二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 式(7-12)或式(7-13)称为双线性变换。从S平 面映射到S平面，再从平面映射到Z平面，其映 射过程如图7-3所示。由于从S平面到S平面具有 非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混 叠现象，这是双线性变换法比较冲激响应不变法 最大的优点。，另外，从S平面转换到Z平面仍然采 用标准转换关系z=e,S平面的±πT之间水平 带的左半平面映射到忆平面单位圆内部，虚轴映射 成单位圆。这样，当Hs)因果稳定，转换成的H (z)也是因果稳定的
二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 D 图7-3双线性变换法的映射关系 ?下面分析模拟频率⊙和数字频率2之间的关系。 冬令s=j0,z=e”,代入式(7-12)中，有 2 (7-14) 2 tan 2
二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 上式说明，S平面上ω与平面的2成非线性正切 关系，如图7-4所示。在2=0附近接近线性关系： 当增如时，增如得愈来愈快；当趋近 π时，)趋近于0。正是因为这种非线性关系， 消除了频率混叠现象。 9 -子n号 图7-4双线性变换法的频率变换关系
二、用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 @与2之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影 响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响，幅频特 性和相频特性失真的情况如图7-5所示。 这种非线性影响 的实质问题是：如果⊙的刻度是均匀的，则映射到平面 的2的刻度是不均匀的，而是随2增加愈来愈密。但是， 如果模拟滤波器的频响具有片段常数特性，则转换到平 面数字滤波器仍具有片段常数特性，主要是特性转折点频 率值与模拟滤波器特性转折点的频率值成非线性关系。当 然，对于不是片段常数的相位特性仍有非线性失真。因此， 双线性变换法适合片断常数特性的滤波器的设计。实际应 用中，一般设计滤波器通带和阻带均要求是片段常数，因 此双线性变换法得到了广泛的应用。在设计时要注意边界 频率如通带截止频率、阻带下截止频率等的转换关系要用 式(7-14)计算
二、〉 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 H.\.j@) Hiea) 图7-5双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射