《概率论》补充材料 50个反例 复旦大学管理学院统计学系 2009年5月30日
5VÇØ6Ö¿á — 50~ EÆ+nÆÚOÆX 2009c530F
1事件之间的关系 (1)从A-B=C推不出A=BUC 当A-B=C时,只能推出 AC BUC.事实上,令 A={1,2,3,4,5},B={1,3,5,7 于是 C=A-B={2,4} 而 B∪C={1,2,3,4,5,7 从而B∪C2A,但是A≠BUC 仅当A→B时,方能得出A=BUC (2)从A=B∪C推不出A-B=C 当A=B∪C成立时,只能推出A-BcC.当BcA,CCA且B∩C≠0 时,可以得出A-B=C.例如,令 A={1,2,3,4,5,6},B={1,2,3},C={2,4,5,6} 则有 {1,2,3,4,5,6}=A. A-B={4,5,6} 从而A-B≠C (3)Uk Ak-Uk Bk#Uk (Ak- Bk) 对于一般情况的A,B,C,有 U4k-∪Bkc∪U 例如,令k=2,取 A2={1,2,3,4,5,6},B1={1,2},B2={5,6} 则有 (A1∪A2)-(B1UB2)={3,4},(A1-B1)U(A2-B2)={1,2,3,4,5,6} 从而(A1UA2)-(B1∪B2)≠(A1-B1)U(A2-B2)
1 ¯m'X (1) lA − B = CíØÑA = B ∪ C A − B = C§UíÑA ⊂ B ∪ C. ¯¢þ§- A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7}, u´ C = A − B = {2, 4}. B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7}, l B ∪ C ⊃ A§´A 6= B ∪ C. =A ⊃ B§UÑA = B ∪ C. (2) lA = B ∪ CíØÑA − B = C A = B ∪ C¤á§UíÑA − B ⊂ C. B ⊂ A§C ⊂ A B ∩ C 6= ∅ §±ÑA − B = C. ~X§- A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3}, C = {2, 4, 5, 6}. Kk B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A. A − B = {4, 5, 6}. l A − B 6= C. (3) S k Ak − S k Bk 6= S k (Ak − Bk) éu¹A§B§C§k [ k Ak − [ k Bk ⊂ [ k (Ak − Bk). ~X§-k = 2§ A1 = A2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B1 = {1, 2}, B2 = {5, 6}. Kk (A1 ∪ A2) − (B1 ∪ B2) = {3, 4}, (A1 − B1) ∪ (A2 − B2) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. l (A1 ∪ A2) − (B1 ∪ B2) 6= (A1 − B1) ∪ (A2 − B2). 1
2从概率关系推不出事件关系 若两个事件A,B之间有关系ACB,则其对应的概率关系如下:P(4)≤P(B) 反之不然 例如,设 P(A)=0.3,P(B)=0.35,P(AUB)=0.35 这时,ACB不成立.事实上,由 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AnB 及假设可得P(A∩B)=0.3 于是,A-(B∩A)的概率 P(A-B∩A)=P(4)-P(B∩A)=0, 但这不意味着A-B∩A=0 我们改变一下上面所给的条件,就可以用来说明另一种情形.设 P(A)=0.3,P(B)=0.05,P(AUB)=0.35 此时可得P(A∩B)=0,但这不能说明A∩B=0,因而不能得出A,B互斥的结论 通过这两个例子可见,不能由概率关系推出事件关系 3概率为零的事件未必是不可能事件 不可能事件的概率必为零.那么,概率为零的事件是否为不可能事件?回答一般是 否定的 当考虑的对象为古典概率模型,概率按照古典概率定义时,概率为零的事件一定 是不可能事件 但是,当考虑的对象为几何概率模型,概率按几何概率定义时,概率为零的事件 未必是一个不可能事件.例如,设9={(x,y),0≤x,y≤1},A={x=y,0≤x,y≤ 1},显然P(A)=0.但A是可能发生的.另外对于连续性随机变量,它在一点处取值的 概率为零,但它不是不可能发生 2
2 lVÇ'XíØѯ'X eü¯A§Bmk'XA ⊂ B§KÙéAVÇ'XXeµP(A) ≤ P(B)§ Ø,. ~X§ P(A) = 0.3, P(B) = 0.35, P(A ∪ B) = 0.35. ù§A ⊂ Bؤá. ¯¢þ§d P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 9bP(A ∩ B) = 0.3. u´§A − (B ∩ A)VÇ P(A − B ∩ A) = P(A) − P(B ∩ A) = 0, ùØ¿XA − B ∩ A = ∅. ·UCeþ¡¤^§Ò±^5`²,«/. P(A) = 0.3, P(B) = 0.05, P(A ∪ B) = 0.35. dP(A ∩ B) = 0§ùØU`²A ∩ B = ∅§Ï ØUÑA§Bp½(Ø. ÏLùü~f§ØUdVÇ'Xíѯ'X. 3 VÇ"¯7´ØU¯ ØU¯VÇ7". @o§VÇ"¯´ÄØU¯º£´ Ľ. Äé;VÇ .§VÇUì;Vǽ§VÇ"¯½ ´ØU¯. ´§ÄéAÛVÇ .§VÇUAÛVǽ§VÇ"¯ 7´ØU¯. ~X§Ω = {(x, y), 0 ≤ x, y ≤ 1}§A = {x = y, 0 ≤ x, y ≤ 1}§w,P(A) = 0. A´Uu). , éuëY5ÅCþ§§3:? VÇ"§§Ø´ØUu). 2
4非离散型又非连续型的分布函数 例设 0<x≤1, 则F(x)是一个分布函数.但是,F(x)显然不是离散型的,也非连续型的 5有限可加而非可列可加的概率测度 设9是[0,1中所有有理数组成的集合,万1表示由形式为l,b],(a,列a,b),(a,b)所组 成的Ω的子集类,这里a,b都为有理数令F2表示由1中所有不相交的集合的有限并组 成的集合.则F2是一个域.我们在这个域上定义概率测度 P(A)=b-a,如果A∈万1, P(B)=∑P(A),如果B∈F2 这里B∈升2表示B=∑=1A1,A1∈1 考虑F2中两个不相交的集合B,B’,即 其中A1,A∈万1,且A,A都互不相交.则B+B=∑m+1Ck,这里Ck=A或 者Ck=4接下来, PB+B)=P∑C)=∑PCA)=∑(P(A1)+P(4) ∑P(A)+∑P(4)=P(B)+PB 易知,P满足有限可加性 对于每个单点集{r}∈,P({r})=0.由于集合Ω是可数集,即 1{ra} P)=1≠0=∑P({r) 即P非可列可加 3
4 lÑ.qëY.©Ù¼ê ~ F(x) = 0, x ≤ 0, 1+x 2 , 0 < x ≤ 1, 1, x > 1. KF(x)´©Ù¼ê. ´§F(x)w,Ø´lÑ.§ëY.. 5 k\ \VÇÿÝ Ω´[0, 1]¥¤kknê|¤8ܧF1L«d/ª[a, b],(a, b], [a, b),(a, b)¤| ¤Ωf8a§ùpa, bÑknê. -F2L«dF1¥¤kØ8Ük¿| ¤8Ü. KF2´. ·3ùþ½ÂVÇÿݵ P(A) = b − a, XJA ∈ F1, P(B) = Xn i=1 P(Ai), XJ B ∈ F2. ùpB ∈ F2L«B = Pn i=1 Ai§Ai ∈ F1. ÄF2¥üØ8ÜB§B0§= B = Xn i=1 Ai , B0 = Xm j=1 A 0 j , Ù¥Ai§Aj ∈ F1§ Ai§AjÑpØ. KB + B0 = Pm+n k=1 Ck§ùpCk = Ai½ öCk = A0 j . e5§ P(B + B 0 ) = P( X k Ck) = X k P(Ck) = X i,j (P(Ai) + P(A 0 j )) = X i P(Ai) +X j P(A 0 j ) = P(B) + P(B 0 ). ´§P÷vk\5. éuzü:8{r} ∈ F2§P({r}) = 0. du8ÜΩ´ê8§=Ω = P∞ i=1{ri}§ K P(Ω) = 1 6= 0 = X∞ i=1 P({ri}), =P\. 3
6边际分布与联合分布可以不是同类型分布 我们知道,正态分布的边际分布仍为正态分布,多项分布的边际分布亦为多项分 布.那么是否联合分布与边际分布皆为同一种类的分布呢?一般回答是否定的,这种问 题的例子很多 例如,随机变量(51,52)有联合密度函数 ∫(x,y)= [1+xy(x2+y2)],|a≤1l≤1, 反 则51,52的密度函数分别为fa1(x)=1/2,|≤1,f2(y)=1/2,l≤1.显然,三者 不是同一类型的分布 7由边际分布无法求出联合分布 由两个随机变量,m的联合分布f(x,y)可以很容易地计算出它们各自的边际分 布f∈(x)和fn(y).但是,若仅知道,n各自的边际分布,却可能求不出它们的联合分布 例如,把三个球放在三个盒中.这时样本空间有27个点,令N表示的是3个球随机 的放入三个盒中被装进球的盒子的个数,X表示第i个盒子中球的个数(=1,2,3),对 于每个样本点赋以概率=q此时,形式上考虑(N,X1)的联合分布由下表给出 23N的分布 2 3 q 060= X1的分布 q 显然无法由X1,N的边际分布得出(X1,N)的联合分布.造成这种情形的原因在 于X1与N不独立 8相同边际分布但是联合分布不同-1 若随机向量(X1,,Xn)的分布函数为F(x1,…,xn),则边际分布Fk(xk),k=1,…,n被 唯一确定,但反之不然
6 >S©ÙéܩٱشÓa.©Ù ·§©Ù>S©ÙE©Ù§õ©Ù>S©Ù½õ© Ù. @o´ÄéÜ©Ù>S©ÙÓ«a©ÙQº£´Ä½§ù«¯ K~féõ. ~X§ÅCþ(ξ1, ξ2)kéÜݼê f(x, y) = ( 1 4 1 + xy(x 2 + y 2 ) , |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, 0, . Kξ1§ξ2ݼê©Ofξ1 (x) = 1/2§|x| ≤ 1§fξ2 (y) = 1/2§|y| ≤ 1. w,§nö Ø´Óa.©Ù. 7 d>S©ÙÃ{¦ÑéÜ©Ù düÅCþξ§ηéÜ©Ùf(x, y)±éN´/Oѧg>S© Ùfξ(x)Úfη(y). ´§e=ξ, ηg>S©Ù§%U¦ØѧéÜ©Ù. ~X§rn¥3nÝ¥. ù mk27:§-NL«´3¥Å \nÝ¥C?¥Ýfê§XiL«1iÝf¥¥ê(i = 1, 2, 3). é uz :D±VÇ 1 27 = q. d§/ªþÄ(N, X1)éÜ©ÙdeLÑ. ❍ N ❍❍❍❍❍❍ X1 0 1 2 3 N©Ù 1 2q 0 0 q 3q=1 9 2 6q 6q 6q 0 18q=2 3 3 0 6q 0 0 6q=2 9 X1©Ù 8q 12q 6q q 1 w,Ã{dX1§N>S©ÙÑ(X1, N)éÜ©Ù. E¤ù«/Ï3 uX1NØÕá. 8 Ó>S©Ù´éÜ©ÙØÓ-1 eÅþ(X1, .., Xn)©Ù¼êF(x1, .., xn)§K>S©ÙFk(xk), k = 1, ..., n (½§Ø,. 4