第3章线性系统的时域分析法 φ例题解析 例3-1设一阶系统的微分方程为 dy(o dr(o) +y(1) +r(1) d 其中τ,且T-τ<1,试证明系统动态性能指标为 T 延迟时间t4=[0.693+ln(-)T 上升时间t1=22T 调整时间1=3+(nr 证明:设单位阶跃输入为R)1当初始条件为零时,有 Y(sTS (s) 所以 r+1、11T-r Y(s) R(s)= y()=L[Y(s)=1- 根据定义,(1)当=时,y)=05=1--x 所以 ta=[0.693+n()T (2)求1(即y(1)从0.1到0.9所需的时间) 当y(t)=0.9=1 时,有12=Tln( l T (1)=0.1=1 时,有1=T 0.9 tr =t2-t1=TIn =2.2T (3)求调整时间
·42· 第 3 章 线性系统的时域分析法 例题解析 例 3-1 设一阶系统的微分方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) r t dt dr t y t dt dy t T 其中 T>τ,且 T-τ<1,试证明系统动态性能指标为: 延迟时间 T T T td [0.693 ln( )] 上升时间 t r 2.2T 调整时间 T T T t s [3 (ln )] 证明: 设单位阶跃输入为 R(s)= s 1 ,当初始条件为零时,有 1 1 ( ) ( ) Ts s R s Y s 所以 T t e T T y t L Y s Ts T Ts s s s R s Ts s Y s ( ) [ ( )] 1 1 1 1 ) 1 1 ( ) ( 1 1 ( ) 1 根据定义,(1) 当 t=td时, T td e T T y t ( ) 0.5 1 所以 T T T td [0.693 ln( )] (2) 求 tr(即 y(t)从 0.1 到 0.9 所需的时间) 当 T t e T T y t 2 ( ) 0.9 1 时,有 [ln( ) 0.1] 2 In T T t T 当 T t e T T y t 1 2 ( ) 0.1 1 时,有 [ln( ) 0.9] 1 In T T t T 则 t r t t T 2.2T 0.1 0.9 ln 2 1 (3) 求调整时间 ts
假设误差带宽△=5,则有 解得 t,=[3+( 例3-2已知一阶环节的传递函数为G(y)=-10 若采用负反馈的方法(图3-1) 0.2s+1 将调整时间t减小为原来的0.1倍,并且保证总的放大系数不变,试选择k和k的值 图3-1负反馈结构图 解:由一阶环节的传递函数知,其时间常数7=0.2,放大系数k=10。引入负反馈后,系 统的闭环传递函数为 Y(s) kG( R(s)1+kuG(s) 代入G(s)并整理得 10k Y(s)1+10k R(s)0.2 s+1 1+10k 因为调整时间t=3T(或4T),即仅与T成正比,根据题目要求可列出 =10(保持原放大系统) 0.2 0.02(时间常数缩小十倍 解得kr=0.9,k=10 例33设闭环系统为Φ(s)= 试在s平面上绘制下列要求特征根 s-+2L0s+0 可能的区域 (1)1>≥0.707,n≥2 (2)0.5≥5>0,4 (3)0.707≥5≥0.5,n≤2
·43· 假设误差带宽Δ=5,则有: T t s s e T T y t ( ) 0.95 1 解得 T T T t s [3 (ln )] 例 3-2 已知一阶环节的传递函数为 0.2 1 10 ( ) s G s ,若采用负反馈的方法(图 3-1) 将调整时间 ts减小为原来的 0.1 倍,并且保证总的放大系数不变,试选择 kH和 ko的值. R(s) Y(s) - 图 3-1 负反馈结构图 解:由一阶环节的传递函数知,其时间常数 T=0.2,放大系数 k=10。引入负反馈后,系 统的闭环传递函数为： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k G s k G s R s Y s H 代入 G(s)并整理得: 1 1 10 0.2 1 10 10 ( ) ( ) 0 s k k k R s Y s H H 因为调整时间 ts=3T（或 4T),即仅与 T 成正比,根据题目要求可列出: 时间常数缩小十倍） 保持原放大系统 0.02( 1 10 0.2 10( ) 1 10 10 0 H H k k k 解得 kH=0.9, k0=10 例 33 设闭环系统为 2 2 2 2 ( ) n n n s s s ,试在 s 平面上绘制下列要求特征根 可能的区域: (1)1>ζ≥0.707,ωn≥2; (2)0.5≥ζ>0,4≥ωn≥2; (3)0.707≥ζ≥0.5,ωn≤2. kH ko G(s)
解:在s平面上系统的极点特征根是:s1=-5cn± 2,on和阻尼角cosB 的关系如图3-2(a)所示。 (1)当1>≥0.707,n≥2时,有:1>cosB≥0.707.即0B≤45°(以负实轴为起点, 顺时针β为正,逆时针β为负),对称部分为特征根区域如图3-2(b)阴影部分所示 (2)当0.5≥>0,4≥6n≥2时,有:0.5≥c0sB>0,即600≤B<90,对称部分为 90<β<-609,特征根区域由3-2(c)阴影部分所示 (3)当0.707≥≥0.5,n≤2时,有:0.707≥c0sB≥0.5即45°≤B≤60°,对称部 分为-60≤B≤45,特征根区域如图3-2(d阴影部分所示 4、/1- 图 例3-4有一位置随动系统,结构如图3-3所示k=40,τ=0.1。(1)求系统的开环和闭 环极点;(2)当输入量r()为单位阶跃函数时,求系统的自然振荡角频率ωm,阻尼比ξ和系 统的动态性能指标t,t,σ% R(s) C(s) s(rs+ 图3-3位置随动系统结构图
·44· 解: 在 s 平面上系统的极点特征根是:s1,2=-ζωn±jωn 2 1 ,ωn和阻尼角 cosβ =ζ的关系如图 3-2(a)所示。 （1）当 1>ζ≥0.707,ωn≥2 时,有:1>cosβ≥0.707.即 0 0<β≤45 0(以负实轴为起点, 顺时针β为正,逆时针β为负),对称部分为特征根区域如图 3-2(b) 阴影部分所示. （2）当 0.5≥ζ>0,4≥ωn≥2 时,有:0.5≥cosβ>0,即 60 0≤β<90 0,对称部分为 –90 0<β<-60 0,特征根区域由 3-2(c)阴影部分所示. （3）当 0.707≥ζ≥0.5,ωn≤2 时,有:0.707≥cosβ≥0.5 即 45 0≤β≤60 0,对称部 分为-60 0≤β≤45 0,特征根区域如图 3-2(d)阴影部分所示. (a) (b) (c) (d) 图 3－2 例 3-4 有一位置随动系统,结构如图 3-3 所示.k=40,τ=0.1。(1)求系统的开环和闭 环极点;(2)当输入量 r(t)为单位阶跃函数时,求系统的自然振荡角频率ωn,阻尼比ζ和系 统的动态性能指标 tr,ts,σ%. R(s) C(s) - 图 3-3 位置随动系统结构图 s( s 1) k
解:系统的开环和闭环传递函数分别为 和d(s) s(0.ls+1) s2+10s+400 (1)开环极点为P1=0 s+10s+400=0 解得闭环极点为 P12=-5±19.365 (2)将闭环传递函数写成标准形式 有 Gn2=400 2ωn5=10 解得 Gn=20, 系统的动态指标为 B arccos arccos 0.25 06(当△=5) ∠n0.25×20 =0.8(当△=2 0.25×20 例3-5图3-4(a)为系统结构图,图3-4(b)为某典型单位阶跃响应.试确定k1,k,a R(s) s(s+a) (a)系统结构图 y
·45· 解: 系统的开环和闭环传递函数分别为 10 400 400 ( ) (0.1 1) 40 ( ) 2 s s s s s G s 和 (1) 开环极点为 P1＝0， P2＝-10 令 s 2+10s+400=0 解得闭环极点为 P1,2=-5±j19.365 (2) 将闭环传递函数写成标准形式 2 2 2 2 ( ) n n n s s s 有 ωn 2=400, 2ωnζ=10 解得 ωn=20, ζ=0.25 系统的动态指标为 0.8( 2) 0.25 20 4 4 0.6( 5) 0.25 20 3 3 0.094 20 1 0.25 3.14 arccos 0.25 1 arccos n 2 2 当 当 n n d rts t σ%= 2 1 e 100%=45% 例 3-5 图 3-4（a）为系统结构图，图 3-4（b）为某典型单位阶跃响应.试确定 k1,k2,a 的值. R(s) Y(s) - (a) 系统结构图 y(t) 2.18 2.0 ( ) 2 s s a k 1 k
(b)阶跃响应曲线 图3-4 解:因为 Y(s) k, k2 R(S) S+as+k R(S s- +as+k s-+as+k 所以 y(∞)=limy(1)=lims =k1=2 s++as+k. s 又因为 Gos)- K s(s+a) s(s+2o,) 所以 O 根据题意知 2.18-2 100%=9% 解得 =0.608 故 k2=o2=24463 a=25n=2×0.608×4946≈6014 例3-6已知系统的结构图如图3-5所示若n(1)=2×1(时,试求(1)k=1时,系统的超调 o%和调节时间t(2)当k不等于零时若要使%=20%试求k应为多大?并求出此时的 调整时间b3的值、(3)比较上述两种情况,说明内反馈ks的作用是什么 R(s) Y(s)
·46· t (b) 阶跃响应曲线 图 3-4 解: 因为 s as k s k k R s s as k k k Y s s as k k k R s Y s 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 所以 2 1 ( ) lim ( ) lim 1 2 2 1 2 0 k s as k s k k y y t s t s 又因为 ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 n n s s a s s k G s 所以 a k n n 2 2 2 根据题意知 2 1 100% 9% 2 2.18 2 % e 解得 ζ=0.608 tp=0.8= 2 1 n ωn=4.946(rad/s) 故 k2=ω2=24.463 a=2ζωn=2×0.608×4.946≈6.014 例3-6 已知系统的结构图如图3-5所示,若r(t)=2×1(t)时,试求:(1)kf=1时,系统的超调 量σ%和调节时间 ts;(2)当 kf不等于零时,若要使σ%=20%,试求 kf应为多大?并求出此时的 调整时间 t3的值,(3)比较上述两种情况,说明内反馈 kfs 的作用是什么. R(s) Y(s) 100 kfs ( 2) 0.5 s s