第四章重积分 第四章重积分 4-3三重积分的计算 4-3-1三重积分在直角坐标系下的计算 4-3-2三重积分在柱坐标系下的计算 4-3-3三重积分在球坐标系下的计算 4-3-4三重积分在一般坐标系下的计算 第十三讲三重积的计算 课后作业: 阅读:第四章第四节三重积分的计算pp114-123 预习: 第五节曲面面积和曲面积分pp.125-134 作业:习题4:pp.124-125:1;2;3;4;6;7;9;1l 微积分(m)第一次(第七周) 机考时间安排 时间 班级 监考负责人 7:40 第一场进场 800-9:00第一场 谭泽光班(182)、 谭泽光及其助教 张友金班(95) 张友金及其助教 9:00第二场进场 10:30 第三场进场 12:00第四场进场 13:30 笫五场进场 15:00第六场进场 16:30 第七场进场 说明: (1)考试时间:本周星期六,早七点四十开始进场,到下午六时结束;连续考七场,每 场约三百人,考试一个小时,换场时间半小时; (2)考试地点:开放实验室 (3)考试内容:多元函数及多元微分学; (4)任课老师负责通知各班学生考试时间,让学生按指定时间进场;,并告之学生进场只许带文具, 不得带书包,草稿纸进场时系里统一发(请各位自己领自己班的草稿纸)。 第三章三重积分的计算
第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 第四章 重积分 4-3 三重积分的计算 4-3-1 三重积分在直角坐标系下的计算 4-3-2 三重积分在柱坐标系下的计算 4-3-3 三重积分在球坐标系下的计算 4-3-4 三重积分在一般坐标系下的计算 第十三讲 三重积的计算 课后作业： 阅读：第四章 第四节 三重积分的计算 pp.114---123 预习： 第五节 曲面面积和曲面积分 pp.125---134 作业: 习题 4: pp. 124--125 : 1; 2; 3; 4; 6; 7; 9; 11. 微积分(III)第一次(第七周) 机考时间安排 时 间 班 级 监考负责人 7：40 第一场进场 8:00--9:00 第一场 谭泽光班(182）、 张友金班（95） 谭泽光及其助教 张友金及其助教 9：00 第二场进场 10:30 第三场进场 12:00 第四场进场 13:30 第五场进场 15:00 第六场进场 16:30 第七场进场 说明： (1) 考试时间：本周星期六，早七点四十开始进场，到下午六时结束; 连续考七场，每 场约三百人, 考试一个小时，换场时间半小时； (2) 考试地点：开放实验室； (3) 考试内容：多元函数及多元微分学; (4) 任课老师负责通知各班学生考试时间，让学生按指定时间进场; 并告之学生进场只许带文具， 不得带书包，草稿纸进场时系里统一发（请各位自己领自己班的草稿纸）
第四章重积分 4-3-1三重积分在直角坐标系下 的计算 y (1)直角坐标系下的体积元素 dv=dx dydz 1=⑩0(吃 d (2)不同积分次序的选择下的计算 dv=dxdydz 公式 =』ddj(xy D(x,y) 1= d=[(,,=)drdy D(x,nD 举例: 0.z≥0 例一:计算1=J-h,9=1yx+ys2,x+2ys6 第三章三重积分的计算
第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 4-3-1 三重积分在直角坐标系下 的计算 ( ) I = f x, y,z dv (1) 直角坐标系下的体积元素： dv = dx dy dz , ( ) I = f x, y,z dxdydz (2) 不同积分次序的选择下的计算 公式： ⚫ ( ) ( ) ( ) ( ) = z x y D x y z x y I dxdy f x y z dz , , , 2 1 , , ⚫ ( ) ( ) = b a D z I dz f x, y,z dxdy 举例： 例一：计算 I = z dv , + + + = , 4, 2, 2 6 0, 0, 2 2 y z x y x y y z z y x d z d x dy d v= d x d y d z z D(z) y D(x,y) x
第四章重积分 A(x43,x=2-y (xB那z),xB=6-2y AB=x8-x1=4-y,y=√4 1=[J=d= drdy f=de 4j4-y)=3j-y24-y=20 D+lABl d =sdzlldxd CD=4AB|=4-y=4-√4 D(=) D()d= cde 第三章三重积分的计算
第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 ⚫ I = z dv= ( ) − 2 4 , 0 y D x y dxdy zdz = ( ) + + − 2 2 6 2 4 2 1 x y x y y dxdy = ( ) ( )( ) 3 26 4 4 2 1 4 2 1 2 0 2 6 2 2 2 2 0 − = − − = − − dy y dx y y dy y y ; ⚫ I = z dv ( ) y CD AB D z 2 + = = ( ) D z z dz dxdy 2 0 , 2 CD = 4, AB = 4 − y = 4 − 4 − z = z D(z)dz 2 0 = − − − 2 0 2 2 4 2 8 4 z zdz z = ( ) − − − 2 0 2 0 2 2 4 2 1 4 4 z zdz z zdz = 3 26 2 3 32 − = D z A D(z) B C A ( xA ,y, z), xA=2-y B ( xB ,y, z), x B =6-2y AB x x y = B − A = 4 − , 2 y = 4 − z
第四章重积分 4-3-2三重积分在柱坐标系下的 计算 (1)柱坐标系下的体积元素 x= pCos y=pSin0 dv=pdpa dz 1=l/(, y,=)drdyd= JIs(oCos8, pSin0, =)added= 2(p,0,-) (2)不同积分次序的选择下的计算公式 2(o) 1=odpde j /(acos, ASin,=)ds p,) 1=d=f(acos, pSin@, -pdpde (3)举例: 例二,I=「h, (p,6,z) 其中Ω由曲面 半球面 柱面:x2+y2=4x 及平面z=0 所围成 解: pdpde dz de pv16-pdA -j(sm0-140=(3x-4) 第三章三重积分的计算
第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 4-3-2 三重积分在柱坐标系下的 计算 (1) 柱坐标系下的体积元素： = = = z z y Sin x Cos dv = d d dz , ( ) I = f x, y,z dxdydz = ( ) ( ) z f Cos Sin z d d dz , , , , (2) 不同积分次序的选择下的计算公式： ⚫ ( ) ( ) ( ) ( ) = , , , 2 1 , , z D z I d d f Cos Sin z dz ⚫ ( ) ( ) = D z b a I dz f Cos, Sin,z d d . (3) 举例： 例二， I = dv , 其中 由曲面: 半球面: 2 2 z = 16 − x − y , 柱面: x y 4x 2 2 + = 及平面 z = 0, 所围成. 解： I = dv = − Cos d d dz 4 16 0 2 = − Cos d d 4 0 2 0 16 = ( ) − − 0 3 1 3 64 Sin d = (3 4) 9 64 − z y x z (,, z) y (,) x
第四章重积分 4-3-3三重积分在球坐标系下的计算 (1)球坐标系下的体积元素: x= r Sin Cos0 y=r Sing Sine 二= rOSA 0≤q≤丌 0≤6≤2 dv=r Sing dr do de s中△ I=llf(x,y, =)xdyd= Is(Sino Cose, r Sing Sin e, cOso )y2drdode r,p,) (2)举例: 例三,g是上半空间中 球面:x2+y2+x2= 与锥面x2+y=3 所围的区域。 则:I=「dhv= =「 Tr2drdpdo 4 de sindo /rat Mr,=[3=dv=4 de sin dof(Cos O)dr =T 重心z坐标:2 第三章三重积分的计算
第四章 重积分 第三章 三重积分的计算 4-3-3 三重积分在球坐标系下的计算 (1) 球坐标系下的体积元素： = = = z rCos y r Sin Sin x r Sin Cos 0 2 0 r 0 dv r Sin dr d d 2 = , ( ) I = f x, y,z dxdydz = ( ) ( ) , , 2 , , r f r Sin Cos r Sin Sin rCos r drd d (2) 举例： 例三， 是上半空间中 球面: 4 2 2 2 x + y + z = 与锥面 2 2 2 3 1 x + y = z 所围的区域。 则： I = dv = = ( ) , , 2 r r drd d = 2 0 2 6 0 2 0 4 d Sin d r dr = (2 3) 3 8 − M = z dv xy = ( ) 2 0 2 6 0 2 0 4 d Sind rCos r dr = , 重心 z 坐标: (2 3) 8 3 = = + V M z xy