第5章线性系统的频域分析法 重点与难点 、基本概念 1.频率特性的定义 设某稳定的线性定常系统,在正弦信号作用下,系统输出的稳态分量为同频率 的正弦函数,其振幅与输入正弦信号的振幅之比A()称为幅频特性,其相位与输 入正弦信号的相位之差φ()称为相频特性。系统频率特性与传递函数之间有着以 下重要关系 G(o)=G(s) 2.频率特性的几何表示 用曲线来表示系统的频率特性,常使用以下几种方法: (1)幅相频率特性曲线:又称奈奎斯特( Nyquist)曲线或极坐标图。它是以O为 参变量,以复平面上的矢量表示G(o)的一种方法 (2)对数频率特性曲线:又称伯德(Bode)图。这种方法用两条曲线分别表示幅 频特性和相频特性。横坐标为ω,按常用对数lgω分度。对数相频特性的纵坐标表 示(),单位为“°”(度)。而对数幅频特性的纵坐标为L(O)=20lgA() 单位为dB (3)对数幅相频率特性曲线:又称尼柯尔斯曲线。该方法以为参变量,Q(O)为 横坐标,L()为纵坐标 3.典型环节的频率特性及最小相位系统 (1)惯性环节:惯性环节的传递函数为 其频率特性 G(jo)=G(ss=jo- To+
·145· 第 5 章 线性系统的频域分析法 重点与难点 一、基本概念 1. 频率特性的定义 设某稳定的线性定常系统，在正弦信号作用下，系统输出的稳态分量为同频率 的正弦函数，其振幅与输入正弦信号的振幅之比 A() 称为幅频特性，其相位与输 入正弦信号的相位之差() 称为相频特性。系统频率特性与传递函数之间有着以 下重要关系： s j G j G s ( ) ( ) | 2. 频率特性的几何表示 用曲线来表示系统的频率特性，常使用以下几种方法： （1）幅相频率特性曲线：又称奈奎斯特（Nyquist）曲线或极坐标图。它是以 为 参变量，以复平面上的矢量表示G( j) 的一种方法。 （2）对数频率特性曲线：又称伯德（Bode）图。这种方法用两条曲线分别表示幅 频特性和相频特性。横坐标为ω，按常用对数 lgω分度。对数相频特性的纵坐标表 示() ，单位为“°”（度）。而对数幅频特性的纵坐标为 L() 20lg A() ， 单位为 dB。 （3）对数幅相频率特性曲线：又称尼柯尔斯曲线。该方法以ω为参变量，() 为 横坐标， L() 为纵坐标。 3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 （1）惯性环节：惯性环节的传递函数为 1 1 ( ) Ts G s 其频率特性 1 1 ( ) ( ) T j G j G s s j
数幅频特 L(o)=201g √1+72 其渐近线为 0 L(o)=1-20lg(To)To≥1 在TO=1处,渐近线与实际幅频特性曲线相差最大,为3dB 对数相频特性 P() (5.3) 其渐近线为 T<0.1 g(To)0.1 Ta≥10 当To=0.1时,有 0=a+blg01=a-b (5.5 当T=10时,有 0°=a+blg10=a+b 由式(55)、式(56)得 4) Ta<0.1 (O)={-4°1g(107m)0.1≤To<10 (2)振荡环节:振荡环节的传递函数为 G(s) << T2S2+2ETs +1 146
·146· 对 数 幅 频 特 性 2 2 1 1 ( ) 20lg T L (5.1) 其渐近线为 20lg( ) 1 0 1 ( ) T T T La (5.2) 在T =1 处，渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为 3dB。 对数相频特性 () arctg(T) (5.3) 其渐近线为 90 10 lg( ) 0.1 10 0 0.1 ( ) T a b T T T a (5.4) 当T =0.1 时，有 0 a b lg 0.1 a b (5.5) 当T =10 时，有 90 a b lg10 a b (5.6) 由式（5.5）、式（5.6）得 a 45 b 45 因此： 90 10 45 lg(10 ) 0.1 10 0 0.1 ( ) T T T T a (5.7) （2）振荡环节：振荡环节的传递函数为 0 1 2 1 1 ( ) 2 2 T S Ts G s
其频率特性 25soj+(1-T2o2) 对数幅频特性 L(0)=-20g√-To2)2+4272o2 其渐近线为 0 To<I L() 401g(7o) 当5<0.707时,在O7=√1-252处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大,为 201g 对数相频特性 p(@)=-arctg 25or 1-To (3)不稳定环节:不稳定环节的传递函数为 G(s) 其频率特性 GUo)=G(s)\sjo Tay-1 对数幅频特性(0)=201g+To2 其渐近线为 To<1 La(o -20lg(1o)T≥1 对数相频特性为(O)=-180°+ arct(To) 其渐近线为
·147· 其频率特性 2 (1 ) 1 ( ) ( ) | 2 2 Ts j T G j G s s j 对数幅频特性 2 2 2 2 2 2 L() 20 lg (1 T ) 4 T (5.8) 其渐近线为 40lg( ) 1 0 1 ( ) T T T La (5.9) 当 0.707 时，在 2 T 1 2 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大，为 2 2 1 1 20lg 。 对数相频特性 2 2 1 2 ( ) arctg T T （3）不稳定环节：不稳定环节的传递函数为 1 1 ( ) Ts G s 其频率特性 1 1 ( ) ( ) | T j G j G s s j 对数幅频特性 2 2 1 1 ( ) 20lg T L 其渐近线为 20lg( ) 1 0 1 ( ) T T T La 对数相频特性为 () 180 arctg(T) 其渐近线为
180° T<0.1 (a)={-180°+45°g(1070)0.1s7<10 Ta≥10 (4)不稳定环节:不稳定环节的传递函数为 T2s2-273s+1 其频率特性 G(o)=G(s)l=(1-72a2)-2Toy 对数幅频特性 L(o=201g 45T 其渐近线为 0 T<1 L() -40g(To)70≥1 对数相频特性Q(O)=-360°+ arct 25To 各典型环节的奈奎斯特图,零极点分布图及伯德图分别如图5-1、图5-2及图5-3 所示。表5-1给出了典型环节频率特性的汇总 (5)最小相位系统:开环稳定的系统称为最小相位系统。 4.奈奎斯特稳定性判据 反馈控制系统闭环极点在s的右半平面的个数 式中P为系统开环极点在s右半平面的个数:N为开环幅相曲线(O∈(0,+∞) 逆时针包围点(-1,j0)的圈数 N=N-N 式中N为正穿越次数和正半次穿越的和;N为负穿越次数和负半次穿越的和。 判断:若Z=0,则系统稳定;若Z>0,则系统不稳定。 148
·148· 90 10 180 45 lg(10 ) 0.1 10 180 0.1 ( ) T T T T a （4）不稳定环节：不稳定环节的传递函数为 2 1 1 ( ) 2 2 T s Ts G s 其频率特性 T T j G j G s s j (1 ) 2 1 ( ) ( ) | 2 2 对数幅频特性 2 2 2 2 2 2 (1 ) 4 1 ( ) 20lg T T L 其渐近线为 40lg( ) 1 0 1 ( ) T T T La 对数相频特性 2 2 1- T 2 T ( ) 360 arctg 各典型环节的奈奎斯特图，零极点分布图及伯德图分别如图 5-1、图 5-2 及图 5-3 所示。表 5-1 给出了典型环节频率特性的汇总。 （5）最小相位系统：开环稳定的系统称为最小相位系统。 4. 奈奎斯特稳定性判据 反馈控制系统闭环极点在 s 的右半平面的个数 Z P 2N 式中 P 为系统开环极点在 s 右半平面的个数；N 为开环幅相曲线（ ∈（0，+∞）） 逆时针包围点（-1，j0）的圈数。 N N N 式中 N 为正穿越次数和正半次穿越的和； N 为负穿越次数和负半次穿越的和。 判断：若 Z 0 ，则系统稳定；若 Z 0 ，则系统不稳定
正穿越:随着O的增大,开环幅相曲线逆时针穿越点(-1,j0)左侧的负实轴,记 为一次正穿越。 负穿越:随着ω的增大,开环幅相曲线顺时针穿越点(-1,j)左侧的负实轴,记 为一次负穿越。 半次穿越:开环幅相曲线起始于(或终止于)点(-1,j0)左侧的负实轴。若沿逆 时针方向离开(或终止于)负实轴,记为半次正穿越;若沿顺时针方向离开(或终 止于)负实轴,记为半次负穿越。半次穿越次数应为1/2 5.稳定裕量 当开环系统稳定时,系统相对稳定性由下述两个指标来度量: (1)幅值裕量h:当系统开环相频特性为-180°时,系统开环频率特性幅值的 倒数定义为幅值裕量,所对应的频率称为相角交界频率。即 h IGUOHGO,I (2)相位裕量γ:当系统开环频率特性的幅值为1时,系统开环频率特性相角与 180°的和定义为相位裕量,所对应的频率ω_称为系统截止频率。即 y=1809+∠G(o)H(0) O满足|G(o)H(o2)=1 6.对数频率稳定性判据 按以下三种情况分别讨论系统的稳定性问题。 G(j∞)=0∠-90 (a)G(s)=-1 Ts+1
·149· 正穿越：随着 的增大，开环幅相曲线逆时针穿越点（-1，j0）左侧的负实轴，记 为一次正穿越。 负穿越：随着 的增大，开环幅相曲线顺时针穿越点（-1，j0）左侧的负实轴，记 为一次负穿越。 半次穿越：开环幅相曲线起始于（或终止于）点（-1，j0）左侧的负实轴。若沿逆 时针方向离开（或终止于）负实轴，记为半次正穿越；若沿顺时针方向离开（或终 止于）负实轴，记为半次负穿越。半次穿越次数应为 1/2。 5. 稳定裕量 当开环系统稳定时，系统相对稳定性由下述两个指标来度量： （1）幅值裕量 h ：当系统开环相频特性为-180°时，系统开环频率特性幅值的 倒数定义为幅值裕量，所对应的频率 g 称为相角交界频率。即 | ( ) ( ) | 1 g g G j H j h （2）相位裕量 : 当系统开环频率特性的幅值为 1 时，系统开环频率特性相角与 180°的和定义为相位裕量，所对应的频率 c 称为系统截止频率。即 180 ( ) ( ) c c G j H j c 满足| ( ) ( ) |1 c c G j H j 。 6. 对数频率稳定性判据 按以下三种情况分别讨论系统的稳定性问题。 1 1 ( ) ( ) Ts a G s (a ) G ( j0) 1 0 G ( j ) 0 90