Xian Jiaotong Univ.Prof. Cai Yuan-Li其中D=Px-PxzPz-1Pzx从而有[二 R-[二] -(2-2)P-(2-2)= [x - E(x|z)]T Px2[**]其中, E(x|2) = × + PxzPz-1(z -2), Pxlz = Px- PxzP-1Pzx注意到26
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 26 其中𝐷 = 𝑃𝑥 − 𝑃𝑥𝑧𝑃𝑧 −1𝑃𝑧𝑥. 从而有 [ 𝑥 − 𝑥̄ 𝑧 − 𝑧̄ ] 𝑇 𝑃𝑦 −1 [ 𝑥 − 𝑥̄ 𝑧 − 𝑧̄ ] − (𝑧 − 𝑧̄) 𝑇𝑃𝑧 −1 (𝑧 − 𝑧̄) = [𝑥 − 𝐸( 𝑥|𝑧)] 𝑇𝑃𝑥|𝑧 −1 [∗∗] 其中，𝐸( 𝑥|𝑧) = 𝑥̄+ 𝑃𝑥𝑧𝑃𝑧 −1 (𝑧 − 𝑧̄), 𝑃𝑥|𝑧 = 𝑃𝑥 − 𝑃𝑥𝑧𝑃𝑧 −1𝑃𝑧𝑥. 注意到
Prof. Cai Yuan-LiXianJiaotongUniv.IPyl[Px(zl(3.1.8)IP,I于是可导出1exp[ -[x - E(x|2)]T Px2[**]fxlz(x|z)(2元)2[Px|zl证毕！27
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 27 |𝑃𝑦| |𝑃𝑧 | = |𝑃𝑥|𝑧 | (3.1.8) 于是可导出 𝑓𝑥|𝑧(𝑥|𝑧) = 1 √(2𝜋) 2|𝑃𝑥|𝑧 | exp{ − 1 2 [𝑥 − 𝐸( 𝑥|𝑧)] 𝑇𝑃𝑥|𝑧 −1 [∗∗]} 证毕！
Prof. Cai Yuan-LiXian JiaotongUniv[推论3-5]在[定理3-4]条件下，Pxmv=EzPx/z=PxIz，即Xmv~N(0,Px-PxzP-1Pzx)。[证明]由[推论3-1]可知+00PzMPxizf2(z)dz = E,Px/z而[定理3-4]表明Pxlz=Px一PxzPz-1Pzx，是常值矩阵，因此E,Pxlz=Pxlz。结合最小方差估计是无偏估计的结论，所以[28
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 28 [推论 3-5] 在[定理 3-4]条件下，𝑃𝑥̃𝑀𝑉 = 𝐸𝑧𝑃𝑥|𝑧 = 𝑃𝑥|𝑧，即 𝑥̃𝑀𝑉~𝑁(0, 𝑃𝑥 − 𝑃𝑥𝑧𝑃𝑧 −1𝑃𝑧𝑥)。 [证明] 由[推论 3-1]可知 𝑃𝑥̃𝑀𝑉 = ∫ 𝑃𝑥|𝑧𝑓𝑧 (𝑧)𝑑𝑧 +∞ −∞ = 𝐸𝑧𝑃𝑥|𝑧 而[定理 3-4]表明𝑃𝑥|𝑧 = 𝑃𝑥 − 𝑃𝑥𝑧𝑃𝑧 −1𝑃𝑧𝑥，是常值矩阵，因此 𝐸𝑧𝑃𝑥|𝑧 = 𝑃𝑥|𝑧。结合最小方差估计是无偏估计的结论，所以[
Prof. Cai Yuan-LiXian JiaotongUniv定理3-4)条件下xmv~N(0,Px-PxzPz-1Pzx）。证毕！[定理3-5]若z=Hx+V,V~N(O,R),x~N(x,Px),而且ExT=0（正交)，则有(3.1.9)E[x|z] = x + PxzHTR-1(z - Hx)(3.1.10)Px|z = Pxmv = (Px-1 + HTR-1H)-1[证明]根据给定的量测方程z=Hx+V，可导出29
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 29 定理 3-4]条件下𝑥̃𝑀𝑉~𝑁(0, 𝑃𝑥 − 𝑃𝑥𝑧𝑃𝑧 −1𝑃𝑧𝑥)。 证毕！ [定理 3-5] 若𝑧 = 𝐻𝑥 + 𝑣, 𝑣~𝑁(0, 𝑅), 𝑥~𝑁(𝑥̄, 𝑃𝑥)，而且𝐸𝑥𝑣 𝑇 = 0（正交），则有 𝐸[𝑥|𝑧] = 𝑥̄+ 𝑃𝑥|𝑧𝐻 𝑇𝑅 −1 (𝑧 − 𝐻𝑥̄) (3.1.9) 𝑃𝑥|𝑧 = 𝑃𝑥̃𝑀𝑉 = (𝑃𝑥 −1 + 𝐻 𝑇𝑅 −1𝐻) −1 (3.1.10) [证明] 根据给定的量测方程𝑧 = 𝐻𝑥 + 𝑣，可导出
Prof.CaiYuan-LiXianJiaotongUniv.Z =Hx,2=Z-z=HX+-HX=HX+VPz = ET = E(HX + )(HX + )T = HPxHT + RPxz=ExT=Ex(HX+)T=PHT根据[定理3-4]可得E[x|z] = x + PxzPz-1(z - 2)= x+ P,HT(HPHT +R)-1(z-Hx)30
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 30 𝑧̅= 𝐻𝑥̅, 𝑧̆= 𝑧 − 𝑧̅= 𝐻𝑥 + 𝑣 − 𝐻𝑥̅= 𝐻𝑥̆ + 𝑣 𝑃𝑧 = 𝐸𝑧̆𝑧̆ 𝑇 = 𝐸(𝐻𝑥̆ + 𝑣)(𝐻𝑥̆ + 𝑣) 𝑇 = 𝐻𝑃𝑥𝐻 𝑇 + 𝑅 𝑃𝑥𝑧 = 𝐸𝑥̆𝑧̆ 𝑇 = 𝐸𝑥̆(𝐻𝑥̆ + 𝑣) 𝑇 = 𝑃𝑥𝐻 𝑇 根据[定理 3-4]可得 𝐸[𝑥|𝑧] = 𝑥̅+ 𝑃𝑥𝑧𝑃𝑧 −1 (𝑧 − 𝑧̅) = 𝑥̅+ 𝑃𝑥𝐻 𝑇 (𝐻𝑃𝑥𝐻 𝑇 + 𝑅) −1 (𝑧 − 𝐻𝑥̅)