第4章线性系统的根轨迹法 φ例题解析 例4-1已知开环零极点分布如图4-1所示,试略绘出相应的闭环根轨迹图 图4-1 解:所求的闭环根轨迹如图4-2所示,其中粗实线表示闭环根轨迹
·83· 第 4 章 线性系统的根轨迹法 例题解析 例 4-1 已知开环零极点分布如图 4-1 所示，试略绘出相应的闭环根轨迹图。 图 4-1 解：所求的闭环根轨迹如图 4-2 所示，其中粗实线表示闭环根轨迹
图4-2 例4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为: K (0.2s+1)(0.5s+1) 试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 s(0.2s+1)0.5s+1)s(s+5)(s+2) 令 K,=10K 下面绘制当K1从零变到无穷大时的闭环根轨迹图 (1)根轨迹的起点就是开环传递函数的极点:P1=0,P2=-5,P3=-2。 (2)依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为0→>-2和-5→>-∞段。 (3)计算分离点: s(S+5(s+2 s(s+5s+2)+K1=0 K1=-s(S+5S+2)=-(s+7s2+10) 令 0 ds 3.78(舍去 所以,分离点为s=-0.88。 (4)计算渐近线与实轴的交点: 2.3 渐近线与实轴的夹角: (k=0,±1,+2,…)
·84· 图 4-2 例 4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数为： (0.2 1)(0.5 1) ( ) s s s K G s 试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 解： ( 5)( 2) 10 (0.2 1)(0.5 1) ( ) s s s K s s s K G s 令 K1 10K 下面绘制当 K1 从零变到无穷大时的闭环根轨迹图。 （1）根轨迹的起点就是开环传递函数的极点： 0, 5, 2 p1 p2 p3 。 （2）依据幅角条件可确定实轴上的根轨迹为 0 2 和 5 段。 （3）计算分离点： ( 5)( 2) 0 0 ( 5)( 2) 1 1 1 s s s K s s s K ( 5)( 2) ( 7 10) 3 2 K1 s s s s s 令 0 1 ds dK 得： 3 14 10 0 s2 s 0.88, 3.78 s1 s2 （舍去） 所以，分离点为 s 0.88。 （4）计算渐近线与实轴的交点： 2.3 3 7 3 3 1 i i p 渐近线与实轴的夹角： 3 180 (2 1) k (k 0,1,2,)
所以,渐近线与实轴的夹角为±60°±180 (5)确定根轨迹与虚轴的交点: 闭环特征方程 s(s+2s+5)+K1 s3+7s2+10s+K1=0 令S=j@代入上式有: )3+7(jo)2+10(0)+K 整理得: K1-7o2)+(10-o3)j=0 令实部、虚部分别等于零,得方程组 「K,-72=0 解该方程组得 K=K1/10=7 依上面的分析,可绘出相应的根轨迹图,如 4-3所示 例4-3已知开环传递函数为 K G(S)H(s) 试概略画出闭环系统的根轨迹图。 解:(1)求根轨迹的起点与终点 +4s+20=0 4±√16-80 ±j4 根轨迹起于0、-4、-2+4、-2-j4,沿不同方向终止于无穷远处 (2)根轨迹有四条分支 (3)实轴上的根轨迹在[-40段
·85· 所以，渐近线与实轴的夹角为 60 ,180 。 （5）确定根轨迹与虚轴的交点： 闭环特征方程： 7 10 0 ( 2)( 5) 0 1 3 2 1 s s s K s s s K 令 s j 代入上式有： ( ) 7( ) 10( ) 0 1 3 2 j j j K 整理得： ( 7 ) (10 ) 0 2 3 K1 j 令实部、虚部分别等于零，得方程组： 10 0 7 0 3 2 1 K 解该方程组得: 故 /10 7 K K1 依上面的分析，可绘出相应的根轨迹图，如 4-3 所示。 图 4-3 例 4-3 已知开环传递函数为： ( 4)( 4 20) ( ) ( ) 2 s s s s K G s H s 试概略画出闭环系统的根轨迹图。 解：（1）求根轨迹的起点与终点。 4 20 0 4 s s 2 4 2 4 16 80 1,2 s j 根轨迹起于 0、-4、-2＋j4、-2-j4，沿不同方向终止于无穷远处。 （2）根轨迹有四条分支。 （3）实轴上的根轨迹在[-4,0]段
(4)渐近线与负实轴的夹角为: p=±80(2k+ k=0时,φ=±45° k=1时,φ=±135 渐近线与负实轴的交点为 (5)求分离点。 闭环特征方程: s(S+4)(s-+4s+20)+K=0 +4)(s+4s+20) dK (s+2(s2+4s+10)=0 故分离点为:s1=-2,S2=-2+j245,s3=-2-j2.45 (6)求根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程 s(s+4)(s2+4+20)+K=0 s4+8s3+36s2+80s+K=0 令S=j,并代入上式,且实部等于零,得 4-36o2+K=0 虚部等于零,得: 由2)式得:a=0 C=0为根轨迹的起点 =±3为根轨迹与虚轴的交点。 与虚轴交点O=土√10处对应的K值的计算 由1)式得:K=3602-04=260
·86· （4）渐近线与负实轴的夹角为： n m k 180 (2 1) 1 135 0 45 时， ＝ 时， ＝ k k 渐近线与负实轴的交点为： 2 4 (0 4 2 4 2 4) j j （5）求分离点。 闭环特征方程： ( 4)( 4 20) 0 2 s s s s K ( 4)( 4 20) 2 K s s s s 令 0 ds dK ，得： ( 2)( 4 10) 0 2 s s s 故分离点为： 2, 2 2.45, 2 2.45 1 2 3 s s j s j 。 （6）求根轨迹与虚轴的交点。 闭环特征方程： ( 4)( 4 20) 0 2 s s s s K 8 36 80 0 4 3 2 s s s s K 令 s j ，并代入上式，且实部等于零，得： 36 0 4 2 K 1） 虚部等于零，得： 8 80 0 3 2） 由 2）式得： 0 10 3 0 为根轨迹的起点; 3为根轨迹与虚轴的交点。 与虚轴交点 10 处对应的 K 值的计算： 由 1）式得： 36 260 2 4 K
依据上述分析,可概略绘制根轨迹,如图4-4所示。 4-4 例4-4设系统的特征方程为:s3+as2+Ks+K=0。K由0→∞变化时,分别 确定使根轨迹有一个、两个和没有非零实数分离点的a值范围,并概略绘制根轨迹 解:因为特征方程为:s3+as2+Ks+K=0 所以 0 ds 非零实数分离点应满足 2s2+(a+3)s+2a=0 ±√a2-10a+9 显然,要使根轨迹只有一个非零分离点, 必须有:a2-10a+9=0 l;a=9 当a=9时,得 图4-5 渐近线与实轴交于0=-4 渐近线与实轴的夹角为:+900、-90° 分离点为-3。根轨迹如图45所示。 当a>9时,例如a=10,求得 根轨迹起于0,0,10 根轨迹终止于-1和无穷远点 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为:900、-90; 轴上的根轨迹区间为:[-10,-1 根轨迹的分离点为:-2.5,-4。系统的根轨迹如图4-6所示。 当a<9时,例如a=5,求得 渐近线与实轴的交点为:-2 渐近线与实轴的夹角为:+90,-90°。此时,根轨迹没有非零分离点。 根轨迹如图4-7所示
·87· 依据上述分析，可概略绘制根轨迹，如图 4-4 所示。 例 4-4 设系统的特征方程为： 0 3 2 s as Ks K 。K 由0 变化时，分别 确定使根轨迹有一个、两个和没有非零实数分离点的 a 值范围，并概略绘制根轨迹。 解：因为特征方程为： 0 3 2 s as Ks K 所以 1 ( ) 1 3 2 2 s s s a s s as K 令 0 ds dK 得： 2 ( 3) 2 0 3 2 s a s as 非零实数分离点应满足： 2 ( 3) 2 0 2 s a s a 10 9 4 1 4 3 2 1,2 a a a s 显然，要使根轨迹只有一个非零分离点， 必须有： 10 9 0 2 a a 解 得 ： a 1;a 9 当 a 9时，得： 渐近线与实轴交于σ＝-4； 渐近线与实轴的夹角为：＋90 o、-90 o； 分离点为-3。根轨迹如图 4-5 所示。 当 a 9时，例如 a 10 ，求得： 根轨迹起于 0，0，10； 根轨迹终止于-1 和无穷远点； 根轨迹的渐近线与实轴的夹角为：90 o、-90 o； 实轴上的根轨迹区间为：[-10，-1]； 根轨迹的分离点为：-2.5，-4。系统的根轨迹如图 4-6 所示。 当 a 9时，例如 a 5，求得： 渐近线与实轴的交点为：-2； 渐近线与实轴的夹角为：＋90 o，-90 o。此时，根轨迹没有非零分离点。 根轨迹如图 4-7 所示。 图 4-4 图 4-5