轧件冷头对轧机动态应力的影响

D0I:10.13374/j.issn1001053x.1981.01.013 北京钢铁学院学报 1981年第1期 轧件冷头对轧机动态应力的影响 力学教研室杨揆一 摘 要 本文用初等函数计算了有冷头轧件所引起的轧机系统的动力响应。文章先对一 自由度系统绘出以咬入时问为参数的反应谱，而后把作为多质量系统的轧机动应力 化为一自由度系统动力响应的某种组合。计算结果表明：有冷头轧件与无冷头轧件 所引起的最大动应力之比一般小于（至少不大于）該两激力的最大值之比。这两个 比值之差多在0~10%范围内。 轧件进入轧机时，引起轧机的振动，从而产生动态应力。一般把轧件对轧机系统的激振 扭矩简化为图1所示的激力函数。其中t二0到t1为咬入过程，：以后为轧制过程。如果把轧 件端头造成尖舌状，那末咬入过程将会延长。反之，如果轧件端头过钝，则t,的数值就会很 小。 排矩 扭矩 Mx (1 图1 图2 有时轧件端头的温交低丁其它部位的温度，这时轧件对轧机系统的激振扭在：处较 高，其变化规律大体如图2。设放振扭阳的高峰数值M,与常态数值Mκ之比为δ，一般认为 这种激力所引起的最大响应与图1所示激力的最大响应之比也是ò。于是可羽图1激力引世 的最大动应力乘以系数δ，便得到有冷头轧件引起的轧机系统的最大动应力。 本义把具有冷头轧件的激振扭矩简化为某初等函数的组合，求得了系统响应的一般衣达 式。分析结果表明：有冷头轧件使轧机产生的最大动应力与图1激力产生的最大动应力之比 并不等于8，它比ò略小，并与咬入过程t:以及激力衰减的速度有关。 奉本文1980年9月23日收到。 118

北 京 钢 铁 学 院 学 报 年 第 期 车 件 冷 头 对 轧 机 动 态 应 力 的 影 响 ‘ 力 学教 研 室 杨 撰一 摘 要 本 文用 初 等 函 数计算 了有冷头 轧件所 引起 的轧机 系 统 的动 力响应 。 文 章先对 一 自由度 系杭 绘 出 以 咬入 时 间为 参 数 的反 应 错 ， 而 后 把作 为 多质量 系 统的轧机动应 力 化 为一 自由度系统 动力 响应 的 某种 组 合 。 计算 结果表 明 有冷 头 轧件 与无 冷头 轧件 所 引起 的最大 动应 力之 比一 般 小 于 至 少不 大于 故 两 激 力的最 大值 之 比 。 这 两个 比值 之 差 多在 范 围内 。 轧 件进 入轧 机 时 ， 引起轧 机 的振 动 ， 从而产生 动 态应 力 。 一 般把轧 件对轧 机系统 的激振 扭 矩 简化为 图 所 示 的激 力函数 。 其 中 二 到 为咬 入过 程 ， ，以 后 为轧 制过 程 。 如果 把轧 件端 头造 成尖 舌状 ， 那 末咬 入过 程将 会 延 一 长 。 反 之 ， 如果轧 件端 头 过钝 ， 则 ，的数值就 会很 小 。 扭 矩 扭 矩 ‘ 二 冬 图 有时轧 件端 头 的 温 · 芝溉 ’ 其它 部位 的 温度 ， 这 时轧 件对轧机 系统 的激 振 扭 矩在 处较 高 ， 其变 化 规律 大体如 图 。 设徽振 扭 爪的高峰数 位 与常 态数 值 之 一 匕为 ， 一般认 为 这 种 激 力所 引起 的最大 响 应 与图 所示 效力的最 大响应 之 比 也是 。 于是 可用 图 激 力 引起 的最 大 动应 力乘以 系数 乙 ， 便 得 到有冷 头轧 件 引起 的轧 机 系统 的最 大 动应 力 。 本文把 具有冷头轧 件 的激振 扭矩 简化 为某初等 函数 的组 合 ， 求得 了系统响 应 的一 般 农达 式 。 分析 结果 表 明 有冷头轧 件使轧 机 产生 的最大动应 力与 图 激 力产生 的最 大 动应 力之 比 并不 等 于 乙 ， 它 比 乙略小 ， 并与咬 入 过程 ， 以 及激 力衰减的速 变有关 。 今 本文 年 月 日 收 到 。 吕 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1981．01．013

一、单自由度系统的动态响应 作为过渡，先考虑一白由度振动系统在冷头轧件激力下的响应。为计算简便，设Mx= 1。我们把具有冷头轧件产生的激振扭矩写成 F(t)= t (t≤t1) F() (1) C=0 l1+(8-1)e-c(t-t)(t>t1) 式中C为一参数，它由温度沿轧件长度的变化来确定。它的 C=I =0.5 极端情况：当C=0,代表轧件各处激力与冷头相同，当C= C=n ∞，代表除了冷头的激力增高外，其它各点激力均保持为 Mx=1。参数C不能取这两种极端状态，而是界于它们之 间。（图3） 把微力F(t)代入Duhamel积分，得到系统在(t.~ 附3 t:)内的响应是 x=m.'sipt-t)dv+ +1+8-g'e -Bin p(t-t/)dt (2) mp 其巾p为系统的角频率，m为振动体的转动惯量（相当于质量）。由于系统的最大响应不可 能出现在区间(0，t,)内，故系统在该区间内的响应不再赘述。 为计算(2)式中的第二个积分，令 u=e-ct/, dv=Sinp(t-t)dt/ 则 du=-ce-c1/dt/, 10 cosp(t-/) 于是有 ,et-tinp(t-t)d'=eo小，uv -g[e-et-6ceop(t-t+f,e-cve8pt-vir] (3) 对括号内的积分进行类似的变换，令 ui=e-ct/ dv=cosp(t-()d 于是 ∫ce-a'co8p(-)dt'=ci,u1ivi (t-t)(t-d (4) 将（4)代入(3)，整理后即得 119

一 、 单 自 由度 系统 的动 态 响应 作 为过 渡 ， 先考虑 一 自由度振 动 系统 在 冷头轧 件 激 力下 的响 应 。 为计 算简便 ， 设 二 我 们 把 具有冷头轧 件产生 的 激振 扭 矩 写 成 犷吃 叭 各 一 二 一 一 三 ， 、 一 ‘、了 ‘‘ 、， 式中 为一 参数 ， 它 由温度 沿轧 件长度 的 变化来 确定 。 ’ 已的 极端情 况 当 ， 代 表轧 件 各处激 力与 冷头 相 同 ， 当 ， 代 表除了冷头 的激 力增 高外 ， 其 它 各点 激 力均 保 持 为 。 参数 不 能 取 这 两 种 极端 状 态 ， 而 是 界于 它们之 间 。 图 把激 力 代入 积 分 ， 得 到 系 统 在 ， ， 内的响应 是 飞懊乏 二 二 ” 月 邑 ， 一 尹 产 十 各 一 一 《 一 一 一 尹 产 匆 其 巾 为 系统 的 角频 率 ， 能 出现 在 区 间 ， 为振 动 体的转动惯 量 相 当于 质显 。 由于 系统 的最 大响 应 不可 ， 故 系统 在 该 区 间 内的 响应 不 再 赘述 。 为计 算 式 中 的 第二 个积 分 ， 令 一 一， 一 一 ‘ ， ， ， 一 ’ ， 一 ‘ 于 是 有 无一 ‘ ， 一 ，， 一 ‘ 产 二 一 ， 一， 二 二 ‘ 一 一 。一 ， 。 。 ， 。 、 ，一 、 ， ‘ · · 。 ， 、 一 ， ， “ ” “ 对 括 号 内 的积 分 进行 类似 的变换 ， 令 〔二一 吐， 、 二 一 ‘ 、 ， 于是 ‘ 一 ‘ 一 ‘ 一 产 ， ‘ 产 一 一 ‘ · 一 一 卜 卜 ， 一 ‘ ·‘一 卜 ， ， ， … 将 代 入 ， 整理后 即得

∫eet-inp(t-)dt' c-c(-11)-cosp(t-t:)+c-sinp(t-t:) (5) p2+c2 (2)式中的第一个积分以及第二个积分的其它部分容易求得。把它们的积分结果和式(5) 一起代入(2)式，得出系统响应的表达式如下： mp cosp(t-t)+ p ti sinp(t-t:)-sinpt 1人1-cosp(t-t1)}+mp·1+c2{e4-coaP(t-t) +p sinp(- (6) 作为一个极端偕况，在式(6)中令c=0,则 s. sinp(t-ti)-sinpt 把它和无冷头轧件激力（即 图1中令Mk=1)的响应【) C=0.5 1.5 相比较，可以看出，此响应 恰为无冷头轧件响应的ò 倍。因而它们的最大响应之 0.5 比也是6。 通常情况，c≠0时，其 t:/r2 t/x 响应曲线大体如图4所示。 图4 此图是按8=1.5，L= 1.5,(t为系统的周期)mp2=1,以及c分别为0.5和∞的数据绘制的。其响应的最大值分 别为1.737和1.592。而对应的(=1.5， 8=1.5C=0.5 mp2=1)无冷头轧件所产生的最大响应可 由其反应谱得知：xm=1.212。因此，在这 8=1.2C=0.5 样的具体尔件下，有冷头轧件与无冷头轧件产 6=1.5C=c 生的最大响应之比分别为 81=g=1.43(c=0.5的情汉) 8=1,2 1C=0 0:=:898-1.31(c=0的特视) 无冷头轧件 由此可见，当有冷头轧件的最大激振扭矩与无 冷头轧件激振扭矩之比为1.5时，其最大的响 0 应之比一般低于1.5。其具体数值与反映轧件 3t1/t 温度沿其长度变化的系数©有关。最大响应之 图5 120

，一 ‘ ’ ‘ 一 ‘ ’ ·‘· “ 一 “ ’ “ ‘ ‘、了 产、 ﹃刁 「一 ‘ 一 ’ 一 ‘ 一 ‘ ’ ‘ 一 一 一 么 式 中的 第一 个积 分 以 及 第二 个积 分 的 其它部分容易求得 。 把 它们 的积 分结果 和式 一起 代 入 式 ， 得 出系统 响 应 的表达 式如下 ，一 ， 毛 一 一 一 ，， 一 。 “ 飞 ，一 。 。 。 ，一 ， 十 共参一导 一 《 一 一 。 。 ， 、 一 ， 厂 ‘ 、 － 一 · 一 气 一 ， 作为一 个极端 情 况 ， 在 式 中令 ， 则 · 、 、 ·‘二 一 一 一 〕 乙 一 入︸ 一 “ 石 ‘尸 皿‘卜，‘‘ 夕 ，孟“二 ， ， 丫 图 把 它和 无冷头轧 件激 力 即 图 中令 的响应 ‘ 相 比 较 ， 可 以 看 出 ， 此 响应 恰为 无 冷 头轧 件响 应 的 各 倍 。 因而 它们 的最 大响应 之 比也是 乙 。 通 常情 况 ， 祷 时 ， 其 响应 曲线大体如 图 所 示 。 此 图 是 按 “ ‘ ’ ， 令 为 系统 的周 期 “ ， 以 及 。 分别为 和 的数据 绘 制的 。 其响应 的最大值分 别为 和 。 而对 应 的 一 黔 ， ， “ 无 冷头 轧 件所 产 生 的 最 大 响 应可 由其反应 谱得 知 。 。 因 此 ， 在 这 样的具 体条件下 ， 有冷 头轧 件与无 冷 头轧 件产 生 的最大响应 之 比分别 为 右二 二 ， 各二 。 一 。 二 牛 。 的 清况 乙 二 、 名介 ‘ 芝介 。 的情 况 无冷头轧件 由此可 见 ， 当有冷头轧 件 的最大 激振 扭 矩 与无 冷头轧件激振扭 矩 之 比为 时 ， 其最大的响 应 之 比 一般 低 于 。 其具 体数值 与反 映轧 件 温度 沿 其长度 变 化的 系数 有关 。 最大响应 之 百 ， 图

比的上下界是，1.5(c=0的情况)和1.314(c=∞ 的情况)。 21 实际计算表明，有冷头轧件激力的最大响应还 0 和咬入过程t:有关。但它不同于无冷头轧件的最大 270. 高 响应对t:的依赖关系。我们对t:取若干数值，计算 嘉 1823·1138 71898.112231 了它们的最大响应列于表1，并且绘出了振动系统 对于参数t:/π的反应谱（图5）。 P2.1 680 从表1I图5可以看出，在t1/τ不是整数的 各点，有冷头轧件激力与无冷头轧件激力的最大响 N 多 应之比都不同程度地小于8。而当t1/τ为整数时， 6J 806.1 .2.1 则两个最大响应的比值恰为8，达到最大。 二、多质量轧机系统的动应力 的 1601. 8 朗 01 设轧机简化成n个质量和n-1个弹性轴串联起 ☒ 来的扭振系统（图6）。系统的各个代表符号如 名 862 下： P12 158.13 t- 女 K N 6IS'I N 图6 J,J2,…,J。一各个质量的转动惯量。 o VEZ' K,K2,…K。-1一各轴的扭转弹簧系数。 EP8'I 85. P,P2,…,Pn一系统的各个角频率。因 图6为正半定系统，故p1=0。 常 202.5 820.5 〔X)一各质量的角坐标组成的列向量。 182 〔X,)一正规的角坐标。 .128 〔M)一质量矩阵。 22 26.3 680.2 682.5 〔S)—一刚度矩阵。 〔X),一对应于第j个频率的特征向量，此 G86 器 0.2 88.2 896 特征向量是归一化了的。即 (XN),T〔M)〔XN),=1, (j=1,2,…,n) 图 Xw:1一上述特征向量的第i个分量。 〔XN)一各个特征向量组成的矩阵。 N 议 分 8 8 〔Q〕一激力列向量。 〔Q,)一正规坐标下的激力列向量。 P U 社 {}一横的写列向量符号。 灯红水群女 121

川洲州侧 。 · 。 一 卯 · 一 ， · 。 一 · 囚 一 · 。 一 · 洲 一 哪工︸ · 州 一 。洲 一 · 。洲二 一 哪 · 。 ︸ · 一 、一牡解 比 的上下 界是 的情 况 和 “ 的情 况 。 实际 计 算表 明 ， 有冷 头轧 件激 力的最 大响应 还 和 咬 入过 程 ，有关 。 但 它不 同 于无 冷头轧 件的最 大 响应 对 ，的依 赖 关系 。 我们 对 ，取若 干数值 ， 计 算 了它们 的最 大响应 列 于 表 ， 并且 绘 出了振 动 系统 对 于 参数 ， 的反应 谱 图 。 从 表 和 图 可 以 看 出 ， 在 ， 不是 整数的 各点 ， 有冷头轧 件激 力与无 冷头轧 件 激 力的最 大 响 应 之 比都不 同程度地 小 于 各 。 而 当 ， 为整数时 ， 则 两个最 大响应 的 比 值恰为 各 ， 达 到最 大 。 二 、 多质 量轧机 系统 的动应 力 冲督创卜雄禽崛垢研姗 设轧 机简 化成 个质 量 和 一 个弹性轴 串联 起 来 的扭 振 系统 图 。 系 统 的 各个代 表符 号如 下 甲 二二 吕 “ 飞 卜 二 图 邢工 ，， ， … ， 。 － 各个质 量 的转动 惯量 。 ， ， … 。 一 － 各轴 的扭 转弹簧系数 。 ，， ， … ， － 系统 的 各个 角频 率 。 因 图 为正半定 系 统 ， 故 ， 〕－ 各质 量 的角坐标组成 的列 向量 。 〔 〕－ 正 规 的 角坐标 。 〕－ 质 量 矩 阵 。 〔 〕－ 刚度 矩 阵 。 〔 〕 ， － 对应 于 第 个频率 的 特 征 向量 ， 此 特 征 向量是 归一 化 了 的 。 即 〔 〕 ， 〔 〕〔 ， ， ， … ， ， － 上述特征 向量 的 第 个分量 。 〔 〕－ 各个特征 向量 组 成 的矩 阵 。 〕－ 激 力列 向量 。 〕－ 正 规 坐标下 的 激力列 向量 。 － 横 的 写 列 向量 符 号

设无冷头轧件的激力F。作用在第K个质量上，则系统的运动微分方程可写为 (M)〔X)+(S)X)=〔Q)={0,O,,Fo,O,…,O} (7) 将此方程用坐标变换 (Xp)=(XN)-I(X)或〔X)=〔XN)〔Xp) (8) 转换到正规坐标，则方程化为 〔Xp)+〔p2)〔Xp)=〔Qp)=(XNJT(Q) (9) 其中 p12, 0 P22, (p2)= 0 而（9)式的右端是 〔Qp〕=(KN)T(Q)={XNK1,XNK2,…XNKn}Fo 故该式的任一行可以写成 xp1+p:2Xp1=XNrF。(i=1,2,…,n) (10) 由于此系统的一阶频率为0，其它频率均不为0，（并设初速度和初位置均为0）故得系统 在正规坐标中的响应 F。dt"dt' (11) eF,mpt-dri=8） 用式(8)将此式变回原坐标，即得系统用原坐标表示的响应： ,imp( (i=1,2,…,n) (12) 由于P1=O,对应于p:的特征向量代表刚休型运动，故有Xw11=XN21=…=XNn1。将此关 系代入(12)，求出各质量的相对扭转角为 (imp (t-d 1■2 (i=1,2,…,n-1)(13) 同理，设有冷头轧件的激力为F:,则当此微力作用于同一轧机系统的同一部位时，此系统 各质量产生的相对扭角为 fF,imp(t-d 1= (i=1,2,…,n-1)(14) 式(13)和(14)还可以进一步用初等函数表示出来。我们还是只写出区间(1：，∞)内的 表达式。把(13)中的积分写成函数表达式，则该式变为 122

设 无 冷头轧件的激 力 。 作用在 第 个质 量 上 ， 则系统 的运 动微分方程可 写为 〔 〕 〔 〕 〔 〕〔 〕 〔 〕 ， ， … ， ， ， … ， 将此方程用 坐标变换 〔 〕 〔 〕 一 ‘ 〔 〕 或 〔 〕 〔 〕〔 〕 转换 到正 规 坐标 ， 则方 程化为 〔 〕 〔 〕〔 〕 〔 〕 〕 〔 〕 其 中 … ， ” ’ ， “ 一 ， 即 一 ， 二 … 、 而 式 的右端 是 〕 二 〔 〕 〔 〕 、 ，， ， … 。 故 该式 的任一 行可 以 写 成 ‘ 二 二 。 ， ， … ， 由于此 系统 的一阶频 率为 ， 其 它频率均不 为 ， 并设 初速度和 初位置 均为 故得系统 在正 规 坐标 中的 响应 … · 一 一 ‘ “ “ 一 黔 ‘ 。 一 产 ‘ 二 ， ， … ， 用 式 将 此 式变 回原 坐标 ， 即得 系 统 用原 坐标 表 示 的 响应 ， ， ， ’ ‘ · ‘ ， 飞 · ‘ 石夯 杜 一 歹 】 “ 一 ‘ ” ‘ ’ 川乏 ， ， 由于 二 ， 对应于 的特征 向量代 表刚休型运 动 ， 故 有 ， 系 代入 ， 求出各质量 的相对扭 转角为 。 ，。 将此关 十 一 一 乏 · ， ， 一 ， ， ， 。 。 ， 】 ‘ 一 “ ’ ，“ ， ， … ， 一 同理 ， 设 有冷头轧 件的 激力为 ， ， 则 当此 激 力作用 于 同一轧 机 系统 的 同一 部位时 ， 此 系统 各质量 产生 的 相对 扭 角为 ， ， 一 ‘ 乏‘ · ，， 一 一 。 ， 】 “ 一 “ ， “ ， ， … ， 一 式 和 还可 以 进 一 步用 初等 函 数表示 出来 。 我 们还 是只 写 出区 间 ， 内的 表达 式 。 把 中的积 分写成 函数表达 式 ， 则该 式变 为