乘法公式及其应用 乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A) P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1) 2.1.3: (波利亚罐子模型)罐子中有b只黑球及r只红球,随机取出 只,把原球放回,并加入与抽出球颜色相同的球c只再摸第二 次,这样下去共摸了n次,问前面的η1次都出现黑球,而后 面n2=n-m1次都出现红球的概率是多少?
❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ➛④ú➟✾Ù❆❫ ➛④ú➟➭P(AB) = P(A)P(B | A) P(A1A2 . . . An) = P(A1)P(A2 | A1). . . P(An | A1A2 . . . An−1) ⑦2.1.3➭ ↔➴⑤æ✲❢✜✳↕✲❢➙❦b➄ç➙✾r➄ù➙➜➅➴✒Ñ➌ ➄➜r✝➙➌↔➜➾❭❭❺➘Ñ➙ôÚ❷Ó✛➙c➄✷➵✶✓ ❣➜ù✘❡✖✁➵✡n❣➜➥❝→✛n1❣ÑÑ②ç➙➜✌ →n2 = n − n1❣ÑÑ②ù➙✛❱➬➫õ✟➸
例2.1.4(结绳问题)将η根绳的2n个头任意两两相接,求事 件A={恰结成n个圈}的概率
❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ⑦2.1.4↔✭✲➥❑↕ òn❾✲✛2n❻Þ❄➾üü❷✚➜➛➥ ❻A = {❚✭↕n❻✗}✛❱➬✧
记B1={第次结成绳圈},则 A B i=1 P(B1)=2n(2 (2n)! P(Bk+1B1B)=2(n-k)-1 由求法公式 P(A)= 12(n-)-1=2n=1m
❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ PBi = {✶i❣✭↕✲✗} ➜❑ A = \n i=1 Bi P(B1) = 2n(2n − 2)! (2n)! = 1 2n − 1 P(Bk+1|B1 · · · Bk) = 1 2(n − k) − 1 ❞➛④ú➟ P(A) = nY−1 k=0 1 2(n − k) − 1 = 1 (2n − 1)!!
全概率公式 例2.1.5:设10件圈品中有3件不合格品,从中不放回地取两次, 每次一件,求取出的第二件为不合格品的概率。 全概率公式:若事件B1,B2, Bn是样本空间Ω的一组分 割,且P(B1)>0,则 P(A)=∑PAB)=∑P(B)P(A|B)
❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ✜❱➬ú➟ ⑦2.1.5: ✗10 ❻✗➡➙❦3 ❻ØÜ❶➡➜❧➙Ø➌↔✴✒ü❣➜ ③❣➌❻➜➛✒Ñ✛✶✓❻➃ØÜ❶➡✛❱➬✧ ✜❱➬ú➟➭ ❡➥❻B1, B2, . . . . . . , Bn➫✘✢➌♠Ω✛➌⑤➞ ⑧➜❹P(Bi) > 0,❑ P(A) = Xn i=1 P(ABi) = Xn i=1 P(Bi)P(A | Bi)
解例2.1.5 解:设A=“第一次取得不合格品”, B=“第二次取得不合格品”由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B A)+P(A)P(B| A) (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)=3/10
❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ✮⑦2.1.5 ✮➭ ✗A = ✴✶➌❣✒✚ØÜ❶➡✵➜ B = ✴✶✓❣✒✚ØÜ❶➡✵.❞✜❱➬ú➟✚➭ P(B) = P(A)P(B | A) + P(A¯)P(B | A¯) = (3/10) × (2/9) + (7/10) × (3/9) = 3/10