西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第九章 线性系统的状态空间分析与综合

③用待定系数法求e 由凯莱一哈密尔顿定理知 a0(D)+a1(1)+a1(D)41 对A求导得 te=a,(o) 联立求解上面两个方程得 a1()=e e"=a0(1)+a1(t)A e+ te 0 2 ④用信号流图法求e 将系统的信号流图变为图9-7,由梅逊公式知 xe(0)/ △=1+2s1+s x1(s)和x1(0)的关系为 x1(s)= 1×(1+2s-)x1(0) s+2 x1(0) s2+2s+1 x1(s)和x2(O)的关系为 图9-7 x1(s)= +2s+1 X2(S)和x1(0)的关系为 X2(s)=()(-)=-2+2s+1 S X2(s)和x2(0)的关系为 x2(s)=((-)=-2 x2(0) s2+2s+

·268· 图 9-7 ③ 用待定系数法求 e At 由凯莱－哈密尔顿定理知 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1   e a t a t a t t    对λ求导得 ( ) 1 1 te a t t   联立求解上面两个方程得                                                 t t t t t t t t t t t t t At t t t te e te e te te te te te e te e te e a t I a t A a t e te a t te 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 ④ 用信号流图法求 e At 将系统的信号流图变为图 9-7，由梅逊公式知 Δ＝1＋2s－1＋s－2 ( ) 1 X s 和 (0) 1 x 的关系为 (0) 2 1 2 ) (0) ( 1 2 1 (1 2 ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 x s s s s x s s s X s             ( ) 1 X s 和 (0) 2 x 的关系为 2 1 (0) ) (0) ( 1 2 ( ) 2 2 2 1 2 1 1          s s x s x s s s X s ( ) 2 X s 和 (0) 1 x 的关系为 2 1 (0) ) (0) ( ) ( )( 2 1 1 1 2         s s x s s x X s ( ) 2 X s 和 (0) 2 x 的关系为 (0) 2 1 ) (0) )( 1 ( ) ( 2 2 2 2 x s s s s x X s     

由 s+ 可得 +2s+1 S +2s+1s2+2s+1 因此 ()=L[(s 例9-8对例9-7中的系统,当输入量为()=sint,初始条件为y(0)=1,y(0)=0 时,求输出量y() 解:令 r=u+l 微分方程变为 y+2y+y=l X=y,x2=y x1=x: x2=) 写成矩阵形式 B 上题已求出 te 系统状态的初始值为 (0)j(0)10 输入为 (r=cost+sint 系统的转移状态方程为

·269· 由 X (s)  (s)x(0) 可得                   2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 2 2 2 2 s s s s s s s s s s s 因此                     t t t t t t te e te e te te (t) L [ (s)] 1 例 9-8 对例 9-7 中的系统，当输入量为u(t)  sin t ，初始条件为 y(0) 1, y(0)  0 时，求输出量 y(t) 。 解: 令 r  u  u 微分方程变为 y  2y  y  r 令 x  y x  y 1 2 , 有 1 2 2 1 1 2 2 y x x y x x r x x           写成矩阵形式 , 1 0 1 0 , 1 2 0 1                A  B C 上题已求出                 t t t t t t At te e te e te te e 系统状态的初始值为                   0 1 (0) (0) (0) (0) 2 1 y y x x  输入为 r(t)  cost  sin t 系统的转移状态方程为

r(r)dz y()=Cx(1)=Ce“x(0)+C[e4=)B(r)dr (1-1)e-0 +【-t)e (cosT +sinr)dr (1-1+r)e--1 =(1+r)e +l[(-r)e--](cosr+sinr)dr + te Int--cos t 例9-9太阳能加热系统的微分方程为 3x,+u+u 2x2+l2+d 这里1和u2是系统输入,d是系统的干扰。当l1=0,a2=1,d=0,初始条件为零 时,求系统响应 解:由题目知 A B d 有 0 x(0) 例9-10已知一线性定常系统的状态转移矩阵为 2 2 试求该系统的系统矩阵A 解:可用两种方法求A (1)由Φ(t)=L[S1-A知

·270·     e te t t e t e d d t e t e t e t e te t e t e te y t Cx t Ce x C e Br d x t e x e Br d t t t t t t t t t t t t t t t At A t t At A t cos 2 1 sin 2 1 2 3 (1 ) [( ) ](cos sin ) (cos sin ) 1 0 ( ) (1 ) (1 ) ( ) 1 0 0 1 (1 ) (1 ) 1 0 ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( )                                                                                                 例 9-9 太阳能加热系统的微分方程为： x u d dt dx x u u dt dx       2 2 2 1 1 2 1 2 3 这里 1 u 和 2 u 是系统输入，d 是系统的干扰。当 0 u1  ， 1 u2  ，d  0 ，初始条件为零 时，求系统响应。 解：由题目知                      d u u A B u 2 1 , 0 1 1 1 1 0 , 0 2 3 0 有               0 0 , (0) 0 0 2 3 x e e e t t At 则             1 ( 1) 3 1 ( ) ( ) 2 3 0 ( ) t t t A t e e x t e Bu  d  例 9-10 已知一线性定常系统的状态转移矩阵为                     t t t t t t t t e e e e e e e e t 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 试求该系统的系统矩阵 A。 解：可用两种方法求 A （1）由 1 1 ( ) [ ]    t  L sI  A 知

s2+3s+2s2+3s+2 s2+3s+2s2+3s+2 s+31 (s-A)=(s2+3s+2 2 2s+3 A=s 2-3 (2)由状态转移矩阵的性质知 d(t)=Ad(t),Φ(0) 因此有 01 A=Φ( 2-3 例9-11图9-8(a)所示电网络的输入端电压如图(b)所示,试求电流t(τ)的 表达式 e(t) 2E-- 解:(1)建立状态方程,由电路知识有 di(o R i()+l(1) 选t(τ)为状态变量,即令1=t(τ) dx l() R (2)系统的状态转移矩阵为e=et,可用两种方法求电流t(r) ①把输入电压表示成e(1)=E×1(1)+E×1(t-1),用拉氏变换的方法求解电流t(τ) 271·

·271·                                                                        2 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 ( ) ( 3 2) 2 3 1 3 2 1 3 2 3 2 2 3 2 1 3 2 3 ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 2 1 s s A sI s s s s sI A s s s s s s s s s s s s s s s s sI A s （2）由状态转移矩阵的性质知 (t)  A(t),(0)  I  因此有            2 3 0 1 ( ) t 0 A t  例 9-11 图 9-8（a）所示电网络的输入端电压如图（b）所示，试求电流（）的 表达式。 （a） （b） 图 9-8 （a）电路图 （b）输入电压 解：（1）建立状态方程，由电路知识有 ( ) 1 ( ) ( ) u t L i t L R dt di t    选（）为状态变量，即令＝（） ( ) 1 1 1 1 u t L x L R dt dx x     即 L B L R A 1   ,  (2)系统的状态转移矩阵为 t L R At e e   ，可用两种方法求电流（） ① 把输入电压表示成 ( ) 1( ) 1( ) 1 e t  E  t  E  t  t ，用拉氏变换的方法求解电流（）

②把整个过程看成两段,第一段是由x(0)转移到x(t),第二段由x2(t)转移到x(t) 这里用第二种方法计算。 对于第一段,有e)=E,0≤1≤h,按定常系统状态方程的求解公式有: i(O=e i(0)+e(-rBudr ei(0)+Be" edr E 对于第二段,有e(1)=2E,p1,初始状态为 E1。+E (t1)=(1)=[(0)--]e R R 于是 (0=e(-1x(L)+e(-rB2Edr -( 2E (L,)+e edr L E -) E 2E +|(0)- R R 例9-12已知矩阵A 求e4,sinA,A00 解:(1)求A的特征值 特征方程 f()=-4=x2-62+5=0 特征值为 1=1,2=5 (2)求非奇异线性变换矩阵P 对应A1和2的特征向量为 因此有 P A=P1P=/07 (3)计算e [1111e Pe

·272· ② 把整个过程看成两段，第一段是由 x(0)转移到 x(t2)，第二段由 x2(t)转移到 x(t)。 这里用第二种方法计算。 对于第一段，有 e(t)=E,0≤t≤t2，按定常系统状态方程的求解公式有： (0) ( 1) ) (1 ) 1 (0) ( )( (0) ( ) (0) 0 0 ( )                    t L R L R A A t L R t At A t L R t At A te R E e i E e e R L L e i e i Be e Ed i t e i e Bud       对于第二段，有 e(t)=2E，t>tv,初始状态为 R E e R E x t i t i t L R      1 ( ) ( ) [ (0) ] 1 1 于是 R E e R E e i R E e e d L E e i t i t e x t e B Ed t L R t t L R t At A t t L R t A t t A t 2 (0) 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1 1                              例 9-12 已知矩阵        2 3 3 2 A 求 100 e ,sin A, A A  解：（1）求 A 的特征值 特征方程 ( ) 6 5 0 2 f   I  A       特征值为 1, 5 1  2  （2）求非奇异线性变换矩阵 P 对应 1 和2 的特征向量为             1 1 , 1 1 因此有                          0 5 1 0 1 1 1 1 2 1 , 1 1 1 1 1 1 A P AP P P （3）计算 e A                                         5 5 5 5 5 1 2 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 e e e e e e e e e e e Pe P A A