第8章非线性控制系统的分析 例题解析 例8-1设非线性系统具有典型结构,试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想 继电特性(见图8-1(a)对系统稳定性的影响 图8-1稳定性分析 解:由等效增益定义K=y/x知,等效增益曲线如图8-1(b)所示,其中Kn=M/Δ 设系统不存在非线性时,临界稳定增益为K,于是 ①若K>Km,如图8-1(b)所示,则因实际增益小于临界增益Kc,所以系统稳定 ②若K<Km,如图8-1(c)所示,其中xo=M/,则当x<xo时,因K>Km,系统不 稳定,x发散;当x增加至使x>x时,此时K<K,系统稳定,x收敛;当x减小至使 x<xo时,重复上述过程。可见,在这种情况下,系统将出现以x为振幅的自激振荡 ③原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后,改善了系统的稳定性。不论原系 统是否发散,现系统都不会发散,但可能产生一个以x为振幅的自激振荡。 例8-2试求图8-2所示非线性环节的描述函数 (b)
·43· 第 8 章 非线性控制系统的分析 例题解析 例 8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想 继电特性(见图 8-1(a))对系统稳定性的影响。 图 8-1 稳定性分析 解：由等效增益定义 K y / x 知，等效增益曲线如图 8-1(b)所示，其中 K m M / 。 设系统不存在非线性时，临界稳定增益为 Kc，于是 ① 若 Kc>Km，如图 8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益 Kc，所以系统稳定 ② 若 Kc<Km，如图 8-1(c)所示，其中 x0=M./Kc，则当 x<x0时，因 K K m ，系统不 稳定，x 发散；当 x 增加至使 x>x0时，此时 K K m ，系统稳定，x 收敛；当 x 减小至使 x<x0时，重复上述过程。可见，在这种情况下，系统将出现以 x0为振幅的自激振荡。 ③ 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。不论原系 统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以 x0为振幅的自激振荡。 例 8-2 试求图 8-2 所示非线性环节的描述函数。 （a） （b）
图8-2非线性环节 解:(1)对于图8-2(a),因为y=x3,x= Xsin ot且单值奇对称,故 B yin adot x'sinatdort =4 X3 sin otdot==X B N(X=-+j 图8-3 (2)对于图8-2(b),因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联,所以 K 例8-3试将图8-4(a),(b)所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联 的典型结构。 (b) 图8 解:(1)G1与G是小回路的负反馈,则 1+G,G 从而得典型结构,见图8-5。 N 1+201 图8-5
·44· 图 8-2 非线性环节 解：（1）对于图 8-2（a），因为 y x , x X sint 3 且单值奇对称，故 A1＝0 3 2 0 3 4 2 0 3 4 2 0 4 3 sin 4 sin 1 sin 1 B1 y td t X td t X td t X 1 1 2 4 3 ( ) X X A j X B N X 图 8-3 （2）对于图 8-2（b），因为图示非线性可以分解为图 8-3 所示两个环节并联，所以 K X M N X N X N X 4 ( ) ( ) ( ) 1 2 例 8-3 试将图 8-4（a），（b）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联 的典型结构。 （a） （b） 图 8-4 解：（1）G1与 G2是小回路的负反馈，则 1 2 1 1 G G G G 从而得典型结构，见图 8-5。 图 8-5
(2)在图8-4(b)中,先将主反馈回路与G1连结构成闭环,得到 G再与H1串联得 G=GH 1+G, 最终得到典型结构,见图8-6(a),(b)。 ((3) His 1+() (b) 例8-4系统结构图如图8-7所示。试归化为一个非线性环节与一个线性部分串联 的典型 Is +1 G 解:(1)求线性部分的传递函数G(s) 1)串联后做为G2的反馈通道 H=GG.= (0.1s+1)(s+1) 见图8-8 1)线性部分的反馈回路等效为线性部分G (s),如图8-9所示
·45· 图 8-8 （2）在图 8-4（b）中，先将主反馈回路与 G1连结构成闭环，得到 1 1 1 G G G G 再与 H1串联得 1 1 1 G HG G G H 最终得到典型结构，见图 8-6（a），（b）。 （a） （b） 图 8-6 例 8-4 系统结构图如图 8-7 所示。试归化为一个非线性环节与一个线性部分串联 的典型。 图 8-7 解：（1）求线性部分的传递函数 G（s）： 1）串联后做为 G2的反馈通道 (0.1 1)( 1) 20 1 3 s s H G G 见图 8-8。 1）线性部分的反馈回路等效为线性部分 G （s），如图 8-9 所示
G(s)= 1+G2H1+G1G2G3 (0.1s+1)(s+1) S(0.ls+1)(s+1)+20 (1)归化的典型结构,见图8-10 y N(E) G G(s 1+GG,G3 图8-9 例8-5将图8-1所示的非线性系统简化成非线性部分N(A)和等效线性部分G(s) 相串联的典型结构(以便应用描述函数法)。写出等效线性部分的传递函数。 解:对于图(a),可简化成图8-12,再化为图8-13。 Gs) HIs (b) 图8-11 =0 1+H(s) 图8-12 图8-13 等效线性部分的传递函数为 G(s)=G1(s)1+H(S) 对于图(b),可简化成图8-14,再化为图8-15 G(s>hC r=0+ H,(s)
·46· (0.1 1)( 1) 20 (0.1 1)( 1) 1 1 ( ) 1 2 3 2 2 2 s s s s s G G G G G H G G s （1） 归化的典型结构，见图 8-10 图 8-9 图 8-10 例 8-5 将图 8-11 所示的非线性系统简化成非线性部分 N(A)和等效线性部分 G(s) 相串联的典型结构(以便应用描述函数法)。写出等效线性部分的传递函数。 解：对于图(a)，可简化成图 8-12，再化为图 8-13。 （a） （b） 图 8－11 图 8-12 图 8-13 等效线性部分的传递函数为： G(s)=G1(s)[1+H1(s)] 对于图(b)，可简化成图 8-14，再化为图 8-15
图8-14 图8-15 等效线性部分的传递函数为:G(s)= G1(s)H1(s) 1+G1(s) 例8-6试确定图8-16所示非线性环节的描述函数。 (1)将图8-16所示非线性特性分解为典型特性之和,见图8-17 由非线性可知,并联非线性环节其描述函数代数相加,故 N(X)=N1(X)+N2(X) (2)查表求出典型非线性特性N1(X),N2(X N1(X)为典型继电特性,其描述函数可据表 查出M(x)≈4 zN2(X)=K是放大环节 (3)求非线性环节的描述函数N(X),即 N(X)=N(X)+N2(X)=4M+K 图8-16 M + 例8-7设非线性系统如图8-18所示,试讨论参数T对系统自振的影响。若T=0.25 试求出输出振荡的振幅和频率 -当 1+s 图8-18
·47· 图 8-16 图 8-14 图 8-15 等效线性部分的传递函数为： 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 G s G s H s G s 例 8-6 试确定图 8-16 所示非线性环节的描述函数。 （1）将图 8-16 所示非线性特性分解为典型特性之和，见图 8-17。 由非线性可知，并联非线性环节其描述函数代数相加，故 ( ) ( ) ( ) N0 X N1 X N2 X （2）查表求出典型非线性特性 N1（X），N2（X）。 N1（X）为典型继电特性，其描述函数可据表 查出 N1（X）= ; 4 X M N2 (X ) K 是放大环节。 （3）求非线性环节的描述函数 N（X），即 K X M N X N X N X 4 ( ) ( ) ( ) 1 2 图 8-17 例 8-7 设非线性系统如图 8-18 所示，试讨论参数 T 对系统自振的影响。若 T＝0.25， 试求出输出振荡的振幅和频率。 图 8-18