电子科技大学：《数学建模 Mathematical Modeling an Experiments》课程教学资源（课件讲稿汇总，何国良）

2021-12-28 《数学建模》课件汇总 颜本型 四个：月悬r、本金C、月还放a、还款半限n 由A=(1+r)4-a 等本型 若用A记第k个月时尚欠的款数，则一个月后（加上利息）欠款为 A(1+),不过又还了a元，所以总的款数为： A2=1+r)A,-a 第1个月：A1=(1+r)A。-a, =(1+r)(1+r)A-al-a 第个月：A+1=(1+r)A-a,k=0,1,2,3 =(1+r)'A-l1+r)+1, 而一开始的借款为A。,所以该问题可用数学表达式表示如下 A=(1+r)A-a A1=(1+r)A-a, k=0,1,2,3. =(1+r)1+r2A-1+r)+1-a A,已知（不妨假设A为已知） (1) =(1+r3A-d1+r)+1+r)+1, <2>7 <<》 A3=(1+r)A2-a =(1+rI(1+r)2A-a1+r)+1l-a A=(A。-马0+r)+4 =(1+r)A。-al1+r)2+(1+r)+1 由上式可加m个月后还墙，得A.=0,从而骨 递推得 4=1+r4-d1+++++0++☐ 0=A1+r八-1+少-1川 0+r广-4 0 =(1+A- 等比数列 a=40+) (1+r)"-1 ,(2)A-4+r- (3) r1+r) 故 4,=4-91+'+0 享实上，利用上周公式可进行估算决第。 这就是A,A。,4,r之间的显式关系，是迭代关系（1)的解， <2》 例某枝一对年轻夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0.01 比较 贷款期25年-300月，这对年轻夫妇希望知道每月还多少钱，25年后 就可以还清，假设这对夫妇每月可有节余700元，是否可以去买房呢？ 假定你正在考虑月息 节 180m0 解：现在的问题就是要求使得A3m0的a,由(2)式知 还明 240 0.5%、数额列50000元 期日E票 1TA移 a=41+小 60000×0.01×(1+0.01)3 的抵押贷款。如果你每月 变机 1072151B (1+r)"-1 (1+0.01)30-1 可以还款2000元，能否在 2当751B =600×19.7885 20年还款后就能还清纤款？ 5000 631.93(元) 并确定你能够借货的最大 240 18.7885 款项。 13750 现在A,=60000,=0.01,=300,可利用Matlab等数学软件，客 4037500 悬算得a=632元<700元. 结论：该夫妇有买房能力。 视有有 ■<》 <》 第11页，共105页 2

2021-12-28 2 建模案例 7 1 (1 ) , 0,1, 2, 3... Ak k r A a k      而一开始的借款为 A0，所以该问题可用数学表达式表示如下 1 0 0 (1 ) , 0,1, 2, 3... Ak k r A a k A A         ，已知（不妨假设 为已知） （1） 若用Ak记第k个月时尚欠的款数，则一个月后（加上利息）欠款为 Ak(1+r) ，不过又还了 a元，所以总的款数为 : 四个：月息 r、本金C、月还款a、还款年限 n 1 0 第1个月: A  (1  r)A  a, 第k个月: 建模案例 8 1 0 由 A (1r)A a, 2 1 0 2 0 (1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ) [(1 ) 1], A r A a r r A a a r A a r              3 2 2 0 3 2 0 (1 ) (1 )[(1 ) [(1 ) 1]] (1 ) [(1 ) (1 ) 1], A r A a r r A a r a r A a r r                  ...... 建模案例 9 由 递推得 1 2 0 (1 ) [(1 ) (1 ) ... (1 ) 1] k k k Ak r A a r r r             故 0 ( )(1 ) k k a a A A r r r     这就是Ak，A0 ，a ， r 之间的显式关系，是迭代关系（ 1）的解。 3 2 2 0 3 2 0 (1 ) (1 )[(1 ) [(1 ) 1]] (1 ) [(1 ) (1 ) 1], A r A a r r A a r a r A a r r                  0 (1 ) [(1 ) 1], k a k r A r r      等比数列 建模案例 10 由上式可知 n个月后还清，即 An =0，从而得 0 0 (1 ) [(1 ) 1] n a n A r r r      0 [(1 ) 1] (1 ) n n a r A r r     事实上，利用上面公式可进行估算决策。 0 ( )(1 ) k k a a A A r r r     0 (1 ) (1 ) 1 n n A r r a r     （2） （3） 建模案例 11 例 某校一对年轻夫妇为买房要用银行贷款 60000元，月利率 0.01， 贷款期25年=300月，这对年轻夫妇希望知道每月还多少钱， 25年后 就可以还清，假设这对夫妇每月可有节余 700元，是否可以去买房呢？ 解：现在的问题就是要求使得 A300=0的a，由（2）式知 0 (1 ) (1 ) 1 n n A r r a r     现在A0=60000，r=0.01，n=300，可利用Matlab等数学软件，容 易算得a=632元<700元。 300 300 60000 0.01 (1 0.01) (1 0.01) 1       600 19.7885 18.7885    631.93(元) 建模案例 12 比 较 等额本息 等额本金 《数学建模》课件汇总 第11页,共105页

2021-12-28 《数学建模》课件汇总 比较 等本 第12页，共105页 3

2021-12-28 3 建模案例 13 比 较 《数学建模》课件汇总 第12页,共105页

2021-12-28 《数学建模》课件汇总 魔棋案例 ￥例(Hamilton,1851) 背素 三、公平的席位分配模型 Hamilton(Burr Hamilton比例加惯例)方法-一-1792年美因国 会用于分配各州众议员名额。 常位分配，是指将有限的“席位或“责潭”，尽量“公平地分配给“各 已知：m方人数分别为PP2,Pm记总人数为P=p+p++p 个闭体”，是我们日常生活中常见的“现象”，也称“资源公平分配”问愿。 特分配的总席位为N 数学描述若m方人数分别为pP4P…Pm记总人最为：P=pp+…+Pe ·记g=Np:P,称为第方的份额(i=1,之，，m) ·各方先分配9，的数都分1l,总余额为：”=N-之4， 特分配的总席位为N ·记=gql,则第方的分配名额m为 记g=Np:P,称为第方的理论份额口=l,2,,m,问题归结为： Iql+1,r最大的N个 n:= 分配方案 找一个整数分配方来，使n与g最接近 lg,,其他 <2>1 ￥例(Hamilton,1851) 不 举例(Hamilton,1851) 三个系学生共200名（甲100，乙60，丙0，代表金议共20席，按比 三个暴学生共200名（甲103，乙63，丙34），代表会议共20席， 例分配，三个系分别为1064席. 比例分配，三个系分别为10,6，席. 因学生转系，三系人数为103.63.3科，如何分配20席 若代表会议增加1席，如何分配21席 系别学生比例20南的分配 比 系别 学生人 21席的分配 比铜(%) 对 席数 结景 比 人教(%)比例果 但分 103 51.5 10.3 10 少 配没 吗 加 103 51.5 10.815 63 31.5 6.615 63 315 6.3 例 两 3利 17.0 3.570 3 系名减少 系公平吗 34 17.0 3.4 生变 总和 200 100 21 21 总和200 100.0 20.0 20 2,意桃分析目标：建立公平的分配方案： 若增加1席： 系别人数席位数每席位代表的人数公平程度 反映公平分配的数量指标可用席位代表抛人数来衡量。 甲103 11 103/11-9.36 中 人客位数 每店位代表人 乙63 63/7-9 好 34/3-11.33 楚 甲 100 10 100/10-10 丙343 60 6 60/6=10 丙404 40/4-10 般地，单位人数席位数每席位代表的人数 AP Pim 系人位草等嘴位代的人公平度 B 甲103 10 103/10=10.3 中 乙63 6 63/610.5 业 丙34 34/4-8.5 好 当 PL=P: 席位分配公平！ <》s 第13页，共105页 1

2021-12-28 1 建模案例 1 若m方人数分别为 p1 , p2 ,…, pm, 记总人数为：P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N. 数学描述 找一个整数分配方案 ni, 使ni与qi最接近. 记 qi=N pi /P, 称为第i方的理论份额(i =1,2, …,m)， 席位分配，是指将有限的 “ ”或“资源”，尽量“ ”地分配给“ ”，是我们日常生活中常见的 “现象”，也称“资源公平分配 ”问题。 问题归结为 ： 建模案例 建模案例 2 Hamilton (Burr Hamilton 比例加惯例 ) 方法------ 已知: m方人数分别为 p1 , p2 ,…, pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N. l 记 qi=N pi /P, 称为第i方的份额(i =1,2, …,m) l 各方先分配 qi的整数部分[qi], 总余额为：     m i N N qi 1 [ ] l 记ri =qi-[qi], 则第i方的分配名额ni为       其他 最大的 个 [ ], [ ] 1, i i i i q q r N n 举例(Hamilton, 1851) 分配方案！ 建模案例 3 三个系学生共 200名(甲100，乙60，丙40)，代表会议共 20席，按比 例分配， 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 丙 34 17.0 总和 200 100.0 20.0 20 因学生转系 , 三系人数为 103, 63, 34, 如何分配20席? 比 例 法 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 乙 63 31.5 6.3 丙 34 17.0 3.4 总和 200 100.0 20.0 20 系别 学生 比例 20席的分配 人数 （%） 比例 结果 甲 103 51.5 10.3 10 乙 63 31.5 6.3 6 丙 34 17.0 3.4 4 总和 200 100.0 20.0 20 但 分 配 没 发 生 变 化 公 平 吗 ？ 丙 系 减 少 6人 三个系分别为 10, 6, 4 席. 举例(Hamilton, 1851) 建模案例 4 三个系学生共 200名(甲103，乙63，丙34)，代表会议共 20席，按 比例分配，三个系分别为 席. 若代表会议增加 1席，如何分配 21席? 比 例 加 惯 例 丙 系 名 额 减 少 ！ 对 丙 系 公 平 吗 ？ 举例(Hamilton, 1851) 系别 学生人数 比例（%） 21席的分配 席数 结果 甲 103 51.5 乙 63 31.5 6.615 丙 34 17.0 3.570 总和 200 100 21 2111 7 3 建模案例 5 目标：建立公平的分配方案 : 系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度 甲 103 10 103/10=10.3 中 乙 63 6 63/6=10.5 差 丙 34 4 34/4=8.5 好 系别 人数 席位数 每席位代表的人数 甲 100 10 100/10=10 乙 60 6 60/6=10 丙 40 4 40/4=10 反映公平分配的数量指标可用 来衡量。 建模案例 6 系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度 甲 103 11 103/11=9.36 中 乙 63 7 63/7=9 好 丙 34 3 34/3=11.33 差 一般地，单位 人数 席位数 每席位代表的人数 A p1 n1 p1 /n1 B p2 n2 p2 /n2 当 2 2 1 1 n p n p  席位分配公平 ! 《数学建模》课件汇总 第13页,共105页

2021-12-28 《数学建模》课件汇总 但通常不一定相等，如何刻画席位分配公平程度？ 2)相对不公平 表示每个席位 代表的人数： 凸上一坠称为“地对不公平”标准。一地童地小分配地赠于公平 %m2 >是则A吃亏，或对A是不公平的、 绝对不公平 对比组单位人数P席位数： 年席位代 表的人数 标准 定义“相对不公平” 者丹>品则称 A120 10 12 第一组 12-10-2 B100 10 10 C102010 102 a,4)=B-业=- 第二组 102-1002 P:/ng Pm D100010 100 为“对A的相对不公平信”。 C,D的不公平程度好些。 如何改进？ <2>7 <》 同理，可定义对B的相对不公平值为： 2。速模分析■当席位增加1个时，如何分配？ 若A、B两方已占有席位数为n:,n:,用相对不公平值 若<凸，则称，=B-色=4-1 B/n pn 讨论当席位增加1个时，应碳给A还是B方。不失一般性， 为“对B的相对不公平值”。 若A>凸，有下面三种情形： 分配公平的目标： 制定席位分配方案的原则是使「4，「们的尽可能的小。 <》 情形1 说明即使给A单位增加1席，仍对A不公平， 2,建模分析■当席位增加1个时，如何分配？ 所增这一席必须给A单位。 说明当对A不公平时，给A单位增加1席， 分配方案： a(m1)( 情形2 P<, P尾 M+1, 对B又不公平。 计算对B的相附不公平值： 若s(n,+L,)<T,2+1), (%+=B+ am,+1,-B-2a+.2+D- P/a+1) P%2 则这一席位给A单位。 情港3 B,B 说明当对A不公平时，给B单位增加1席， +1对A不公平。 若ra(m+1,n2)>r(,m,+1, 计算对A的相对不公平值 则这一席位给B单位。 a,4,+=色-，+=a+-1 P/2+1) 装》 <》拉 第14页，共105页 2

2021-12-28 2 建模案例 7 但 相等，如何刻画 席位分配公平程度？ 1) 称为“绝对不公平”标 准。 2 2 1 1 n p n p  对比组 单位 人数p 席位数n 每席位代 表的人数 绝对不公平 标准 第一组 A 120 10 12 12-10=2 B 100 10 10 第二组 C 1020 10 102 102-100=2 D 1000 10 100 C,D的不公平程度好些。 建模案例 8 2） 相对不公平 n 表示每个席位 p 代表的人数： 2 2 1 1 n p n p  则A吃亏,或对A 是不公平的。 定义“ ” 若 ，则称 2 2 1 1 n p n p  ( , ) 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2     p n p n p n p n p n rA n n 为“ 。 建模案例 9 若 ，则称 2 2 1 1 n p n p  ( , ) 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2     p n p n p n p n p n rB n n 为“ 。 制定席位分配方案的原则是使 rA，rB们的尽可能的小。 同理，可定义对 B 的相对不公平值为： 建模案例 10 若A、B两方已占有席位数为 , , n1 n 2 用相对不公平值 讨论当席位增加 1个时，应该给 A 还是B 方。不失一般性， 2 2 1 若 1 ， n p n p  有下面三种情形： 当席位 时，如何分配？ 建模案例 11 情形1 1 2 2 1 1 ， n p n p   说明即使给 A 单位增加1席，仍对A不公平， 所增这一席必须给 A单位。 情形2 1 2 2 1 1 ， n p n p   说明当对A 不公平时，给 A 单位增加1席， 对B 又不公平。 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1, ) 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2         p n p n p n p n p n rB n n 情形3 1 2 2 1 1 ，   n p n p 说明当对A 不公平时，给 B 单位增加1席， 对A 不公平。 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( , 1) 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2         p n p n p n p n p n rA n n 建模案例 12 ( 1, ) ( , 1), 若rB n1  n2  rA n1 n2  1 ( 1) ( 1, ) 1 2 2 1 1 2     p n p n rB n n 1 ( 1) ( , 1) 2 1 1 2 1 2     p n p n rA n n 当席位 时，如何分配？ ( 1, ) ( , 1), 若rB n1  n2  rA n1 n2  《数学建模》课件汇总 第14页,共105页

2021-12-28 《数学建模》课件汇总 。建模分析■ 当席位增加1个时，如何分配？ 2。建模分析 当席位增加1个时，如何分配？ 计算简化： 伞 e,= i=12 n,(u,+1) 若a%+1,)<r(,+ 则增加的一个席位应分配给Q值校大的一方，这样的分配席位的方 P+山sB,+山 》是 法称为Q值方款。 P P:m (i=1,2,…,m) 3。推广有m方分配席位的情祝：设A方人数为P,已占为m个席位 台 当总席位增加1席时，计算 结论：当（个）成立时，增加的一个常位应分配龄A单位， +l2…,m 看过的人■帽入了遇 反之，应分配给B单位。 则1席应分给2值最大的一方，然后不断选代计算，直到分配完成。 <2> <<》4 Pi A应用成酸证 %+i=1.23 0= 1032 1768.2 103 21= 22+1) Q,= 甲、乙、丙三票各有人数103,63,34，有21个常位，如何分配？ 33+88. 63 n1=1,n2=1,n3=1: 22+=661.5 202+=661.5 103 1032 34 34 -5304.5, 2,= =1768.2 ,= 2(2+1) 10+=578 2“1+m=578 63 63 0-0+n19845 0= =19845. 11 11+1) ◆0GG6s 34 6 34 2"+578 0= 0+-578 丙 4 鳍论：甲：11，乙：6，丙：4. 第15页，共105页 3

2021-12-28 3 建模案例 13 1 ( 1) ( 1, ) 1 2 2 1 1 2     p n p n rB n n 1 ( 1) ( , 1) 2 1 1 2 1 2     p n p n rA n n 2 1 1 2 1 2 2 1 ( 1) ( 1) p n p n p n p n     (*) ( 1) ( 1) 1 1 2 2 2 2 2 1   n n p n n p 当席位 时，如何分配？ ( 1, ) ( , 1), 若rB n1  n2  rA n1 n2  即 建模案例 14 记 1 2 ( 1) 2 i , n n p Q i i i i    则增加的一个席位应分配给 Q值 较大的一方， 这样的分配席位的方 法称为 。 设Ai方人数为pi，已占为ni个席位 （ i  1,2, , m ) 当总席位增加 1席时，计算 i , m n n p Q i i i i 1 2, , ( 1) 2     则1席应分给Q值最大的一方，然后不断迭代计算，直到分配完成 。 当席位 时，如何分配？ 有m 方分配席位的情况： 建模案例 15 578 1(1 1) 34 1984.5, 1(1 1) 63 5304.5, 1(1 1) 103 2 3 2 2 2 1          Q Q Q 甲、乙、丙三系各有人数 103，63，34，有21个席位，如何分配？ 1 2,3 ( 1) 2 i , n n p Q i i i i    1, 1, 1 : n1  n2  n3  578 1(1 1) 34 1984.5, 1(1 1) 63 1768.2 2(2 1) 103 2 3 2 2 2 1          Q Q Q 建模案例 16 甲 1 2 2 3 4 … 乙 1 1 2 2 2 … 丙 1 1 1 1 1 … 578 1(1 1) 34 661 .5 2(2 1) 63 1768 .2 2(2 1) 103 2 3 2 2 2 1          Q Q Q 578 1(1 1) 34 661 .5 2(2 1) 63 888 .4 3(3 1) 103 2 3 2 2 2 1          Q Q Q ：甲:11，乙:6，丙:4. 11 6 4 《数学建模》课件汇总 第15页,共105页