·14. 1.2一9有一重露为W、平均半径为r的 圆形钢边圈，借n根径向辐条附于一个固定住 半径为r。的中轴上，每一辐条受很高的初始拉 力S。（见图)。试确定该边圈旋转振动的周 期。假设每一辐条中的拉力，在微小振幅时保 持常数。诸辐条端点处均为饺接，不能经受弯 曲。 答： t=2aYWr(r-r0) ngSoro 】.2-10在1.1节例题3中，支撑着的整 习遐1.2一9 个平台（见图1.6）上，均匀分布脊重辐P一 38,600磅。试求算该系统绕通过其质量中心的竖直轴线的旋转振动周期。 答：t=0.0724秒。 1.3能量法 对于能量无耗散的振动系统，应用能量守恒隙理往往是有益的。采用这种方法，需要重 导出一个自由度系统自出振动的运动方程，而且要建立在自由振动过程中最大动能和势能的 等式。 为了在能量基础上进行分析，重新考虑图 1.1a中的弹簧-质量系统。如像我]前面那样， 路去弹簧的质量，那么该振动着的系统的动能 w+kx 为*： KE=W i g 2 (0) 在此情况下，该系统的势能由两部分组成： W (:)由于重量W的位置低于作为基准面的平 衡位置所引起重量W的势能，(b)因为位移 工，弹簧中所储存的应变能。这两种能量中的 第一种，简单地为*： PE=-Wx (b) 图1.11 为了求算第二种能壁，我们考虑图1.11中 所示的图解，它是弹簧力S为位移x的函数的曲线图。在平衡位置处，弹簧中的力为W, 而当位移为x时，该力为形十kx。因而，在产生位移工过程巾，弹簧内所储存的应变能 为：*率水 SE=W红+2 (c) *KE代表动胞，为英语kinetic euergy的缩号。一详注 *PE代表势能，为英语potential energy的溶写。一语注 SE代表应变能，为英好strain energye的缩写。一译注
·15· 将能量(a)、（b)!〔c)加起来，.根据能量守恒定律看到它们之和必定为常数， 我们得到： W工1免x -=常数 (d) 2 2 因为方程（)中的表达式为常数，所以它对时间的变化率必定等于零。这样， (e) ￥ 品（零会经）0 求算方程(ey中的导数，并用x去除，得到前面第1.1节中的运动方程： 王+kx=0 g (f 如果我们只关心求一振动系统的同有频被，那么完全不需要考虑运动方程。我们可以考 虑图1，】a中振动着的重最停止于其端点之一处，在该处的净势能为： kx之远 (PE)=2 (9) 而其动能为墨。反之，当该重量以最人速度通过其平衡位置（在x=0处）时，它的动能 为： (Kb)x=形 (h) 2 而其势能为零。因为总能最保袋为常数，所以最大动能必定等于最人势能。这样， (KE)mx=(PE)。× (1.13) 这个简单的关系式，对下求算损动系统的固有率或周期是有用的。对于图1.1a中的系统， 令表达式(9)与（)相等，给出： kmas 2 .2 (i) 假设用方程(1.6)给出下列形式的请和运动： x=Acos(pl-a) x=-Apsin(pt-a) 我们看到： Imax-pxmax (1.14) 将此xmx代人方程()，我们得到： o.v 振动周期为： =2需 如同前面第1,1节中所得到的。如果不是图1.1ū中的简单系统，而是包括多个运动部分的较 复杂系统，那么在计算凋期或频率中应用方程(1,13)是特别有利的。这种情况在下面诸例 题中说明。 例题1一位移计，由封闭着重量W的盒子组成，该重量支承于弹簧k:的上面，如图 1.12所示。该重量相对于盒子运动时，使指针BOA动起米，这指针枢接于O处，并借所示 另-…个弹簧：约束住。略去这两个弹簧的质量，试求算该系统的振动周期，假设它进行简谐 运动。 解：令了m为振动过程中重量W的最人速度。于是臂BOA的相应角速度为xm/b,如果
。16· 】为此臂绕O点的质量惯性矩，那么该系统在 其平衡状态时的总动能为： A (KE)=g品+L .（i) 92 622. 当该系统在以重量W的竖直位移x定义的 端点状态时，弹簧2将有一伸长靠cxm/b,于 是该系统的总势能为： k2 B (PB).=令旺+号（号}r (k) 按照方程（1,13)令(j)式与（点）式相 24244448772451274682172733 等，并从方程(1.14)应用简谐运动的关系式 xn=Pxm,我们求出角频率为： ☒1.12 /厂k1+(c/b)2k2 p=V-(79+(b-) (1) 于是振动的筒期为(1)式去除2x。 例题2有一个倒置着的摆，由一个位于长度为！的刚杆OA端点处重量为刑的球组 成，该刚杆较接于O处，并惜一柔性弹簧支承成竖直位置，如图1.13￠所示。略去该弹簧和 杆OA的质邀，试确定摆在图平面内微小旋转振动时的稳定条件和角频率卫。 解：令中。（见图1.13b)为简谐运动的振幅。对此端点位置，弹簧具有近似为4中.的伸 长量，‘而且重严W下降到平衡位置以下的下列距离处： 4=1-c0s0)则令16： (m) 因此，在端点位置处，该系统的势能近似地为： (PE).=名ka25-名Wd (r) 在竖直位置处（图.13a)，摆的角速度为本，动能简单地为号1d,其中1=/1 /g代表重量W绕O点的惯性矩。这样， (KE-2g日 (0) 令(n)式与(o)式相等，且从方程(1.14)应用关系式.=P中，我们求出角频率 为： p=9(-1 (p) 从方程(P)看到，仅当： ko2>WI (9) 我们得到实的P值。如果此条件不满足，那么摆的竖直平衡位置是不稳定的
17 0 (a) 图1,13 例题3，有一个重量为W、半径为”的实心圆形柱体，在半径为a的圆柱形面上无滑动 地滚动着，如图1,14所示。假设该滚动的圆柱 体进行简谐运动，试求它绕平衡位置作微小位 移幅度云动时的角频率P。 解：考虑圆柱位于借图1.14中角中m所定 义的端点位置处。在此位置时，圆柱的重心已 高出其平衡位置，上升了下列高度： (a-r1-cos6.)(a-r)号 (r) 其势能为： A (PE)=-号w(a-r) (s) 图1.14 在中央位置时，接触点A为圆柱的瞬时旋转中心，由于无滑动这一条件，它绕此点的瞬时角 速度为： (t) 因此，动能为合1：成为* K=士g号a, (4) 令(5)式与（“)式相等，并应用方程(1.14)，我们求出角频率： p=V 29 3(a-r) ()) 整国容1市中的（式知一恩注侵其中心扇质盘报性矩为若，所以期人点的别光1： =3形 2g* 9r1 29。一译注
·18· 习题组1.3 1.3一1图中表示具有与竖直线成一微小B角的旋转轴的重摆。试确定仅考虑球的重量 W时微小振动的频率，假设球的重量集中于其质心C处。略去诸轴承中的摩阻力。 答：p=VB9T 1.3-2试按下列数据，求算图1.12中系 统自由振动的固有频：W一5磅，：一2磅 /英寸，2=10磅/英寸，b=4英寸和c=2 英寸。将臂BOA视作总重量为形'=0.4磅的 均匀细长杆，并假设OA的长度为12英寸。 答：∫=2.72周/秒。 1.3一3当图1.13a中的系统，在竖直杆 的顶端带有重量形】=2磅时，所测得的频率为 90周/分。当带有重量W2=4磅时，阅得的频 率为45周/分。试问，恰使该系统成为不稳定 平衡状态时顶端处的重量形。是多少？略去杆 的重量。 习题1.3一1 答：W=6磅。 1.3一4如果图1.13：中的竖直杆，沿其长度均匀分布的总重量为W1,试确定该系统 的角颜率P。 :郡-（娜刀 1.3一5”图中所示的仪器，是用来记录竖直振动的，图中带有重量W的刚性框架AOB, 可以绕通过O垂直于图平面的轴线转动。试确定该重量在微小竖直振动时的角频率，略去框 架和弹簧的质量。 答：p=√9：a+R:(qtan@)西 W72 Ww fa ⊙ 习题1.3-5 习题1.3-6 1.3一6·有一重量为W的楼柱形杆AB,悬挂于两根相等钓竖直钢丝上（见图），在水 平平面内绕中心轴线进行微小的旋转振动。试确定这种振动的角频率