西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第九章 线性系统的状态空间分析与综合

系统的初始状态为 x(0) x2(0) 求系统齐次状态方程的解x(t)。 解:先求系统的状态转移矩阵d(1)=e 解法一按矩阵指数定义 I+at+-A(-+ 01 2t+312--t3+…1-3t+-t2--t3 解法二用拉氏变换法 φ()=L-s1-A)- S S+ s+31 2 2 s de 1s+2s+1s+2 22 12 故得 d()=L[(sl-A)-] 解法三用凯莱一哈密顿定理 系统特征方程 deys-1=x2+3+2=(2+1)2+2)=0 +: 系统矩阵有A两个互异特征值入1=-,A2=-2 p(1)=e=a0(1)+a(1)

·263· 系统的初始状态为              0 1 (0) (0) (0) 2 1 x x x 求系统齐次状态方程的解 x(t)。 解：先求系统的状态转移矩阵 At (t)  e 。 解法一 按矩阵指数定义      2 2 2! 1 t e I At A t （ ） At  …=                      2 2 2 3 0 1 2 1 2 3 0 1 0 1 1 0 t t …=                       2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 2 7 1 3 3 7 2 3 6 7 2 3 1 t t t t t t t t t t t 解法二 用拉氏变换法 ) [( ) ] 1 1 （t  L sI  A                                         s s s s s s s s adj s s sI A 2 3 1 3 2 1 2 3 1 det 2 3 1 2 3 1 ( ) 2 1 1                     2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 s s s s s s s s 故得                         t t t t t t t t e e e e e e e e t L sI A 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ( ) [( ) ] 解法三 用凯莱—哈密顿定理 系统特征方程 3 2 ( 1)( 2) 0 2 3 1 det[ ] 2                  I A 系统矩阵有 A 两个互异特征值1  1，2  2。 t e t I t A At ) ( ) ( ) （    0 1

(11x 2 10 01 故 e-e 系统齐次状态方程的解为 (1)=p()·x(0) 2e-1+ 例9-5设系统状态方程为x=Ax()已知当X()=,时,x(t)= 当x(0) 寸,x(t) 试求系统矩阵A及系统状态转移矩阵p() 解:先计算状态转移矩阵φ()。设 p(1) q1(1)q12(D (1)2(1) 齐次方程解为x(1)=d()x(0),依题意应有 卯1()12(m)T1 q1(1)-12(1) q1(1)q2(1)-1[o21()-2(m) q1()912()2 1()2()-1202()-q2() 解方程组得 q1(1) q12(D) (t (1) 故 p(1) 算系统矩阵A由状态转移矩阵性质得

·264·                                                   t t t t t t t t e e e e e e e e t t 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 1       故                      2 3 0 1 ( ) 0 1 1 0 ( ) (2 ) t 2t t 2t  t e e e e                    t t t t t t t t e e e e e e e e 2 2 2 2 2 2 2 2 系统齐次状态方程的解为                                         t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e x t t x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 2 2 2 2 ( ) ( ) (0) 例 9-5 设系统状态方程为 x  Ax(t) 已知当 X(0)=      1 1 时， x(t)=         t t e e 2 2 ； 当 x(0)=      1 2 时，x(t)=         t t e 2e ，试求系统矩阵 A 及系统状态转移矩阵(t)。 解：先计算状态转移矩阵(t)。设        ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 11 12 t t t t t      齐次方程解为 x(t)  (t)x(0) ，依题意应有                              ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 21 22 11 12 21 22 11 12 2 2 t t t t t t t t e e t t         1)                              2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 21 22 11 12 21 22 11 12 t t t t t t t t e e t t         2) 解方程组得 t t t t t t t t t e e t e e t e e t e e 2 22 2 21 2 12 2 11 ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( ) 2                       故                     t t t t t t t t e e e e e e e e t 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 计算系统矩阵 A,由状态转移矩阵性质得

02 意:根据1),2)可以列出下面的式子,用以求得p() =p() 故 p(1)= +2 例9-6设系统运动方程为 y+(a+b)y+aby=u+cu 式中a,b,c均为实数;u为系统的输入;y为输出。试: (1)求系统状态空间表达式 (2)画出系统相应的模拟结构图 (3)当输入函数u(1)=1()时,求系统状态方程的解。 解:(1)依题意可写出系统传递函数 Y(s) S+c s+c U(ss+(a+b)s+ab (s+a(s+b U(s) S+a U(s 5+b 则可得 x1=-ax1+ =-bx +u b b 故有 c-a c-b 0-b (2)依状态空间表达式,可画出系统模拟结构图(即状态图),如图9-5。 (3)系统状态转移矩阵

·265·                                1 3 0 2 2 2 2 2 ( ) | 0 ' 2 2 2 2 0 ' t t t t t t t t t t e e e e e e e e A  t 注意：根据 1)，2)可以列出下面的式子,用以求得(t)                    1 1 1 2 ( ) 2 2 2 t e e e e t t t t  故                                         t t t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e t 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 ( ) 例 9-6 设系统运动方程为 y  (a  b) y  aby  u  cu 式中 a，b，c 均为实数；u 为系统的输入；y 为输出。试： (1) 求系统状态空间表达式； (2) 画出系统相应的模拟结构图； (3) 当输入函数u(t)  1(t) 时，求系统状态方程的解。 解：（1）依题意可写出系统传递函数 a b s b c b b a s a c a s a s b s c s a b s ab s c U s Y s G s                     1 1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 令 U s s a X s   1 ( ) ( ) 1 U s s b X s   1 ( ) ( ) 2 则可得 x 1  ax1  u x 2  bx2  u 1 2 x a b c b x b a c a y       故有 X u b a x                 1 1 0 0  x a b c b b a c a y            （2）依状态空间表达式，可画出系统模拟结构图（即状态图），如图 9-5。 （3）系统状态转移矩阵

s+a p()=L[(s-A)-]=L 0 s+ b x(o=o(0)x(0)+Lo(t-r)Bu(r)dr 0 -a(t-T) 0 x1(0)e (0)e x0y*」 x2(0)e-b+1(1-e") X2 b 例9-7一系统的微分方程为y+2j+y=l+l (1)建立系统的动态方程; (2)用四种方法求系统的转移矩阵 解:(1)由微分方程可得到系统传函为 s+1 G(s) 用s2除以G(s)的分子和分母得 根据梅逊增益公式,可画出如下信号流图 UCs

·266·                                 bt at e e s b s a L s b s a t L sI A L 0 0 1 0 0 1 0 0 ( ) [( ) ] 1 1 1 1      t x t t x t Bu d 0 ( ) ( ) (0) (  ) ( )     d e e x x e e t b t a t bt at 1 1 1 0 0 (0) (0) 0 0 0 ( ) ( ) 2 1                                                                     t bt bt at at bt b at a bt at e b x e e a x e d e e x e x e 0 2 1 2 1 (1 ) 1 (0) (1 ) 1 (0) (0) (0)    图 9-5 例 9-7 一系统的微分方程为 y  2y  y  u  u （1）建立系统的动态方程； （2）用四种方法求系统的转移矩阵。 解：(1)由微分方程可得到系统传函为 2 2 ( 1) 1 2 1 1 ( )         s s s s s U Y G s 用 s 2除以 G(s)的分子和分母得 1 2 1 2 1 2 ( )         s s s s G s 根据梅逊增益公式，可画出如下信号流图 s 1 －a s 1 －b b a c a   a b c b   u x1 x2 y

图9-6 由图可知 x1=x2 x2=-x1 写成矩阵形式为 0 (2)求状态转移矩阵 ①首先用拉氏变换法求e L(s-A)-] (s1-∥|s-17 1s+2|s2+2s+1|-1s e4=L-(sl-A)2] te te ②用特征值、特征向量法求e 特征方程为 A2+2+1=0 特征根为 特征向量为 义特征向量为 非奇异变换矩阵 P 10

·267· 图 9-6 由图可知 1 2 2 1 2 1 2 2 y x x x x x u x x          写成矩阵形式为 , 1 1 1 0 , 1 2 0 1                A  B C （2）求状态转移矩阵 ① 首先用拉氏变换法求 e At [( ) ] 1 1 e  L sI  A At                                            t t t t t t At te e te e te te e L sI A s s s s s s sI A [( ) ] 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ( ) 1 1 2 1 1 ② 用特征值、特征向量法求 e At 特征方程为 2 1 0 1 2 1 ( ) 2           f  特征根为 1 1,2   特征向量为      1 1 ，广义特征向量为       0 1 非奇异变换矩阵                                         t t t t t t At te e te e te te P e t e t te t e P P P 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 , 1 0 1 1   