西安石油大学电子工程学院：《自动控制理论 Modern Control System》精品课程教学资源（各章节例题解析）第九章 线性系统的状态空间分析与综合

第9章线性系统的状态空间分析与综合 例题解析 例9-1对于图9-1所示的质量一弹簧系统,当外力F(t)作用时,系统产生运动 质量及弹簧弹性系数见图示。如不计摩擦,试: (1)以质量m2的位移()为输出,外力F(1)为输入,列写系统的运动方程; (2)求从F(s)到y(s)的传递函数 (3)以框图表示上述系统 (4)自选一定数目的状态变量,建立上述系统的状态方程和输出方程。 y(t) F(t) ka 图9-1质量一弹簧系统 解:(1)设质量块m的位移为z,根据牛顿定律有 F(1)-k(2-y)=m12 同理对质量块m有 K,(E-y)-k2y=m2 y 联立式1)和2)消去中间变量z,得出系统微分方程 m,m,y+[(k,+k2)m,+k,m,l+k,k2y=kF( 2)对式3)进行拉氏变换可得 k F(s) m,S+[(K,+k2),k,m2 Is+kk2

·258· 第 9 章 线性系统的状态空间分析与综合 例题解析 例 9-1 对于图 9-1 所示的质量－弹簧系统，当外力 F（t）作用时，系统产生运动， 质量及弹簧弹性系数见图示。如不计摩擦，试： （1）以质量 m2的位移 y(t)为输出，外力 F(t)为输入，列写系统的运动方程； （2）求从 F(s)到 y(s)的传递函数； （3）以框图表示上述系统； （4）自选一定数目的状态变量，建立上述系统的状态方程和输出方程。 图 9-1 质量－弹簧系统 解：（1）设质量块 m1的位移为 z，根据牛顿定律有 F t k z y m z 1 1 ( )  (  )  1) 同理对质量块 m2有 k z y k y m y 1 2 2 (  )   2) 联立式 1）和 2）消去中间变量ｚ，得出系统微分方程： [( ) ] ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 (4) 1 2 m m y  k  k m  k m y  k k y  k F t 3) (2) 对式 3）进行拉氏变换可得 1 2 2 1 2 1 1 2 4 1 2 1 ( ) [( ) ] ( ) m m s k k m k m s k k k F s Y s      4) m1 m2 y(t) k1 F(t) k2

(3)对式(1)进行拉氏变换可得 2(s) 5) k,(s)+F()m,s-+k 同样处理式2)有 Y(S) Z(s) m2S"+k,+k 由式5),式6)可以画出系统结构图,如图9-2所示 k m,S-+k m22+k1+k2 图9-2系统结构图 (4)设状态变量 x x1=x=2 由式1) ,k, F( 由式2) k1+k2,k1 因此有 k k x+ m F(o k,+k 259·

·259· F y Z (3) 对式（1）进行拉氏变换可得 1 2 1` 1 1 ( ) ( ) ( ) k Y s F s m s k Z s    5) 同样处理式 2)有 1 2 2 2 1 ( ) ( ) m s k k k Z s Y s    6) 由式 5)，式 6)可以画出系统结构图，如图 9-2 所示。 图 9-2 系统结构图 （4）设状态变量 x  z x  x  z 1 1 2 x  y x  x  y 3 3 4 由式 1) x m k x z 1 1  2     1 1 3 1 1 ( ) m F t x m k   由式 2) 1 2 1 3 2 1 2 4 x m k x m k k x y        因此有 ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 x m F t m k k m k m k m k x                   y  0 0 1 0x 1 2 1 1 m s  k 1 2 2 2 1 m s k k k   k1

例9-2在图9-3所示系统中,若选取x1,x2,x作为状态变量,试列写其状态空间 达式,并写成矩阵形式 2 s+3 s(S+ 1) 图9-3 解:由结构图可得 2(x2-x3)=s(s+1)x V=x 整理可得系统状态空间方程表达式 y=x 写成矩阵的形式 2-30x+2 例9-3设系统微分方程为 y+7j+14j+8y=i+8i+15l 系统初始条件为零,试: (1)采用传递函数直接分解法,建立系统的状态空间表达式,并画出状态图 (2)采用传递函数并联分解法,建立系统的状态空间表达式,并画出状态图

·260· 例 9-2 在图 9-3 所示系统中，若选取 x1，x2 ，x3作为状态变量，试列写其状态空间 表达式，并写成矩阵形式. 图 9-3 解： 由结构图可得              1 3 1 2 3 1 1 2 2( ) ( 1) 2 ) ( 3) y x x sx x x s s x （u x s x 整理可得系统状态空间方程表达式             1 2 3 .3 1 2 .2 3 .1 2 3 2 3 2 y x x x x x x x u x x 写成矩阵的形式 x x u y 1 0 0x 0 2 0 0 2 3 2 3 0 0 0 1                    例 9-3 设系统微分方程为 y 7y 14y  8y  u 8u 15u 系统初始条件为零，试： （1）采用传递函数直接分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图； （2）采用传递函数并联分解法，建立系统的状态空间表达式，并画出状态图。 － － u x2 x3 x1 s 3 2 s  ( 1) 2 s s 

解:系统的传递函数为 ()=s+8s+15 7s2+14s+8U(s) Z(s) Y(s) (s)Z(s) 式中 Z(s) 7s2+l4s+8 s-+8s+15 由式3) z+72+142+8z=l 则有 元3=2=-8x1-14x2-7x3+l 由式4) 15x,+8x 010 0 581 8-14-7 (2)对式1)进行部分分式展开,有 831 6Y(s) 令 X2(s) U(s) 2U(s)s+4 则有文 故有 0-20 83

·261· 解：系统的传递函数为 ( ) ( ) 7 14 8 8 15 ( ) 3 2 2 U s Y s s s s s s G s        1) (1) 令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Z s Y s U s Z s G s   2) 式中 7 14 8 1 ( ) ( ) 3 2     U s s s s Z s 3) 8 15 ( ) ( ) 2  s  s  Z s Y s 4) 由式 3) z 7z14z  8z  u 令 x  z 1 x  x  z 1 2 x  x  z 2 3 则有 x 3  z  8x1 14x2  7x3  u 由式 4) 1 2 3 y  15x  8x  x 有 x x u                 1 0 0 8 14 7 0 0 1 0 1 0  y  15 8 1x (2) 对式 1)进行部分分式展开，有 ( ) ( ) 4 6 1 2 2 3 1 3 8 ( ) U s Y s s s s G s        令 1 1 ( ) ( ) 1   U s s X s 2 1 ( ) ( ) 2   U s s X s 4 1 ( ) ( ) 3   U s s X s 则有 x  x  u 1 1  x   x  u 2 2  2 x 3  4x3  u 1 2 3 6 1 2 3 3 8 y  x  x  x 故有 x x u                  1 1 1 0 0 4 0 2 0 1 0 0  y x          6 1 2 3 3 8

两种形式的状态空间表达式所对应的状态图分别如图9-4(a),(b)所示。 1 21s 图9-20系统状态模拟图 例9-4线性定常系统的齐次状态方程为

·262· u x3 x2 x1 y 两种形式的状态空间表达式所对应的状态图分别如图 9-4（a），（b）所示。 (a) (b) 图 9-20 系统状态模拟图 例 9-4 线性定常系统的齐次状态方程为                    2 1 2 1 2 3 0 1 x x x x   x3 x 2 u x1 y －7 s 1 s 1 s 1 1 8 － －8 s 1 －1 s 1 －2 s 1－ 3 8 2 3  6 1 