结果可以作出结论，仪需要考虑由于施力函数所产生的质量静力位移，而不管施力函数 的作用点。 习题组1.6 1.6一1如果图1.23中弹簧上端，有振幅d=1英寸、角频率ω=180秒1的竖直谐和 运动，试求出所悬挂荷宣形强追振动的振幅。假设此重量的静止位移6：=3英寸。 答：0.004英寸。 1.6一2图1.21中所悬挂的重量W,有一静力位移8，=1英寸。试问，.由于干扰力 Pcoswt所产生的强迫振动的振幅是多少？假设P=2磅，⊙=0π秒1，W=10磅。 答：0.128英寸。 1.6一3一根净跨1=12英尺、1=57.6 (英寸)的8英寸标准钢工字梁，简支子它的 端点，如图中所示。跨中放了一台重意W= 1000磅以转速1800转/分开动着的马达。由于 /2 t12 失衡，该马达产生P=500磅的旋转离心力。 习题1,6-3 试问，将产生的稳态强迫振动的振幅是多大？略去梁的质量
·36· 、答：0.0077英寸。 1.6一4一根横截面惯性矩1=4（英寸）的钢梁，如图示那样支承着，其自由端处承 受着W=600磅重量。如果支承A,借yw=dsi⊙t式定义产生微小的竖直振动，试问，重量 W的稳态强迫振动的振幅是多大？这里d=0.12英寸，⊙=30秒'。支承B不动，梁的质量 略去不计。 答：0.137英寸。 M() 习廊1,8-4 习题1.6一5 1.6-5有一个W=12千磅重量，置于由两根6英寸槽钢(I=2×17.4=34.8 (英寸))，背靠背地置放着的简支梁中央处（见图）。略去梁的质量，如果一个M= M1cos®t的脉动力矩，作用于所示梁的一端上，试求算形的稳态强迫振动的振幅。假设⊙= 0.90P,M1=10,000磅-英寸。 答：0.0457英寸。 1.6一6.有一台重量形=16,000磅的电动机，置放在两根平行工字钢梁的跨巾处，如习 题1.6一3图中所示。：每一梁为截面1=64.9（英寸）4净跨为12英尺的8英寸型钢。如果该电 动机以600转/分开动着，而且其转子不平衡达到在10英寸半径处为4磅的程度，试问稳态强 迫振动的振幅是多大？略去两个梁的质最。 答，3.95×10-英寸。 1.6一7参见习题1.6一6中的装置，假设转子的轴线高出电动机底面20英寸，电动机安 装在梁的顶翼缘上。如果电动机绕转子轴线的质量惯性矩为10,000磅-英寸-秒，试问，由 于力Pc0s@t的水平分量所引起稳态旋转振动的振幅是多大？ 答：5.15×106弧度。 1.6一8假设习题1.6一6中的电动机停止了，但是梁于A和B处的支承按方程()竖 直加速。试确定当a=40英寸/秒2、=0弧度/秒，该电动机相对于地面强迫振动的稳态 振幅。 答：0.0187英寸。 1.7强迫振动：瞬态 在前节中，仅考虑了方程(1.23)中代表强追叛动的最后一项。一般来说，干扰力作用 也使系统产生按方程.(1,23)中前两项所代表的自由振动。这样，实际的运动为两种具有不 同振幅和不同频率的谐和运动之迭加，形成一种非常复杂的运动。然而，由于阻尼作用（在 方程1.23的推导中没有考虑阻尼)，在经过一个短时间后自由振动消失掉，仅剩下稳态强迫 振动，它借干扰力作用保持不变。借图1.25中位移曲线图解来说明一种特定情况。在代表角 频率为⊙的强迫振动的虚线上，与具有较高角频率P而由于阻尼降低振幅的自由振动迭加起 来。这样，整个运动借实线给出，在稳态时，实线逐渐接近于虚线。这个运动的前一部分
·37· 亦即出现自由振动的开始几转，一般称为瞬态。详细研究这种运动往往是特别有意义的。 自由振动的振幅，可以借考虑初始条件从 方程(1.23)来得到。如第1.1节，我们令时 间t=0处x=x,和x=xa。将这些条件代入 方程(1.23)和它对时间的一次导数、我们得 到： C1=z0 花 c=号-98 (a) 2号 将这些值代人方程(1.23)，得到： 图1.25 =c+分sia时+p2o(sin ot--sin P4) 、9 (1.29a) 如果初始条件取为x。=x,=0,那么此方程简化为： (sinot-g-sinpe) 9 (1.29b) 方程(1.29b)代表对施力函数Psi@t的反应。可以看出，它由两部分组成，第一部分为 与sinwt成比例的稳态反应（前节中所讨论的），而第二部分由与sinp:成比例的自由炭动 组成。即使它是由两个诺和函数组成，但是它们之和不是一·个谐和运动，因为各个分量具有 不同的频率。 如果瓶力函数取为Pcos@t而不是Psin⊙t,那么用cos⊙t项代替方程(1.23)中的 sin@t。此情况下，初始条件得心下列积分常数： C1=-p01 和· C:=1 Jo (b) 将这些值代入解中，给出： cs(cos01-c0sPf) (1:30a) 如果初始条件取为x。=x,=0,那么此方程成为： 9 (cosof-cosp() (1.306) 在此情况下，不管⊙/P的比值如何，反应的自由振动部分具有与稳态相同的振幅。 特别关心的是施力函数的频率等于或很接近于系统的自由振动频率的情况，亦即⊙接近 P的情况。在研究这种情况时，让我们引进下列符号： p-0=2e (c) 式中e为一个很小的量。然而按下面等效方式重新写出方程(1.29b)(由于施力函数Psiωt 产生的反应)： xp9o[”生(simot-sinpt)+P2(+sinp时)】 (d) ·此解是C.C,Wang作出的，他是Califoraia,Santa Clara,Mechanical Engineering Dept, Interactive Technology的于事（私人通讯，l970年）
·38· 将三角恒等式代人方程(d)得出： ()co t 2 2 ()sin-(ap)t.co (e) 将(c)式用于方程(e),并简化，我们得到： gsinef e 1cos(p-et-egsia(p-e)t] (f) 对此方程求极限，·我们得到*： Lim :=--2p:-(picospt-sinpi) (1.310) 0+◆0 10- 主V2+i 10 15 20 p cos pt -(pt cos pt -sin pt)- .图1.26 按相角形式，此式成为： a=-p:Acos(p:-a) (g) 式中 A=-}yp+1 2 和 a=tan-1--1 (h) 这样，在⊙=P的极限情况下，振幅随着时间无限地增大，如图1.26所示。图中实曲线为方程 (1.31a)的无是纲曲线图，然而，虚曲线为仅取第一项的相似曲线图。可以看到，经过短 时间后，第一项代表总反应的良好的近似值如下： L2%-影cosp4 .(1.31b) e→0 图1.26中诸曲线说明，系统在无阻尼下共振时，强迫振动的振幅在理论上达到无穷大，但是 形成这种无穷大的振幅需要无限长的时间。这样，设计的机械在共振之上运转的情况下，穿 ·方程(1,31a)也可倍L'H⊙pita1挑则用F方程(1.28b)来得到。 一译注