一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器 其中，S:为H,(s)的单阶极点。将H(s)进行拉氏 反变换得到h() h,(0=∑Aeu0 式中，4)是单位阶跃函数。对h()进行等间隔采 样，采样间隔为工，得到 h(n)=h,(nT)=4e'mu(nT) 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H （z) a)=之4 台1-ez (7-5)
一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器 对比式(7-4)与式(7-5)，H(s)在S平面上的 极点s,根据z=eT的关系映射为H(z)在平面上 的极点eT,系数A,不变化。 模拟信号h,(①)的傅里叶变换H.(jo)和其采样信号 h()的傅里叶变换H,(jo)之间的关系 =1H.jo-jk@,） H,jo)=T之 (7-6)
一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器 将s=jo代入上式，得 )之以-@) (7-7) 因为数字滤波器的系统函数是由采样信号h,()得 来的，因此有 a到l号2e-a) (7-8)》 上式表明将模拟信号h,()的拉氏变换在S平面上沿 虚轴按照周期@，=2π/T延拓后，再映射到Z平面上， 就得H（z)
一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器 冬设 s=0+j@ 2=re 冬即 r=eaT (7-9) Q=@T 由第三章的知识可知，S平面的虚轴（σ=0）映射 成平面的单位圆(=1)，S平面左半平面(o<0) 映射到平面的单位圆内(<1)，S平面右半平面 (σ>0)映射到平面的单位圆外(r>1)。这说明 如果HS)因果稳定，转换后得到的H(z)仍是因 果稳定的
一、用冲激响应不变法设计IIR数字低通滤波器 另外，注意到z=er是一个周期函数，可写成 er=erem-eree号，M为任意整数 当模拟频率o从-π/T变化到π/T时，数字频率2 则从-π变化π到，且按照式(7-9)，2=T,即 o与2之间成线性关系。 但是，从模拟信号h,)到采样信号h,(t),其拉氏变 换要按照式(7-7)，以2πT为周期，沿虚轴方向 进行周期化。如果原模拟信号h,(的频带不是限于 ±π/T之间，则会在±π/T的奇数倍附近产生频率混 叠，从而映射到平面，在2=±π附近产生频率混 叠。冲激响应不变法的频率混叠现象如图7-1所示