西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第九章 线性系统的状态空间分析与综合

(4)计算sinA A=P(sin A 101「1 110 sin 52 +sin 5 -sin 1+ sin 5 5 sin 1+sin 5 (5)计算A0 P(A)P 1+500 2|-1+5 例 0010 A 0001 1000 试用凯莱一哈密尔顿定理计算A一A+2I。 解:系统的特征方程为 f(4)=1-A=2-1=0 由凯莱一哈密尔顿定理知 f(A)=A-1= 于是 A3+2=A3(A4-1)+2l=2l 例9-14已知矩阵 100 0A00 试利用状态转移矩阵的性质求e,并用特征值,特征向量法验证。 解:将A分为两个矩阵之和

·273· （4）计算 sinA                                         sin1 sin 5 sin1 sin 5 sin1 sin 5 sin1 sin 5 2 1 1 1 1 1 2 1 0 sin 5 sin1 0 1 1 1 1 sin (sin ) 1 A P A P （5）计算 A 100                                         100 100 100 100 100 100 100 1 1 5 1 5 1 5 1 5 2 1 1 1 1 1 2 1 0 5 1 0 1 1 1 1 A P(A )P 例 9-13 已知矩阵        1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 A 试用凯莱－哈密尔顿定理计算 A 7－A 3＋2I。 解：系统的特征方程为 ( ) 1 0 4 f   I  A     由凯莱－哈密尔顿定理知 ( ) 1 0 4 f A  A   于是 A A 2I A (A 1) 2I 2I 7 3 3 4       例 9-14 已知矩阵            0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 A 试利用状态转移矩阵的性质求 At e ,并用特征值,特征向量法验证。 解: 将 A 分为两个矩阵之和

100 0A00 00 A1+A2 1 000σ 1000 0200 0000 A2 00σ0 0001 000 0000 由于A1A2=A2A1,所以e4+=ee 对于矩阵A有 000 000 0001「0100 01000000 A 0 0010 0001 0100 000 是 0 00 000el 例9-15线性定常系统传递矩阵为

·274·                        0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 A A A A A         由于 A1A2  A2A1 ,所以 A A t A t A t e e e 1 2 1 2 ( )   对于矩阵 A 有 At A A t A t A t e e e e 1 2 1 2 ( )    而      t t t t A t e e e e e     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1                           0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ! 0 2 t t A t k t e k k k A t 于是      t t t t t t At e e te e e te e       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 例 9-15 线性定常系统传递矩阵为

G(s (S+1)(S+2) s+3 (1)求系统可控标准形实现,画出系统状态图 (2)用传递函数并联分解法,求系统对角形实现,画出系统状态图。 s+3 G(s)=(s+1)(s+2 (s+1)(s+2)(s+3)(s+1)(s+2) 3 s2+6s+91「0 s3+6s2+1ls+6s2+3s+2|1 利用传递函数直接分解法得可控标准形实现 001x+0 -6-11-6|1 23 s+1s+2 U(s) S+3 可得 y 2 x1-x2 y2

·275·           3 4 ( 1)( 2) 3 ( ) s s s s s G s （1）求系统可控标准形实现，画出系统状态图； （2）用传递函数并联分解法，求系统对角形实现，画出系统状态图。 解：（1）                               1 0 ( 1)( 2) ( 3) ( 1)( 2)( 3) 1 1 3 1 ( 1)( 2) 3 ( ) 2 s s s s s s s s s s G s                     1 0 3 2 6 9 6 11 6 1 2 2 3 2 s s s s s s s 利用传递函数直接分解法得可控标准形实现 x x u                 1 0 0 6 11 6 0 0 1 0 1 0 y x u              1 0 2 3 1 9 6 1 （2）                   1 0 3 1 2 1 1 1 ( ) s s s G s 令 3 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) 1 2 3       U s s X s U s s X s U s s X s 可得 x 1  x1  u x 2  2x2  u x   x  u 3 3  3 1 2 1 2 y  x  x y  x  u 2 3

100 20|x+1 00-3|1 故 00 控标准形,对角形实现对应的状态图分别如图9-9(a),(b)所示

·276· x1 x3 y2 x y1 2 故 y x u x x u                                 1 0 0 0 1 2 1 0 1 1 1 0 0 3 0 2 0 1 0 0  可控标准形，对角形实现对应的状态图分别如图 9-9(a)，(b)所示。 （a） u s 1 －1 s 1 －2 s 1 －3 2－1

图9-9 例9-16已知系统传递矩阵为 2(S+3) 求最小实现。 [2(s+3)(s+5)-4(s+1)(s+2) (s+1)(s+2)(s+5) [2s2+16s+30-4s2-12s-8 8s2+17s+10 为方便计,先求其转置实现 2s2+16s+301「0 8s2+17s+10-4s2-12s-84 利用传递函数直接分解法可得 0 x=001x+0 再对其进行转置,得出系统实现为 p0x+04 例9-17已知系统的输入输出方程为 4y+3y=i 试分别求出满足下述要求的状态空间表达式:

·277· (b) 图 9-9 例 9-16 已知系统传递矩阵为             5 4( 4) ( 1)( 2) 2( 3) ( ) s s s s s G s 求最小实现。 解：   0 4 8 17 10 [2 16 30 4 12 8] 0 4 ( 1)( 2)( 5) [2( 3)( 5) 4( 1)( 2)] ( ) 3 2 2 2                     s s s s s s s s s s s s s s G s 为方便计，先求其转置实现：                      4 0 4 12 8 2 16 30 8 17 10 1 ( ) 2 2 3 2 s s s s s s s G s T 利用传递函数直接分解法可得 x x u                 1 0 0 10 17 8 0 0 1 0 1 0 y x u                4 0 8 12 4 30 16 2 再对其进行转置，得出系统实现为 y  x  u x x u 0 0 1 0 4 2 4 16 12 30 8 0 1 8 1 0 17 0 0 10                        例 9-17 已知系统的输入输出方程为 y  4y  3y  u 6u  8u 试分别求出满足下述要求的状态空间表达式：