2021-12-28 《数学建模》课件汇总 海 境模范例：人口模型 ⊙ 据人口学掌们上世纪求预测，则2033年世界人口将突或100亿 每年增加近1亿人口，以后还会远徒增长。人们开始考意我们横 以生卉的地球究竟能否承变如此的增长。 且全球各地区人口变化如下： 非洲地区人口将从10.33亿增至19.85亿： 欧洲人口将从7.33亿减至6.91亿 2.4人口模型 增幅藏大亚浏地区的人口将从41.67亿增至52.32亿。 中自人口晴态何变他？ 中国的人口变化引起了很多人的关注，人口藏策也在发 问通1形响1时刻某地区的人口总数变化的最显著因素应包 生藏变，多种观燕相互碰撞，甚至是冲变的，如何恶考这 括哪些7 形响明章 些问题？ 个体的出生 新 + 凄流建立人口预测数学模型 问题2这里准备考感哪些因素？ 讨论最筒草的情况，仗考意出生和死亡对人口 变化的彩响。 问通3用什么变量描述人口变化情况？ 银设 时间间隔△内的出生人戴△N:△N=bN(g 人世藏意 人口德教 ·时间间隔△内的死亡人数△N2:△N=dN)△ 2.意立敏学模型 假定b>0,d>0,从而在时间区闲△内，有 设1时刘一个地区的人口总数为N(0 N(+△)-N0=AN1-△N2=(b-d)N(△M 业分模型 问题3在时闻：比，什△内出生和死亡所藏人口数壹变化与哪 即 N什△)N④=(b-dN(M (1) 些变量有关？ 1)出生率和元亡单： 将人口数N)礼为一个连峡可乎变量，在很维的时间区间 2)时闲筒属AM的关短 △山内，则方狂(1)敌写为 3)初始时刻1=0时的人口基教。 第16页，共105页
2021-12-28 1 1 2.4 人口模型 2 据人口学家们上世纪末预测 , 到2033年世界人口将突破 100亿, 每年增加近1亿人口, 以后还会迅猛增长。人们开始考虑我们赖 以生存的地球究竟能 否承受如此的增长。 建模范例：人口模型 且全球各地区人口变化如下： 非洲地区人口将从 10.33亿增至19.85亿； 欧洲人口将从 7.33亿减至6.91亿; 增幅最大亚洲地区的人口将从 41.67亿增至52.32亿。 中国人口将如何变化？ 3 尝试建立人口预测数学模型 . 中国的人口变化引起了很多人的关注，人口政策也在发 生改变，多种观点相互碰撞，甚至是冲突的，如何思考这 些问题？ 4 影响因素 个 体 的 出 生 、 死 亡 迁 入 迁 出 年 龄 结 构 性 别 比 例 …… 教 育 程 度 当 地 经 济 生 育 观 念 问题1 影响 t 时刻某地区的人口总数变化的 最显著因素应包 括哪些？ 讨论最简单的情况，仅考虑 出生和死亡对人口 变化的影响。 问题2 这里准备考虑哪些因素？ 5 设 t 时刻一个地区的人口总数为 N(t) . 问题3 在时间段[t, t+ t] 内出生和死亡所致人口数量变化与哪 些变量有关？ 2.建立数学模型 2）时间间隔t 的长短; 3）初始时刻t = 0时的人口基数。 1）出生率和死亡率； 问题3 用什么变量描述人口变化情况？ 人口密度 人口总数 ？ 6 假设 l 时间间隔t内的出生人数 N1： N(t+t)N(t) l 时间间隔t内的死亡人数 N2： 则方程（1）改写为 将人口数N(t)视为一个连续可导 变量， 在很短的时间区间 假定b>0, d > 0，从而在时间区间t内，有 =N1 - N2 差分模型 （1） = (bd)N (t) t 即 N(t+t)N(t) = (bd)N (t) t N1= b N(t)t； N2=d N(t)t. t内， 《数学建模》课件汇总 第16页,共105页
2021-12-28 《数学建模》课件汇总 1 N(t+A)-N(t N() b-d (2) 3.数季模型分析 相树人口 人口平均 令=b-d,则撒分方在(3)的解为 均变化率 变化率 N0=Ne",t20 令△1+0，得撒分方和 人口基数 1dV=b-d (3) N dt 英国神父Malthus在分新了一百多年人口能 注 计资并的基响上遮立的模型。 Malthus (1)号式左鸿春为“相对增长率”，b和山分别兼为出生 来和死亡来。 (2)b、d桥为模型参数，通常规定b>0,d>0,希为◆戴的 模型分析： 合理吗？ 正值化， 模型分析假若相对增长率r>0,Malthus楼型预测人口教量 将人口“相对增长率”视为人口量的高数N),方在3)改为 将以e‘为公比按几有额戴无厚增长。 NO=rNeN四 falthus模型的建立基于根设：人口相对增长r视为康黛。 (4) N(0)▣W 随着人口不断增长，环境贵漂所能承变的人口容量变到限 将相对增长率W)看成人口数N的线性画数： 制，只有在极小的时间殿内才可将人口桶对增长事：地青 r(N)=a+c N. (5) 着常数。 设N0=可，存在一个戴值K使r瓜=0. 人口 4.数学模型改进 州长率 钠上及 求解得 r(N)=r(1-N/K ) 代入式)中，有 5.失际检整 dN =(1- N )N (6) N(0)=N。 求解得到Logistic模型 170 1 74 N(t)= 1+ EEEE 4 其中>0. 55 5 第17页，共105页 2
2021-12-28 2 7 人口平均 变化率 相对人口平 均变化率 令t0, 得微分方程 （3） （1）等式左端称为 “相对增长率”，b 和d 分别称为出生 率和死亡率。 （2）b、d称为模型参数, 通常规定b>0, d >0，称为参数的 正值化。 注 （2） 8 3. 数学模型分析 N(t) = N0e rt , t ≥0 人口基数 英国神父Malthus在分析了一百多年人口统 计资料的基础上建立的模型。 令r=b-d，则微分方程(3)的解为 模型分析： 合理吗？ 9 模型分析 假若相对增长率r >0, Malthus模型预测人口数量 将以e r为公比按几何级数无限增长。 Malthus模型的建立基于假设： 人口相对增长率r视为常数。 随着人口不断增长，环境资源所能承受的 人口容量受到限 制，只有在极小的时间段 内才可将人口 相对增长率r近似地看 着常数。 4. 数学模型改进 10 将人口“相对增长率”视为人口量的函数 r(N), 方程(3)改为 （4） 将相对增长率r(N) 看成人口数N(t)的线性函数： 设r(N0)=r0，存在一个数值 K使r(K)=0. 初始时刻 增长率 人口容 纳上限 求解得 r(N)=r0( 1N / K ). 0 (0) ( ( )) ( ) ( ) N N r N t N t dt dN t r(N)=a+ c N. （5） 11 代入式(4)中,有 0 0 (0) (1 ) N N N K N r dt dN （6） 求解得到Logistic模型 其中 t > 0. t0 O N0 K r t e N K K N t 0 1 1 ( ) 0 12 统计 年份 统计 人口 数 Malth us模 型 误差 （％） Logist ic模 型 误差 （％） 统计 年份 统计 人口 数 Malth us模 型 误差 （％） Logist ic模 型 误差 （％） 1790 3.929 3.929 0 3.929 0 1880 50.156 58.901 17.4 50.177 0 1800 5.308 5.308 0 5.336 0.5 1890 62.948 79.574 26.4 62.769 -0.3 1810 7.240 7.171 -0.9 7.228 -0.2 1900 75.995 107.503 41.5 76.870 1.2 1820 9.638 9.668 0.5 9.757 1.2 1910 91.972 145.234 57.9 91.972 0 1830 12.866 13.088 1.7 13.109 1.9 1920 105.711 196.208 85.6 107.559 1.7 1840 17.069 17.682 3.6 17.506 2.6 1930 122.775 265.074 115.9 123.124 0.3 1850 23.192 23.888 3.0 23.192 0 1940 131.669 358.109 172.9 136.653 3.8 1860 31.443 32.272 2.6 30.412 -3.3 1950 150.697 483.798 221.0 149.053 -1.1 1870 38.558 43.599 13.1 39.372 2.1 美国十九世纪初人口预测 5. 实际检验 《数学建模》课件汇总 第17页,共105页
2021-12-28 《数学建模》课件汇总 6.总地 @ ●不同的人，出发点不同，摸型可能不同： ·建模过准不是一次性戴建好，是个不晰禄素过准： ●通常需要利用一些怡当的银设来 简化问题。 第18页，共105页 3
2021-12-28 3 13 6. 总结 l 不同的人，出发点不同，模型可能不同； l 建模过程不是一次性就建好，是个不断探索过程 ； l 通常需要利用一些恰当的假设来 简化问题。 《数学建模》课件汇总 第18页,共105页
2021-12-28 《数学建模》课件汇总 数学建模的过程 建模创新思维方法 数学模型是现实世界与数学世界的理想桥果， 建立数学模型 推理 实世界 学世 滴绎 求解 翻译为实际解答 怎样构来这座桥果？ 动银训的⅓中地 <》4 如何建立数学模型 数学建棋基本步漂 数学建模过稚分为若千有明显差别的阶段性工作 问题的前期分析 时 实际问愿分析 建立数学镇型 模过程中的几个要 合理的假设 牢记 建立教学结构 建模 建立数学表达式 是交论文与报告 求解敷学摸型 模型求解 结果分析检验 模型及棋型解的分析及检验 <》 数学创奇忌燥 1。典比见第 声钠惑单 发表恐维 爽比是根据两个或多 是比恶维 精测忌维 个对兼内部属性、关系 逆向总维 直觉悬雄 DEA 等某些问题的相似性， 而推出他们在其他方面 也可能相似的一种推理 数学掌拉普拉新稻山： “在数学卫，发现具覆的主要工具布手没 是归钠和是比 忌蜂形式，是数学探素 方法的共同种法： 中常用的一种创新思堆 不轻否别人的意见，怀一最常议，誓力发观别人尚术觉 方法 的事物普。 老钢制物路原立★一 <<>》s 电银制期单典 第19页，共105页 1
2021-12-28 1 建模创新思维方法 1/15 建模创新思维方法 建模创新思维方法 2/15 现 实 世 界 数 学 世 界 建立数学模型 推理 演绎 求解 翻译为实际解答 数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁 . 怎样构架这座桥梁？ 建模创新思维方法 3/15 建 模 过 程 中 的 几 个 要 点 问题的前期分析 合理的假设 建立数学表达式 建立数学结构 时刻 牢记 建模 目的 如何建立数学模型 模型求解 结果分析检验 建模创新思维方法 4/15 数学建模过程分为若干有明显差别的阶段性工作 求解数学模型 实际问题分析 建立数学模型 提交论文与报告 模型及模型解的分析及检验 数学建模基本步骤 建模创新思维方法 5/15 数学创新思维 …….等等. 类比思维 归纳思维 逆向思维 发散思维 猜测思维 直觉思维 数学家拉普拉斯指出： “在数学里，发现真理的主要工具和手段 是归纳和类比 . 方法的共同特点 : 不轻易否定别人的意见，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉 的事物等。 建模创新思维方法 6/15 类比是根据两个或多 个对象内部属性、关系 等某些问题的相似性， 而推出他们在其他方面 也可能相似的一种推理 思维形式，是数学探索 中常用的一种创新思维 方法. 《数学建模》课件汇总 第19页,共105页
2021-12-28 《数学建模》课件汇总 典比是维的几个特康 如阿具高典比站论的可意性 1是比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属 第一，臭比对厚的相同4性婚多，则结论的可靠性婚大；例 如：为了提高荡物清效，在给病人服用前，要在小动物身上做 丝，是以旧有的认识为盖确，臭比出新的姑果。 一最都用小白真来迹行就脸，小白氯和人有不少的共同 之处 加果在小动物上有效，那么，在人身上也可能有 2臭比是从一种事物的特豫具性护测另 定疗 一种事物的特殊属社。 3.臭比的帖果是精测性的不一安案 位它脚有发现的动能 鸡织创的洛格立油 <>ws 动银创外中语 <》4 如何镇高典比结论的可售 是比的湘同属性魏是童要的、本质的，韩论的可靠世 幕三，类比的相 蕾切，这种联系的： 更斯把光和声两是对进行臭比， 具有 茶楼行指华麦垫新子 扰的现象等。 斋辛，醉 而声是由一种周期运功所引起的，里波动状态：由此，悬更 斯提出丁光也里流动状毒的理论。 李四光研究了中亚朝亚的地 质结构，发现中亚细亚的地质 情况与中图的松过平原的地质 塘构板其相似，从而推断出松 过平原也象中亚解亚那样蕴薰 青石油。 典比见雄的形成 对手机销售问题的分析： 类比忌维的常见形式有： 1)一最奉人只需用 (2)南期在广香之夹推 形式典比：如飞机每高臭、飞机与靖展，狗式上接本。 1一2个手机就是够，一个 馆作用下售速度快，南 功能类比：加各种机城平、辱业夹普。 地区的富求量是有限的： 品地于他和时铺鲁速成会 幻规类比：根据为越中的来种形象、某种作用、运动兼重逢行观 明造悬雄。 方法类比：利用臭似的方裤逢杆处夏。 手机竹前售情况类似于人口增长情况，可利用夹比方法建立提型 例21新产品铺摸型 L0 gistie模型特点潮期高速增长， 怎押建立一个数学援型精远新产品（斗机）推铺速度，并由此分斯山 过一个补定时同底唇增长速度减城，N()= 一些有用的姑果以霜导生产， 且有上界控的 1+Ce>0 想一想此问瓶与序个走模网燕湘臭似？ 底钢制物路原★一 <>》n 电银制酸路墙 <<》n: 第20页，共105页 2
2021-12-28 2 建模创新思维方法 7/15 1.类比是从人们 已经掌握了的事物的属性， 推测正在研究 的事物的属 性，是以旧有的认识为基础，类比出 新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测 另 一种事物的特殊属性 . 3.类比的结果是猜测性的 , 但它却有发现的功能. 建模创新思维方法 8/15 第一，类比对象的 相同属性越多 ，则结论的 可靠性越大 ；例 如：为了提高药物疗效，在给病人服用前，要在小动物身上做 试验，一般都用小白鼠来进行试验，小白鼠和人有不少的共同 之处。如果在小动物身上有疗效，那么，在人身上也可能有一 定疗效。 建模创新思维方法 9/15 第二，类比的相同属性 越是重要 的、本质的，结论的 可靠性 就越大。例如： 惠更斯把光和声两类对象进行类比，在类比中抓住了它们之 间具有一系列本质相同的属性：直线传播，有反射、折射和干 扰的现象等。 而声是由一种周期运动所引起的，呈波动状态；由此，惠更 斯提出了光也呈波动状态的理论。 建模创新思维方法 10/15 第三，类比的相同属性与推出属性之间彼此的联系越 密切，这种联系的相关程度越高，则结论的可靠性就越 大。例如： 1922年，美国斯坦福大学教授布莱克威尔德 调查了中国，给了一顶 “贫油”的帽子。 李四光研究了中亚细亚 的地 质结构，发现中亚细亚的地质 情况与中国的松辽平原的地质 结构极其相似，从而推断出 松 辽平原也象中亚细亚那样蕴藏 着石油。 建模创新思维方法 11/15 类比思维的常见形式有： 怎样建立一个数学模型描述新产品 (手机)推销速度，并由此分析出 一些有用的结果以指导生产 . 例2.1 新产品销售模型 想一想 此问题与哪个建模问题相类似？ ：如飞机与鸟类、飞机与蜻蜒，狗爬式上楼车。 ：如各种机械手、鳄鱼夹等。 ：根据幻想中的某种形象、某种作用、运动装置进行发 明创造思维。 ：利用类似的方法进行处理。 建模创新思维方法 12/15 (1) 一般每人只需用 1～2个手机就足够 ,一个 地区的需求量是有限的； 手机的销售情况类似于人口增长情况，可利用类比方法建立模型 . (2) 初期在广告之类推 销作用下销售速度较快 ,商 品趋于饱和时销售速度会 减缓. Logistic 模型特点 初期高速增长， 过一个特定时间点后增长速度减缓， 且有上界控制 . ( ) , 0 1 N t t St CeK 《数学建模》课件汇总 第20页,共105页