·19- 等PV职 1.3一7‘有一圆柱体的半圆部分，在一水 平面上滚动而无滑动进行来回摆动（见图)。 如果圆柱半径为r,重心距为c,绕形心轴线 的回转半径的平方2=19/W,试确定微小振 动时的角频率。 海M2 答：p=V c9 2于(r-c)2 习题1.3一7 1.4瑞利法 在前面芳虑的所有背况下，其问题均借应用某些简化使之成为具有一个自由度系统振动 的最简单情况。例如，图1.1中所示的装置，弹簧的质量与重量W的质量相比略去不计，图 1,4中所示布置，梁的质量略去不计。还有在图1.8所示情况中，轴的质量惯性矩与盘相比略.， 去不计。虽然这些简化在许多实际情况下是足够精确的，但是在一些专门问题中详细考虑这 种近似简化的精确度却是必要的。为了确定这种简化对于振动频率的影响，现在将要讨论诺 尔德·瑞利提出的一种近似方法。在应用这种方法时，必须作有关振动过程中系统形态的某 些假设。然后从系统的能量宁恒考虑求得振动的频率。 我们取图1.1中所示并在第1.1节和第1.3节讨论了的情况作为一个应用瑞利法的简单 例子。如果弹簧的质量与荷重形相比是非常小的，那么其振型不会显著地受到弹簧质量的影 响。可以假设群簧上任何距固定端距离为c的一点处的位移x。（见图1.1a)与无质量的弹簧 的情况一样。这样， 1 ,(a) 式中1为处于平衡位置时弹簧的长度。 如果按上面所假设位移成线性变化，那么，该系统的势能则与无质量弹簧的情况相同， 只需要重新考虑系统的动能。令W表示弹簧单位长度的重量。于是长度为dc的弹簧单元的 质量为wdc/g,其最大动能为： wdc.cxma)i 弹簧的全部动能为： j广dc=站(） .(6) 此量要与重量W的动能加起来，因此能景方程(1.13)成为： 2 (c) 将此式与前节中方程(：)相比较，我们可以得到结论，为了估算弹簧的质量对固有炭 .3.W.S.Rayleigh,Theory of Sound,2nd ed,Vol.1,Macmillan,London,1894,Sec,88(1945 年该书是由Doveri出版社印于纽约》。 …用h4一
·20· 动周期的影响，只需要对重發加上弹簧重量的三分之一。 在弹簧位移按线性变化的假设下得到的这个结论，即使在弹簧的重量与W的大小等级相 同，也可以具有足够的精确度。例 如：当w1一0.5W时，近似解的误差 约为0.5%*。对于w1=W,其误差 约为0.8%，对于w1=2W,误差约为 3%。 考虑一根均匀横截面的梁，在中 12 112 央处承受重量为形的块体的振动情况 作为第二个例子（见图1.15）。知果梁 的重最！与荷重W相比是很小的， 图1.15 那么假设振动过程中梁的挠度曲线 与中央处有一集中荷载时的静力挠度曲线具有相同形状是足够精确的。因此，以9代表振动 过程中梁中心处的最大位移，我们将位于距支承距离x处的任一单元的位移表达为： (d) 梁本身的最大动能则为： 1/2 2g (e) 这项振动着的梁的动能要与置于中央处集中荷载的能盘W/29相加起来，以估算梁的重量 对振动周期的影响。在这种情况下，其振动周期将与中央处承受下列荷载的无质量梁相同： we务d 即使在极婉的配下，当形=0而等效重量（号）加！架中于梁的中央处，该近似方法的精、 确度对于实用来说也是足够精确的。 在该等效荷载作用于中央处时，梁的 挠度为： 17 13 将此值代入方程(1.3)，我们发现 其固有振动的周期为： t=2/g=0.632V- w入 图1.16 (f) 这种情况的精确解率*为： 2 (g) ·此问蹈较详细的讨论给于第5,5节中。 ·见第5、10节
·21· 可以看出，对于这种极端情况，其近似解的误差小于1%。 我们将考虑自由端处带有重量刑的棱柱形悬臂梁作为第三个例题。假设在振动过程中， 粱的挠度曲线的形状与在端点处平静地作用荷载所产生的相同。以表示荷载刊的最大位 移，我们可以按下面计算梁的动能： ∫8（位.）=器器 29 (h) 对于这种情况，振动的周期与端点处承受下列重量的无质量悬臂粱相同： '=W+0w 33 即使在u不太小的情况下，等效重量(33/140)！也可以应用。将该结果用于W=0的极端 情况，我们得到： 33 所得的振动周期则为： t=2x8。= 2π w 3.567VE1g () 同一情况的精确解*为： 2π w 3.515 ETg (j) 可以看到，近似解的误差约为1.5%。 在前面两种受载架的横向振动*情况下，我们假设报动过程中，梁的形状和荷载静力作 用所引起的挠度曲线相同。在无质量的梁的极端情况下，这是恰当的假定，但是，当梁具有 某种分布荷载时，则仅为一近似值。一般来说，如果我们对梁的弹性曲线假设任一适当形 状，那么，我们可以期望得到接近振动真实周期的近似值。自然，如果选得精确形状，那么 我们就会得到精确的周期，为了说明这点，让我们重新考虑图1.15中无重量W时的简文梁。对 于这种情况（见第5,10节），已知在振动过程中其相对子平衡位置的弹性曲线的精确形状为： y=y.sia于 (k) 如前面那样，方程()中符号9为梁中央处的最大挠度，y为位于距支承距离x处任一其 它点的挠度。 处于平衡位置时整个栗的动能为： (KE)= ∫(.simdx=器 2.2g (1) 为了计算梁相对于平衡位置的最大势能，我们将应用下列挠曲应变能的表达式** (PE)=- Er(dz (m) ·见第5,11节。 “这里说的横向发动是指栗的上下振动。 一译注 “见S.Timoshenko和D,H.Young合著Elements of Strength of Materials,第5版，Van Nostrand, Princeton,N.J.,1968,第22t页
·22· 将（克）式的二次导数代入方程(m),并进行所示积分，我们得到： (PE)=EI 479g (格) 最后，按照方程(1.13)，令〔1)式与(n》式相等，并回想ym=Pym,我们求出： p=yElg 4 (1.15) 相应的周期为t=2π/P,它得出如前面方程(9)所给的精強表达式。 如上所述，任何选择非精确形状的函数，将产生实际频率或周期的近似值。一个很好的 振动梁形状函数的选择，是为其自身重量平静作用序引起的挠度曲线。为了说明这个概念， 再次考患一个未加载的简支梁的情况，并假设均布重量出平静地作用，产生下列挠曲形状： 16 9=.5r(x‘-2{x+x) (0) 式中ym=5w1“/384E为户央处的挠度。 处于平衡位置时梁的动能为： (KE)2g wy'dx (1.16) 29 将(o)式代入方程(1.16)，并积分，得到： (KE)x=0.252gp2w8 (P) 梁相对于平衡位置的最大势能可借认为平静地作用分布重量所产生的外功等于粱中挠曲应变 能这一事实来得到。这样， (PE)m wydm (1.17) 将方程(0)代人方程(1.17)，并积分，得到： EI (PE).a=0.320w1yn=24.673ya (9) 令(P)式与(9)式相等，我们得到： p=9.87V EIg wl (r) 将此结果与借方程(1.15》所给的精确表达式比较，·我们发现特确到三位有效数。 方程(1.16)和(1.17)可以代入能量方程(1.13)，给出这类问题中p2的一般表达 式。这样： 9 wydx D2= (1.18) wy-dx 如果w沿梁的长度变化，那么方程(1.18)中诸积分内的w必须保留。然而，对于棱柱形 采，此项可以从该式中消掉。 必须注意，弹性梁代表具有无穷多个自出度的系统。它可如同一根弦一样进行各种振 动。在应用瑞利法中，选定挠度曲线的一定形状，相当于引进了某些使该系统简化为具有一
·23· 个自由度的附加约束。这种附加约束，只能增加系统的刚度，亦即增大振动的频率。因而， 在上面所考虑的情况中，按瑞利法所得的频率的近似值，多少要高于它们的精确馆。 在扭转振动的情况下（见图1.8），可以应用相同的近似法求算轴的愤量对整个系统的频 率的影响。令ⅰ表示触的单位长度上的质量惯性矩。然后假设其振型与无质量轴的情况相 同，距轴的固定端距离c处一横戴面的转角为c中/1，轴上一单元的最大动能将为： 整个轴的动能为： jedc=2(）〉 (s) 此动能必须与盘的动能加起来，以估算轴的质盘对振动频率的影响。这样，其振动周期则与 给点有-人质量惯性矩为1'=1+号的物体的无质量轴相同。 没有附上物休的轴的扭转振动，可按类似于梁的横向振动的方式来研究。根据导出梁的 方程(1.18)的相同步骤，我们建立轴的相似表达式。这样， al中dx p:- （1,19) ig'dx 式中中代表任一点处由于分布扭矩 作用所引起的扭角，该分布扭矩，采 取数值上等于单位轴长上ai。符号α 代表一角加速度（为了方便）可以取 为1弧度/秘2。 例题1试确定，等载面梁AB 支承荷重W的固有振动的频率（图 1.17):(a)假设梁的重虽可以略 去不计；(b》为感梁的重量，并应 用瑞利法。 图1.17 解：如果a和b为荷宣距梁两端的距离，那么荷重下的静力挠度6，=Wa2b2/3lEI。 弹簧常数取表达式k=31FI/b2,略去梁的质量，我们从下列方程求出振动的角频率： V名-g-V梁 为了计人梁的质量，我们考虑荷重W静力作用下梁的挠度曲线。粱左部上任一点距支承 A距离5处的挠度为： WbE 9=61E7fa(1+b)-专门 荷重W右边任一点距支承B距离7处的桡度，我们得到为： ·瑞利法的完整讨论可在下列书中找到：G.Tempiei和W.G,Bickley,Rayleigh's Principle,Oxford 1lniv,Press,1933Collatz,Z.angew.Math.u.Mech,Vol.19,1939,p.224