XianJiaotongUnivProf.Cai Yuan-Li[证明]由贝叶斯公式可知+0000fxz(x,z)E[x]z] =xfxlz(x)dx =dxf.(2)-00DO+00+00fx(x)fz(z)xfx(x)dxdx =xf.(2)00C所以，x与z相互独立时E[xz]=Ex=x，得证！16
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 16 [证明] 由贝叶斯公式可知 𝐸[𝑥|𝑧] = ∫ 𝑥𝑓𝑥|𝑧 (𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = ∫ 𝑥 𝑓𝑥𝑧(𝑥, 𝑧) 𝑓𝑧 (𝑧) 𝑑𝑥 +∞ −∞ = ∫ 𝑥 𝑓𝑥 (𝑥)𝑓𝑧(𝑧) 𝑓𝑧(𝑧) 𝑑𝑥 +∞ −∞ = ∫ 𝑥𝑓𝑥 (𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ 所以，𝑥与𝑧相互独立时𝐸[ 𝑥|𝑧] = 𝐸 𝑥 = 𝑥̄，得证!
Xian JiaotongUnivProf. Cai Yuan-Li[推论3-3]（最小方差估计一般求解公式）[x fz/x(z/x)fx(x)dxXmv(z) =(3.1.2)[8 fz/x(z/x)fx(x)dx[证明] 因为Xmv(z) = xz =x fx/z(x|z)dx017
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 17 [推论 3-3] (最小方差估计一般求解公式) 𝑥̂𝑀𝑉(𝑧) = ∫ 𝑥 +∞ −∞ 𝑓𝑧|𝑥 (𝑧|𝑥)𝑓𝑥 (𝑥)d𝑥 ∫ 𝑓𝑧|𝑥 (𝑧|𝑥)𝑓𝑥 (𝑥)d𝑥 +∞ −∞ (3.1.2) [证明] 因为 𝑥̂𝑀𝑉(𝑧) = 𝑥|𝑧 = ∫ 𝑥 +∞ −∞ 𝑓𝑥|𝑧 (𝑥|𝑧)d𝑥
Prof.CaiYuan-LiXianJiaotongUniv.-0-x fxz(x,z)dxfxz(x,z)dxxfz(z)Jt fxz(x,z)dx分子、分母分别再一次应用贝叶斯公式fxz(x,z）：fz/x(zlx)fx(x)，即得证。18
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 18 = ∫ 𝑥 +∞ −∞ 𝑓𝑥𝑧(𝑥, 𝑧) 𝑓𝑧 (𝑧) d𝑥 = ∫ 𝑥 +∞ −∞ 𝑓𝑥𝑧(𝑥, 𝑧)d𝑥 ∫ 𝑓𝑥𝑧(𝑥, 𝑧)d𝑥 +∞ −∞ 分子、分母分别再一次应用贝叶斯公式𝑓𝑥𝑧(𝑥, 𝑧) = 𝑓𝑧|𝑥 (𝑧|𝑥)𝑓𝑥 (𝑥)，即得证
XianJiaotongUniv.Prof.Cai Yuan-Li[定理3-2]（最优估计的不变性）假设(1)(）关于=0对称且凹;(2)Bz(x) = Jt L(x - XB)f(x|2)dx存在;(3)fxz）关于条件均值xmV=E[x|z|对称且凸。那么，XB=XMV19
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 19 [定理 3-2] (最优估计的不变性) 假设 (1)𝐿(𝑥̃) 关于𝑥̃ = 0对称且凹； (2)𝐵𝑧(𝑥̃) = ∫ 𝐿(𝑥 − 𝑥̂𝐵)𝑓(𝑥|𝑧)𝑑𝑥 +∞ −∞ 存在； (3)𝑓(𝑥|𝑧) 关于条件均值𝑥̂𝑀𝑉 = 𝐸[𝑥|𝑧]对称且凸。 那么，𝑥̂𝐵 = 𝑥̂𝑀𝑉
Prof.Cai Yuan-LiXianJiaotongUniv.[定理3-3]（随机正交原理）设x与z是两随机矢量，那么对任意的函数g(z),均有E g (z)(x - E[xzl)T = 0(3.1.3)[证明] Eg (z)(x-E[x|z])T =Eg (z)xT-Eg (z)xz= E g (2)xT - / g(2)[/ xfxiz(x)dx)T dz20
Xi’an Jiaotong Univ. Prof. Cai Yuan-Li 20 [定理 3-3] (随机正交原理) 设𝑥与𝑧是两随机矢量，那么对任意 的函数𝑔(𝑧),均有 𝐸 𝑔 (𝑧)(𝑥 − 𝐸[ 𝑥|𝑧]) 𝑇 = 0 (3.1.3) [证明] 𝐸 𝑔 (𝑧)(𝑥 − 𝐸[ 𝑥|𝑧]) 𝑇 = 𝐸 𝑔 (𝑧)𝑥 𝑇 − 𝐸 𝑔 (𝑧)𝑥|𝑧 𝑇 = 𝐸 𝑔 (𝑧)𝑥 𝑇 − ∫ 𝑔(𝑧) [∫ 𝑥𝑓𝑥|𝑧 (𝑥)𝑑𝑥] 𝑇 𝑑𝑧